華中科技大學(xué)數(shù)理方程課件-第四章格林函數(shù)法

第四章格林函數(shù)法分離變量法主要適用于求解各種有界問題，而傅立葉變換法則主要適用于求解各種無界問題，這兩種方法所得到的解一般分別為無窮級數(shù)和無窮積分的形式。格林函數(shù)法給出的解則是有限的積分形式，十分便于理論分析和研究。格林函數(shù)又稱為點(diǎn)源函數(shù)或影響函數(shù)。顧名思義，它表示一個(gè)點(diǎn)源在一定的邊界條件和(或)初值條件下所產(chǎn)生的場或影響。由于任意分布的源所產(chǎn)生的場均可看成許許多多點(diǎn)源產(chǎn)生的場的疊加，因此格林函數(shù)一旦求出，就可算出任意源的場。格林函數(shù)法以統(tǒng)一的方式處理各類數(shù)學(xué)物理方程，既可以研究常微分方程，又可以研究偏微分方程；既可以研究齊次方程又可以研究非齊次方程；既可以研究有界問題，又可以研究無界問題。它的內(nèi)容十分豐富，應(yīng)用極其廣泛。這一章，我們主要介紹用格林函數(shù)求解拉普拉斯方程的邊值問題。4.1格林公式及其應(yīng)用4.1.1基本解對拉普拉斯方程,其球坐標(biāo)形式為：(4.1.1)求方程(4.1.1)的球?qū)ΨQ解(即與和無關(guān)的解),則有：

其通解為：為任意常數(shù))。若取,則得到特解,稱此解為三維Laplace方程的基本解,它在研究三維拉普拉斯方程中起著重要的作用.對二維拉普拉斯方程,其極坐標(biāo)形式為:(4.1.2)求方程(4.1.2)的徑向?qū)ΨQ解(即與無關(guān)的解),則有：

其通解為：為任意常數(shù))。若取,則得到特解,稱此解為二維Laplace方程的基本解.4.1.2格林公式由高斯公式,則得到格林第一公式：令將以上兩公式相減，得到格林第二公式：調(diào)和函數(shù)：具有二階偏導(dǎo)數(shù)并且滿足拉普拉斯方程的連續(xù)函數(shù)。4.1.3調(diào)和函數(shù)的積分表達(dá)式由Green公式可導(dǎo)出調(diào)和函數(shù)的積分表示。由于函數(shù)：除在點(diǎn)外處處滿足三維Laplace方程，于是有定理：若函數(shù)在上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且在內(nèi)調(diào)和，則調(diào)和函數(shù)在區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的值可以通過積分表達(dá)式用這個(gè)函數(shù)在區(qū)域邊界上的值和邊界上的法向?qū)?shù)來表示。若函數(shù)在上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且在內(nèi)滿足Poisson方程，則同樣有4.1.4調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1.設(shè)是區(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，它在上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則其中的外法線方向。是證明只要在Green公式中取即證。注：此性質(zhì)表明調(diào)和函數(shù)的法向?qū)?shù)沿區(qū)域邊界的積分為零。對穩(wěn)定的溫度場，流入和流出物體界面的熱量相等，否則就不能保持熱的動態(tài)平衡，而使溫度場不穩(wěn)定。

思考：Laplace方程N(yùn)eumann問題有解的必要條件是什么？性質(zhì)2(平均值定理)設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)調(diào)和，是內(nèi)任意一點(diǎn)，若是以為中心，a為半徑的球面，此球完全落在區(qū)域的內(nèi)部，則有證明：由調(diào)和函數(shù)的積分表示：及由性質(zhì)1，有上式稱為調(diào)和函數(shù)的球面平均值公式。又因?yàn)?，在上有，所以性質(zhì)3(極值原理)設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)調(diào)和，它在上連續(xù)且不為常數(shù)，則它的最大值與最小值只能在邊界上達(dá)到。推論1

設(shè)在內(nèi)有在上連續(xù)且在邊界上有，則在內(nèi)有推論2Dirichlet問題的解是唯一的。4.2格林函數(shù)由于調(diào)和函數(shù)有積分表示:又因?yàn)镈irichlet邊值問題的解唯一,故希望將此問題的解用積分表示出來。但由于在積分表達(dá)示中，u在邊界上的值雖然已知,而在邊界上的值卻不知道.那么,能否作為邊界條件加上的值呢？因?yàn)?此時(shí)的解已經(jīng)是唯一的了.那么只有想辦法去掉為此，引入格林函數(shù)的概念。顯然這是行不通的，(4.2.1)格林函數(shù)的物理背景原點(diǎn)處點(diǎn)電荷電量，點(diǎn)電荷密度處點(diǎn)電位即處點(diǎn)電荷電量點(diǎn)電荷密度處點(diǎn)電位4.2.1格林函數(shù)的定義設(shè)在內(nèi)有在上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則由格林第二公式有(4.2.2)將（4.2.1）和(4.2.2)兩式加起來：(4.2.3)選擇調(diào)和函數(shù)v滿足,于是有：(4.2.4)記(4.2.5)則有(4.2.6)稱

為Laplace方程的格林函數(shù)。若上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)Dirichlet問題且在

上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的解存在時(shí)，解可以表示為在(4.2.7)存在對Po齒is牧so背n方程序的Di往ri枝ch京le慘t問題上存崇在具毅有一捎階連桿續(xù)偏袖導(dǎo)數(shù)終的解午，則黨解可鏈以如果蕩在表示針為由此澆可見,求解Di驢ri愚ch楚le鋼t問題,關(guān)鍵蹄是求Gr溫ee臥n函數(shù)(4村.2污.5痰),其中v滿足賴一個(gè)比特殊鎖的Di屯ri訓(xùn)ch姻le獻(xiàn)t問題巷：(4音.2狗.8料)稱由底函數(shù)v確定獄的格剃林函鴿數(shù)為第一哀邊值墻問題粱的格梅林函蔬數(shù)。4.蹦2.肅2格林茄函數(shù)綠的性貓質(zhì)1.格林掙函數(shù)在除汁去點(diǎn)外處島處滿擦足La濱pl眼ac莊e方程降，當(dāng)時(shí)，其階原數(shù)與怪相傲同。2.在邊趣界上典，格冠林函柱數(shù)恒深等于腦零：3.在區(qū)清域嘉內(nèi)挎成立海不等臉式：（用補(bǔ)極值無原理房誠證明糖）4.（由域格林鎖第二貫公式慢證明饑）5.4.感3格林呈函數(shù)附的應(yīng)難用用鏡致象法鍛求特姿殊區(qū)境域上腔的函陳數(shù)。4.活3.暮1上半覽空間棉內(nèi)的Gr捏ee燦n函數(shù)紛及Di幻玉ri久ch斜le災(zāi)t問題求解耕上半構(gòu)空間內(nèi)的Di柜ri戰(zhàn)ch候le炕t問題先求秒上半許空間內(nèi)的Gr繭ee負(fù)n函數(shù)（4.掘3.憶1），即薄求解炕問題在區(qū)扣域外棵找出碗?yún)^(qū)域程內(nèi)一濃點(diǎn)關(guān)回于邊里界的斷象點(diǎn)銀，在甲這兩霧個(gè)點(diǎn)聞放置妥適當(dāng)悄的電悠荷，脈這兩預(yù)個(gè)電泰荷產(chǎn)每生的次電位尖在曲盾面邊端界上踩相互刮抵消球。這染兩個(gè)哲電荷帝在區(qū)哨域中峰形成筆的電求位就古是所階要求鍛的格習(xí)林函圓數(shù)。于是動，半?？臻g趕上的砍格林荷函數(shù)歸為(4易.3澆.2飽)從而袋，問康題(4寇.3漆.1文)的解退可表亦示為:由于貪平面z=0上的須外法候線方漆向即oz軸的箏負(fù)向,所以即所以畫，問字題(4珠.3飾.1蹲)的解畏為:例2求解層下列趙定解撕問題解：4.英3.睬2球域榜上的Gr方ee佛n函數(shù)財(cái)及Di幸ri廈ch認(rèn)le提t(yī)問題其中假，（4.逃3.僚3），即歇求解念問題求解蕉球域爽上的Di晌ri畏ch邊le雞t問題是以蓬坐標(biāo)趁原點(diǎn)O為球倦心，R為半堅(jiān)徑的靠球域襪。先求逐球域厘上的Gr棒ee鄰n函數(shù)球內(nèi)辱的格麗林函梢數(shù)M0點(diǎn)處點(diǎn)電荷電量，M1點(diǎn)處點(diǎn)電荷電量從而胞，問臣題(4槐.3邀.3恥)的解律可表精示為善：因其中是與的夾澇角，吃于是歇：（4.量3.急4）此公遍式稱拴為球愧域上兼的泊鉤松積哥分公拴式。豎如果掘用球值坐標(biāo)綁表示刪，則料有（4.竭3.濃5）其中是點(diǎn)的球綁坐標(biāo)惑，是上動他點(diǎn)的萬坐標(biāo)，是與的夾校角。你由于所以(4鞭.3菌.6謎)例1.設(shè)有翼一半浴徑為R的均灰勻球歲，上賓半球逢面的骨溫度幟保持傻為。求候球內(nèi)報(bào)溫度留的穩(wěn)緞定分肚布。下半專球面壁的溫賽度保答持為解：緒考慮遙定解蘇問題由球年域上著的泊雖松積蛾分公繡式(4搬.3答.5繩)，得由于句此積律分的健計(jì)算唇很困鉆難，嫂下面撥我們候只考唇慮一思些特臭殊位夜置的溫度熟分布剖。比賢如，迅求溫旨度在樸球的燒鉛垂種直徑（直統(tǒng)徑的懲上半部嗚）和（直笛徑的謀下半梳部分雨）上華的分站布。當(dāng)時(shí)，(見(4量.3騎.6播)式)，故坡有：當(dāng)時(shí)，,故有在以愿上兩別個(gè)公蜓式中票，當(dāng)時(shí)，靜球的隸溫度慰為.4.芒3.顛3四分宜之一丑空間盟的格發(fā)林函越數(shù)4.蘭4試探添法及Po依is追so倦n方程夜的求慌解4.嘆4.泊1試探自法對某桃些定盛解問壤題,根據(jù)漏問題損的物機(jī)理意父義和所幾何毅特征妄，可娛假設(shè)淋解具量有某詞種特制殊形登式，貞將這枕種形待式的游解代仍入方遵程進(jìn)肺行試潑探直傅至求指出特塵解。叮這種睬方法偵稱為叼試探喉法。例1.設(shè)有午一半暗徑為R的無偉限均滿勻圓慘柱體,已知滲圓柱予內(nèi)無潔熱源,圓柱面上待的溫修度分綠布為,試求鋸圓柱蜓內(nèi)溫蜓度的突穩(wěn)定值分布.解：倉因柱巨面上跳溫度請與z無關(guān),則域豎內(nèi)溫辨度也倉應(yīng)與z無關(guān),故原跨問題可簡押化為罰求解璃圓域脖上La榆pl贊ac彎e方程樣的第乏一邊堡值問誦題,采用茂極坐釀標(biāo),我們謹(jǐn)考慮何問題:由(4關(guān).4談.2皆),設(shè)(4吩.4野.1歷)得,代入,再由(4罪.4歷.2陪)得由的任減意性偽得:例2求圓揉柱域內(nèi)的才電位u,使在頸柱面南上有艘給定容的電故場強(qiáng)慈度的法疑向分象量,即解:由邊宣界條童件知悉，問燦題可堵化為特平面緩問題越：由邊餐界條聚件(4忘.4治.4碗),設(shè),顯然滿足獸方程(4咸.4行.3爹)及條旺件(4喇.4曠.4誦)，于礙是問剩題的溝解為配：例3求由狠兩同緞心球應(yīng)面導(dǎo)艇體和構(gòu)成態(tài)的電隨容器粘內(nèi)的電盲位，道使內(nèi)船球面保持脹常電撇位外球欲面接原地。解:采用添球坐顧標(biāo)，登考慮圣定解隙問題由邊都界條瘋件知鑒，球裕內(nèi)電同位的許分布處僅與r有關(guān)舒，即狠電位函數(shù)系是球陽對稱傳的，盈而電擱位與r成反襪比，井故可槳設(shè)顯然滿足(4啊.4刻.5股),這是瓶因?yàn)?是三拾維La綿pl勤ac畢e方程的基追本解勒。由(4青.4小.6閑)于是(4邪.4團(tuán).5貸)子(4刪.4刷.6龍)的解泛為：如果云知道Po余is口so括n方程娘的一覺個(gè)特予解，擁則通壤過函也數(shù)代店換，4.濟(jì)4.樸2Po謹(jǐn)is絞so欣n方程騎的求會解就可霸將Po勇is屠so貌n方程防邊值劃問題渡化成La絨pl等ac組e方程潮的邊鄭值問萬題。例1求的特爺解。解:設(shè)其竭特解專為,則于是檢，其即解有搭無窮屯多個(gè)蛙，如等等臨。例2求下冊列問您題的陣解解:顯然跟方程洲有一讀個(gè)特棄解,故令,則由極遠(yuǎn)值原雷理，延上述創(chuàng)問題絞的解斃為,故原久問題觸的解嶄為：4.音4.