數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)備考浙江專用講義：第三章 不等式3.3 含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§3.3二元一次不等式（組)與簡單的線性規(guī)劃問題最新考綱考情考向分析了解二元一次不等式的幾何意義,掌握平面區(qū)域與二元一次不等式組之間的關(guān)系,并會求解簡單的二元一次線性規(guī)劃問題.以畫二元一次不等式(組）表示的平面區(qū)域、目標(biāo)函數(shù)最值的求法為主，兼顧由最優(yōu)解（可行域)情況確定參數(shù)的范圍,以及簡單線性規(guī)劃問題的實際應(yīng)用，加強轉(zhuǎn)化與化歸和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用意識。本節(jié)內(nèi)容在高考中以選擇、填空題的形式進(jìn)行考查，難度中低檔。1.二元一次不等式表示的平面區(qū)域（1)一般地,二元一次不等式Ax＋By＋C〉0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax＋By＋C＝0某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域.我們把直線畫成虛線，以表示區(qū)域不包括邊界直線。當(dāng)我們在坐標(biāo)系中畫不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面區(qū)域時，此區(qū)域應(yīng)包括邊界直線，則把邊界直線畫成實線。（2)對于直線Ax＋By＋C＝0同一側(cè)的所有點，把它的坐標(biāo)(x,y)代入Ax＋By＋C，所得的符號都相同，所以只需在此直線的同一側(cè)取一個特殊點（x0，y0)作為測試點，由Ax0＋By0＋C的符號即可斷定Ax＋By＋C>0表示的是直線Ax＋By＋C＝0哪一側(cè)的平面區(qū)域.2。線性規(guī)劃相關(guān)概念名稱意義約束條件由變量x，y組成的一次不等式線性約束條件由x，y的一次不等式(或方程）組成的不等式組目標(biāo)函數(shù)欲求最大值或最小值的函數(shù)線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x,y的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題3。重要結(jié)論畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域的直線定界，特殊點定域:（1)直線定界：不等式中無等號時直線畫成虛線，有等號時直線畫成實線。（2）特殊點定域：若直線不過原點,特殊點常選原點；若直線過原點，則特殊點常選取(0，1）或（1,0)來驗證.知識拓展1.利用“同號上，異號下"判斷二元一次不等式表示的平面區(qū)域?qū)τ贏x＋By＋C〉0或Ax＋By＋C<0，則有(1)當(dāng)B（Ax＋By＋C）〉0時，區(qū)域為直線Ax＋By＋C＝0的上方；（2）當(dāng)B(Ax＋By＋C)〈0時，區(qū)域為直線Ax＋By＋C＝0的下方.2。最優(yōu)解和可行解的關(guān)系最優(yōu)解必定是可行解，但可行解不一定是最優(yōu)解.最優(yōu)解不一定唯一，有時唯一，有時有多個.題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確（請在括號中打“√”或“×”）(1)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面區(qū)域的交集.(√）(2)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面區(qū)域一定在直線Ax＋By＋C＝0的上方。（×）(3)點(x1，y1）,（x2，y2）在直線Ax＋By＋C＝0同側(cè)的充要條件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C）〉0，異側(cè)的充要條件是（Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C）<0.(√)(4)線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是唯一的.(×）（5)目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(b≠0）中，z的幾何意義是直線ax＋by－z＝0在y軸上的截距.（×）題組二教材改編2。［P86T3］不等式組eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x－3y＋6≥0,,x－y＋2<0）)表示的平面區(qū)域是（）答案B解析x－3y＋6≥0表示直線x－3y＋6＝0及其右下方部分，x－y＋2<0表示直線x－y＋2＝0的左上方部分，故不等式組表示的平面區(qū)域為選項B中的陰影部分.3.[P91T2］投資生產(chǎn)A產(chǎn)品時，每生產(chǎn)100噸需要資金200萬元，需場地200平方米;投資生產(chǎn)B產(chǎn)品時，每生產(chǎn)100噸需要資金300萬元，需場地100平方米。現(xiàn)某單位可使用資金1400萬元，場地900平方米，則上述要求可用不等式組表示為__________________。(用x，y分別表示生產(chǎn)A，B產(chǎn)品的噸數(shù),x和y的單位是百噸)答案eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（200x＋300y≤1400，,200x＋100y≤900，,x≥0,,y≥0）)解析用表格列出各數(shù)據(jù)AB總數(shù)產(chǎn)品噸數(shù)xy資金200x300y1400場地200x100y900所以不難看出,x≥0,y≥0，200x＋300y≤1400,200x＋100y≤900。題組三易錯自糾4。下列各點中,不在x＋y－1≤0表示的平面區(qū)域內(nèi)的是()A。（0,0) B。（－1，1)C。（－1,3) D。(2，－3）答案C解析把各點的坐標(biāo)代入可得（－1，3)不適合，故選C。5。已知變量x，y滿足eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≤0，,x－2y＋3≥0，,x≥0,)）則z＝（eq\r（2）)2x＋y的最大值為（）A.eq\r(2） B。2eq\r（2)C.2 D。4答案D解析作出滿足不等式組的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示，令m＝2x＋y,則當(dāng)m取得最大值時，z＝(eq\r（2))2x＋y取得最大值.由圖知直線m＝2x＋y經(jīng)過點A（1，2）時,m取得最大值，所以zmax＝（eq\r(2)）2×1＋2＝4，故選D。6。（2018屆浙江省溫州市“十五校聯(lián)合體”期中)點P（x,y）在直線4x＋3y＝0上，且滿足－14≤x－y≤7，則點P到坐標(biāo)原點的距離的取值范圍是（）A.［0，5]B.[0，10]C.[5,10]D.[5，15］答案B解析根據(jù)約束條件畫出可行域，是圖中一條線段AB.當(dāng)P在點A時，點P到坐標(biāo)原點的距離最大，最大值是10；當(dāng)P在原點O時，點P到坐標(biāo)原點的距離最小，最小值是0，∴其取值范圍是[0，10]。題型一二元一次不等式（組)表示的平面區(qū)域命題點1不含參數(shù)的平面區(qū)域問題典例在平面直角坐標(biāo)系中,已知平面區(qū)域A＝{（x，y)｜x＋y≤1,且x≥0，y≥0｝，則平面區(qū)域B＝{(x＋y，x－y）｜（x，y）∈A}的面積為（）A。2 B.1C.eq\f(1，2） D.eq\f（1,4）答案B解析對于集合B，令m＝x＋y,n＝x－y，則x＝eq\f(m＋n，2),y＝eq\f(m－n,2),由于(x，y）∈A，所以eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（\f(m＋n，2）＋\f(m－n，2)≤1，，\f(m＋n，2）≥0，,\f（m－n,2)≥0，))即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（m≤1，，m＋n≥0，，m－n≥0，)）因此平面區(qū)域B的面積即為不等式組eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（m≤1,，m＋n≥0，,m－n≥0))所對應(yīng)的平面區(qū)域(陰影部分)的面積，畫出圖形可知,該平面區(qū)域的面積為2×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,2)×1×1））＝1，故選B.命題點2含參數(shù)的平面區(qū)域問題典例(2018屆浙江省嘉興市第一中學(xué)基礎(chǔ)測試)若不等式組eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x－y≥0，，3x＋y≤3，，x＋y≥a）)表示一個三角形內(nèi)部的區(qū)域，則實數(shù)a的取值范圍是(）A.eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－∞,\f（3，4））） B.eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（3,4），＋∞））C.eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2）)） D。eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（3,2)，＋∞）)答案C解析x＋y>a表示直線的右上方，若構(gòu)成三角形,點A在x＋y＝a的右上方即可.又Aeq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(3，4)，\f(3,4)))，所以eq\f（3，4）＋eq\f（3，4）>a，即a<eq\f（3，2）.思維升華（1)求平面區(qū)域的面積①首先畫出不等式組表示的平面區(qū)域，若不能直接畫出，應(yīng)利用題目的已知條件轉(zhuǎn)化為不等式組問題，從而再作出平面區(qū)域；②對平面區(qū)域進(jìn)行分析，若為三角形應(yīng)確定底與高，若為規(guī)則的四邊形（如平行四邊形或梯形),可利用面積公式直接求解，若為不規(guī)則四邊形，可分割成幾個三角形，分別求解再求和即可.(2）利用幾何意義求解的平面區(qū)域問題，也應(yīng)作出平面圖形，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解。跟蹤訓(xùn)練(1）（2016·浙江)若平面區(qū)域eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＋y－3≥0，，2x－y－3≤0，，x－2y＋3≥0))夾在兩條斜率為1的平行直線之間，則這兩條平行直線間的距離的最小值是()A.eq\f（3\r(5），5) B.eq\r（2）C。eq\f(3\r(2），2） D.eq\r(5)答案B解析已知不等式組所表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x－2y＋3＝0，，x＋y－3＝0，）)解得A(1，2），由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＋y－3＝0，，2x－y－3＝0，））解得B(2，1）.由題意可知,A，B所以直線x＋y－3＝0垂直于這兩條平行線,當(dāng)斜率為1的兩條直線分別過點A和點B時，兩直線的距離最小，即｜AB|＝eq\r(1－22＋2－12)＝eq\r(2）。(2)已知約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x≥1,,x＋y－4≤0，,kx－y≤0))表示面積為1的直角三角形區(qū)域，則實數(shù)k的值為()A.1 B.－1C。0 D。－2答案A解析由于x＝1與x＋y－4＝0不可能垂直，所以只有可能x＋y－4＝0與kx－y＝0垂直或x＝1與kx－y＝0垂直。①當(dāng)x＋y－4＝0與kx－y＝0垂直時，k＝1,檢驗知三角形區(qū)域面積為1，即符合要求。②當(dāng)x＝1與kx－y＝0垂直時,k＝0,檢驗不符合要求。題型二求目標(biāo)函數(shù)的最值問題命題點1求線性目標(biāo)函數(shù)的最值典例（1）(2017·全國Ⅱ)設(shè)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y－3≤0,,2x－3y＋3≥0,,y＋3≥0，））則z＝2x＋y的最小值是()A.－15 B.－9C.1 D.9答案A解析不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示.將目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y化為y＝－2x＋z,作出直線y＝－2x，并平移該直線知，當(dāng)直線y＝－2x＋z經(jīng)過點A(－6,－3）時，z有最小值，且zmin＝2×(－6)－3＝－15。故選A.(2)已知實數(shù)x，y滿足約束條件eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1≥0，,x<2，，x＋y－1≥0，）)z＝｜2x－2y－1|,則z的最小值為________.答案0解析由約束條件eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x－2y＋1≥0，,x〈2，，x＋y－1≥0）)作可行域如圖(陰影部分），解得A(2，－1），Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，3)，\f（2,3）））。令u＝2x－2y－1，則y＝x－eq\f（u，2)－eq\f（1，2），由圖可知，當(dāng)y＝x－eq\f(u,2)－eq\f（1,2)經(jīng)過點A（2，－1)時，直線y＝x－eq\f(u,2）－eq\f(1，2)在y軸上的截距最小，u最大，最大值為2×2－2×（－1)－1＝5；當(dāng)y＝x－eq\f（u,2）－eq\f（1,2）經(jīng)過點Beq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,3），\f（2,3)）)時,直線y＝x－eq\f(u,2）－eq\f（1,2）在y軸上的截距最大,u最小，最小值為2×eq\f（1，3）－2×eq\f(2，3）－1＝－eq\f(5，3）?！啵璭q\f（5，3)≤u〈5,∴z＝｜u｜∈[0，5)?！鄗的最小值為0.命題點2求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值典例若變量x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤2，，2x－3y≤9,,x≥0，)）則x2＋y2的最大值是(）A。4 B.9C。10 D.12答案C解析滿足條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＋y≤2，,2x－3y≤9，，x≥0）)的可行域如圖陰影部分(包括邊界）所示，x2＋y2是可行域上動點（x，y）到原點（0,0)距離的平方，顯然，當(dāng)x＝3，y＝－1時，x2＋y2取得最大值，最大值為10.故選C。命題點3求參數(shù)值或取值范圍典例(1）已知a〉0，x,y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x≥1，，x＋y≤3,，y≥ax－3,））若z＝2x＋y的最小值為1，則a＝________.答案eq\f（1,2）解析作出不等式組表示的可行域，如圖陰影部分(含邊界)。當(dāng)直線z＝2x＋y過交點A時,z取最小值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝1，,y＝ax－3，））得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝1,,y＝－2a，))∴zmin＝2－2a＝1，解得a＝eq\f（1，2）.(2）當(dāng)實數(shù)x,y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＋2y－4≤0，,x－y－1≤0，,x≥1)）時,1≤ax＋y≤4恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________。答案eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1（1,\f(3,2）)）解析畫出可行域如圖中陰影部分(含邊界）所示,設(shè)目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋y，即y＝－ax＋z，當(dāng)a＝0時，1≤ax＋y≤4不恒成立。當(dāng)－a≥1，即a≤－1時,需滿足eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤a＋\f(3,2)≤4，，1≤2a＋1≤4，))此時無解.當(dāng)0＜－a＜1，即－1＜a＜0時，需滿足eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（1≤a＋\f（3，2)≤4，，1≤a≤4，))此時無解.要使1≤z≤4恒成立，則a〉0，數(shù)形結(jié)合知,滿足eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(1≤2a＋1≤4,,1≤a≤4）)即可，解得1≤a≤eq\f（3，2）。所以a的取值范圍是eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（1，\f(3,2））).(3)（2017·浙江)若x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x≥0，，x＋y－3≥0，,x－2y≤0，))則z＝x＋2y的取值范圍是（)A。［0，6］ B。［0，4]C.［6,＋∞) D.［4,＋∞)答案D解析作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示.由題意可知，當(dāng)直線y＝－eq\f（1,2）x＋eq\f(z,2)過點A(2，1)時，z取得最小值，即zmin＝2＋2×1＝4。所以z＝x＋2y的取值范圍是［4,＋∞）。故選D.思維升華(1)先準(zhǔn)確作出可行域，再借助目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求目標(biāo)函數(shù)的最值。（2）當(dāng)目標(biāo)函數(shù)是非線性的函數(shù)時，常利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義來解題，常見代數(shù)式的幾何意義有①eq\r(x2＋y2)表示點(x，y)與原點（0，0)的距離，eq\r（x－a2＋y－b2）表示點(x，y）與點（a，b)的距離；②eq\f（y，x）表示點(x，y）與原點(0,0）連線的斜率，eq\f(y－b，x－a)表示點(x，y)與點(a，b)連線的斜率.(3）當(dāng)目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)時，要根據(jù)臨界位置確定參數(shù)所滿足的條件。跟蹤訓(xùn)練(1）已知實數(shù)x,y滿足約束條件eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－6〉0，，y≥\f（1,2)x－3,,x＋4y≤12，)）則z＝eq\f(y－3,x－2)的取值范圍為()A。eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞,－\f（1，2))) B.eq\b\lc\（\rc\］(\a\vs4\al\co1（－∞，－\f（1,3))）C。eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(－\f（1，2)，－\f（1，3））） D。eq\b\lc\[\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（1，3)，＋∞））答案B解析不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，z＝eq\f（y－3,x－2）表示點D（2,3)與平面區(qū)域內(nèi)的點（x，y)之間連線的斜率.因為點D（2，3）與點B(8,1)連線的斜率為－eq\f（1,3)且C的坐標(biāo)為(2，－2)，故由圖知，z＝eq\f（y－3，x－2）的取值范圍為eq\b\lc\（\rc\］(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3))），故選B。(2)已知x，y滿足約束條件eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋y≤2,,y≥0,)）若z＝ax＋y的最大值為4，則a等于()A。3 B。2C。－2 D.－3答案B解析根據(jù)已知條件,畫出可行域，如圖陰影部分所示。由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z,直線的斜率k＝－a.當(dāng)0<k≤1,即－1≤a〈0時，無選項滿足此范圍;當(dāng)k〉1,即a<－1時，由圖形可知此時最優(yōu)解為點(0,0),此時z＝0，不合題意；當(dāng)－1≤k<0，即0〈a≤1時,無選項滿足此范圍；當(dāng)k〈－1，即a〉1時，由圖形可知此時最優(yōu)解為點（2,0)，此時z＝2a＋0＝4，得a＝2.(3）(2015·浙江)若實數(shù)x，y滿足x2＋y2≤1,則|2x＋y－2|＋｜6－x－3y｜的最小值是________.答案3解析滿足x2＋y2≤1的實數(shù)x，y表示的點(x，y)構(gòu)成的區(qū)域是單位圓及其內(nèi)部.f（x,y)＝｜2x＋y－2｜＋｜6－x－3y｜＝｜2x＋y－2｜＋6－x－3y＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(4＋x－2y,y≥－2x＋2,，8－3x－4y,y<－2x＋2.））直線y＝－2x＋2與圓x2＋y2＝1交于A，B兩點，如圖所示，點B的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（3,5）,\f(4,5）））。設(shè)z1＝4＋x－2y，z2＝8－3x－4y，分別作直線y＝eq\f(1,2）x和y＝－eq\f（3，4）x并平移，則z1＝4＋x－2y在點Beq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（3,5），\f（4，5）））取得最小值3，z2＝8－3x－4y在點Beq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（3，5)，\f（4,5))）取得最小值3，所以|2x＋y－2|＋｜6－x－3y|的最小值是3。

題型三線性規(guī)劃的實際應(yīng)用問題典例某玩具生產(chǎn)公司每天計劃生產(chǎn)衛(wèi)兵、騎兵、傘兵這三種玩具共100個，生產(chǎn)一個衛(wèi)兵需5分鐘，生產(chǎn)一個騎兵需7分鐘，生產(chǎn)一個傘兵需4分鐘，已知總生產(chǎn)時間不超過10小時。若生產(chǎn)一個衛(wèi)兵可獲利潤5元，生產(chǎn)一個騎兵可獲利潤6元，生產(chǎn)一個傘兵可獲利潤3元.（1)試用每天生產(chǎn)的衛(wèi)兵個數(shù)x與騎兵個數(shù)y表示每天的利潤ω（元)；(2)怎樣分配生產(chǎn)任務(wù)才能使每天的利潤最大，最大利潤是多少？解（1)依題意每天生產(chǎn)的傘兵個數(shù)為100－x－y，所以利潤ω＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300。(2)約束條件為eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（5x＋7y＋4100－x－y≤600,,100－x－y≥0,，x≥0,y≥0，x，y∈N。））整理得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＋3y≤200,,x＋y≤100，，x≥0，y≥0，x，y∈N.））目標(biāo)函數(shù)為ω＝2x＋3y＋300，作出可行域，如圖陰影部分所示,作初始直線l0：2x＋3y＝0,平移l0,當(dāng)l0經(jīng)過點A時，ω有最大值，由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋3y＝200，,x＋y＝100，)）得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝50，,y＝50。）)∴最優(yōu)解為A(50，50）,此時ωmax＝550元.故每天生產(chǎn)衛(wèi)兵50個，騎兵50個,傘兵0個時利潤最大,且最大利潤為550元。思維升華解線性規(guī)劃應(yīng)用問題的一般步驟（1）審題：仔細(xì)閱讀材料,抓住關(guān)鍵,準(zhǔn)確理解題意，明確有哪些限制條件,借助表格或圖形理清變量之間的關(guān)系.(2)設(shè)元:設(shè)問題中起關(guān)鍵作用(或關(guān)聯(lián)較多）的量為未知量x,y，并列出相應(yīng)的不等式組和目標(biāo)函數(shù).(3）作圖：準(zhǔn)確作出可行域,平移找點（最優(yōu)解).（4)求解:代入目標(biāo)函數(shù)求解（最大值或最小值)。(5）檢驗：根據(jù)結(jié)果，檢驗反饋.

跟蹤訓(xùn)練某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料。生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1。5kg,乙材料1kg，用5個工時;生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg，乙材料0。3kg，用3個工時.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100元,生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元。該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg，乙材料90kg,則在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為________元。答案216000解析設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件,根據(jù)所耗費的材料要求、工時要求等其他限制條件,得線性約束條件為eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(1。5x＋0.5y≤150，，x＋0。3y≤90，,5x＋3y≤600，，x≥0，x∈N＊，,y≥0，y∈N*，))目標(biāo)函數(shù)z＝2100x＋900y.作出可行域為圖中的四邊形,包括邊界，頂點為(60,100）,（0，200），(0，0)，(90,0），在（60,100)處取得最大值，zmax＝2100×60＋900×100＝216000（元)。線性規(guī)劃問題考點分析線性規(guī)劃是高考重點考查的一個知識點.這類問題一般有三類：①目標(biāo)函數(shù)是線性的；②目標(biāo)函數(shù)是非線性的;③已知最優(yōu)解求參數(shù)，處理時要注意搞清是哪種類型,利用數(shù)形結(jié)合解決問題.典例（1）(2018屆浙江溫州高考適應(yīng)性測試）若實數(shù)x，y滿足約束條件eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋y－2≥0,,3x－y－6≤0，，x－y≥0，))則z＝2x＋y的取值范圍是（）A。［3，4］B。[3，12］C。［3，9]D。［4,9］答案C解析畫出不等式組eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＋y－2≥0,，3x－y－6≤0，，x－y≥0))表示的可行域（如圖陰影部分所示），由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＋y－2＝0,，x－y＝0，)）得A（1，1)，由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（3x－y－6＝0，，x－y＝0，）)得B(3，3），平移直線y＝－2x＋z，當(dāng)直線經(jīng)過A，B時分別取得最小值3，最大值9，故z＝2x＋y的取值范圍是［3,9］,故選C.(2）某校今年計劃招聘女教師a名，男教師b名,若a,b滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（2a－b≥5，,a－b≤2,,a〈7，,a,b∈N，）)設(shè)這所學(xué)校今年計劃招聘教師最多x名,則x等于(）A。10B.12C.13D。16答案C解析畫出約束條件所表示的區(qū)域(如圖陰影部分），作直線l：b＋a＝0，平移直線l,再由a，b∈N，可知當(dāng)a＝6，b＝7時，xmax＝a＋b＝13.1。下列二元一次不等式組可表示圖中陰影部分平面區(qū)域的是()A。eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（y≥－1，，2x－y＋2≥0)) B。eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（y≥－1,,2x－y＋4≤0）)C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x≤0，,y≥－2，，2x－y＋2≥0)） D.eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,y≥－2,,2x－y＋4≤0）)答案C解析將原點坐標(biāo)（0，0）代入2x－y＋2,得2>0，于是2x－y＋2≥0所表示的平面區(qū)域在直線2x－y＋2＝0的右下方，結(jié)合所給圖形可知C正確.2.直線2x＋y－10＝0與不等式組eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x≥0,,y≥0,,x－y≥－2,,4x＋3y≤20））表示的平面區(qū)域的公共點有（)A。0個 B.1個C.2個 D。無數(shù)個答案B解析由不等式組畫出可行域的平面區(qū)域如圖陰影部分所示.直線2x＋y－10＝0恰過點A（5,0），且其斜率k＝－2<kAB＝－eq\f(4，3)，即直線2x＋y－10＝0與平面區(qū)域僅有一個公共點A(5，0）.3。若不等式組eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋y－2≤0，,x＋2y－2≥0，,x－y＋2m≥0)）表示的平面區(qū)域為三角形,且其面積等于eq\f（4，3），則m的值為（)A。－3B.1C。eq\f(4,3)D.3答案B解析不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分，則圖中A點縱坐標(biāo)yA＝1＋m，B點縱坐標(biāo)yB＝eq\f(2m＋2，3),C點橫坐標(biāo)xC＝－2m,∴S△ABD＝S△ACD－S△BCD＝eq\f（1，2）×（2＋2m）×（1＋m)－eq\f(1，2)×（2＋2m）×eq\f(2m＋2，3）＝eq\f（m＋12,3)＝eq\f（4，3），∴m＝1或m＝－3，又∵當(dāng)m＝－3時，不滿足題意，應(yīng)舍去，∴m＝1。4。若整數(shù)x,y滿足不等式組eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x－2y≥0,,x＋2y＋4≥0，,7x＋2y－8≤0，))則3x＋4y的最大值是（)A.－10B.－6C。0D。3答案D5。某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品.已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克。每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元,每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元。公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中，要求每天消耗A、B原料都不超過12千克。通過合理安排生產(chǎn)計劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤是()A.1800元 B。2400元C。2800元 D.3100元答案C解析設(shè)每天生產(chǎn)甲種產(chǎn)品x桶,乙種產(chǎn)品y桶，則根據(jù)題意得x，y滿足的約束條件為eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＋2y≤12，,2x＋y≤12,，x≥0，x∈N,，y≥0，y∈N.,）)設(shè)獲利z元,則z＝300x＋400y。畫出可行域如圖陰影部分。畫出直線l:300x＋400y＝0，即3x＋4y＝0。平移直線l，從圖中可知，當(dāng)直線l過點M時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值.由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＋2y＝12,,2x＋y＝12，））解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝4，，y＝4，））即M的坐標(biāo)為(4,4),∴zmax＝300×4＋400×4＝2800（元）.故選C.6.已知實數(shù)x,y滿足約束條件eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x〉0,,4x＋3y≤4，，y≥0，))則ω＝eq\f(y＋1,x）的最小值是（）A.－2 B。2C。－1 D.1答案D解析作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，ω＝eq\f（y＋1，x）的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點P(x，y)與定點A(0,－1)所在直線的斜率，由圖象可知當(dāng)P位于點D（1，0)時，直線AP的斜率最小，此時ω＝eq\f（y＋1,x)的最小值為eq\f（－1－0,0－1)＝1。故選D.7.(2017·浙江省“超級全能生”聯(lián)考)若實數(shù)x，y滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x－2y＋2≥0，,x＋2y＋2≥0，，2x－y－1≤0，)）則2|x＋1｜＋y的最大值是(）A.eq\f(14,3） B.eq\f(19，3）C。4 D.1答案B解析如圖所示,可行域為△ABC及其內(nèi)部，其中A(－2,0），Beq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（4，3)，\f(5,3)）），C(0，－1），因此當(dāng)x≥－1時，z＝2x＋2＋y過點B時取得最大值eq\f(19，3);當(dāng)x<－1時，z＝－2x－2＋y過點A時取最大值2.綜上，2｜x＋1｜＋y的最大值是eq\f（19,3).

8.已知點P的坐標(biāo)(x,y）滿足約束條件eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＋y≤4，，y≥x，，x≥1,))過點P的直線l與圓C：x2＋y2＝14相交于A，B兩點，則｜AB｜的最小值是________。答案4解析根據(jù)約束條件畫出可行域，如圖中陰影部分所示,設(shè)點P到圓心的距離為d，則求最短弦長，等價于求到圓心的距離d最大的點，即為圖中的P點，其坐標(biāo)為(1，3)，則d＝eq\r(12＋32)＝eq\r(10）,此時｜AB｜min＝2eq\r(14－10)＝4.9。(2017·全國Ⅲ)若x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x－y≥0，,x＋y－2≤0，，y≥0，）)則z＝3x－4y的最小值為________.答案－1解析不等式組eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋y－2≤0，，y≥0）)表示的可行域如圖陰影部分所示。由z＝3x－4y,得y＝eq\f（3,4)x－eq\f(1,4）z.平移直線y＝eq\f(3,4)x，知經(jīng)過點A時，直線在y軸上的截距最大，z有最小值。由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,x＋y－2＝0，））得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝1，，y＝1,))∴A(1，1）?！鄗min＝3－4＝－1。10.(2017·杭州模擬)已知O是坐標(biāo)原點，點M的坐標(biāo)為（2,1），若點N(x，y）為平面區(qū)域eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤2，，x≥\f(1，2)，，y≥x))上的一個動點,則eq\o（OM,\s\up6（→)）·eq\o(ON,\s\up6（→)）的最大值是________。答案3解析依題意，得不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，其中Aeq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1，2），\f(1,2））），Beq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，2),\f(3,2))），C(1，1）.設(shè)z＝eq\o(OM,\s\up6(→)）·eq\o（ON,\s\up6(→))＝2x＋y，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y過點C（1，1)時,z＝2x＋y取得最大值3.11。若直線y＝2x上存在點(x，y)滿足約束條件eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＋y－3≤0，，x－2y－3≤0，，x≥m，))則實數(shù)m的最大值為________。答案1解析約束條件eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋y－3≤0,,x－2y－3≤0,,x≥m））表示的可行域如圖中陰影部分所示。當(dāng)直線x＝m從如圖所示的實線位置運動到過A點的虛線位置時，m取最大值.解方程組eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋y－3＝0，,y＝2x)）得A點坐標(biāo)為(1，2).∴m的最大值為1.12。已知x,y滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(y≤x,，x＋2y≤4，，y≥－2，))則z＝x2＋y2＋2x－2y＋2的最小值為________.答案2解析畫出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域（如圖陰影部分），目標(biāo)函數(shù)z＝x2＋y2＋2x－2y＋2＝（x＋1）2＋（y－1）2表示可行域內(nèi)一點到點A（－1，1）的距離的平方，根據(jù)圖象可以看出，點A（－1，1）到可行域內(nèi)一點距離的最小值為點A（－1，1）到直線x－y＝0的距離d＝eq\f(｜－1－1|，\r（2)）＝eq\r(2），則d2＝2，則z＝x2＋y2＋2x－2y＋2的最小值為2。13。在平面直角坐標(biāo)系中,不等式組eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＋y≤0，,x－y≤0，，x2＋y2≤r2）)(r為常數(shù)）表示的平面區(qū)域的面積為π,若x，y滿足上述約束條件，則z＝eq\f（x＋y＋1,x＋3)的最小值為（）A.－1 B.－eq\f(5\r(2)＋1,7)C。eq\f(1，3) D.－eq\f（7,5）答案D解析作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示，由題意，知eq\f（1,4）πr2＝π，解得r＝2。3,2）的連線的斜率，由圖可知，當(dāng)點(x，y)與點P的連線與圓x2＋y2＝r2相切時斜率最小.設(shè)切線方程為y－2＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋2＝0，則有eq\f(|3k＋2|,\r（k2＋1)）＝2,解得k＝－eq\f(12，5)或k＝0（舍)，所以zmin＝1－eq\f(12,5）＝－eq\f（7，5），故選D.14。(2017·浙江省杭州高級中學(xué)模擬）已知不等式組eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－4≤0，，x－4y＋1≤0））所表示的平面區(qū)域為M，不等式組eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（2x－3y－3≥0，，2x＋2y－3≤0))所表示的平面區(qū)域為N，若M中存在點在圓C：(x－3）2＋(y－1)2＝r2（r＞0）內(nèi)，但N中不存在點在圓C內(nèi)，則r的取值范圍是（)A。eq\b\lc\（\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f（\r（13)，2）)) B.eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(\r（13）,2)，\r（17)））C。（0，eq\r（17）) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1（0，\f（5\r(2),4)））答案D解析作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖，圓心坐標(biāo)C（3，1）,點C在直線x＋y－4＝0上，則M中一定存在點在圓C內(nèi)，只要保證N中不存在點在圓C內(nèi)即可，當(dāng)圓和直線2x＋2y－3＝0相切時,圓和區(qū)域N開始有交點，此時圓心C到直線2x＋2y－3＝0的距離d＝eq\f（|2×3＋2×1－3|,\r（4＋4））＝eq\f（5,2\r(2）)＝eq\f（5\r（2），4)，若N中不存在點在圓C內(nèi),則0〈r≤eq\f（5\r（2),4)。15。已知點P（x，y)的坐標(biāo)滿足約束條件eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，，y>x，，y<2x＋1，)）則eq\f（x＋y,\r（x2＋y2）)的取值范圍為________。答案(－eq\r(2），1]解析方法一作出不等式組eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al