高數(shù)全微分圖文

全微分的定義可微的條件小結(jié)思考題作業(yè)totaldifferentiation第三節(jié)全微分第八章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用1函數(shù)的變化情況.偏導(dǎo)數(shù)討論的只是某一自變量變化時(shí)函數(shù)的變化率.現(xiàn)在來討論當(dāng)各個(gè)自變量同時(shí)變化時(shí)全微分2先來介紹全增量的概念為了引進(jìn)全微分的定義,全增量.域內(nèi)有定義,函數(shù)取得的增量全增量.全微分一、全微分的定義3全微分的定義處的全微分.全微分可表示為可微分,在點(diǎn)則稱函數(shù)稱為函數(shù)記作即函數(shù)若在某平面區(qū)域D內(nèi)處處可微時(shí),則稱可微函數(shù).這函數(shù)在D內(nèi)的而不依賴于4可微與偏導(dǎo)數(shù)存在有何關(guān)系呢？?微分系數(shù)注全微分有類似一元函數(shù)微分的A=?B=?兩個(gè)性質(zhì):全微分全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù).的線性函數(shù);高階無窮小.51.可微分的必要條件由下面的定理來回答：(可微必可導(dǎo)).定理1(可微必要條件)如果函數(shù)可微分,且函數(shù)的全微分為全微分二、可微的條件

6證總成立,同理可得上式仍成立,此時(shí)的某個(gè)鄰域如果函數(shù)可微分,全微分可微分,7都不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù).多元函數(shù)在某點(diǎn)可微是否保證事實(shí)上,顯然,答:由全微分的定義有可得多元函數(shù)可微必連續(xù)

連續(xù)的定義?不連續(xù)的函數(shù)上一節(jié)指出,多元函數(shù)在某點(diǎn)各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)即使都存在,函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)如果函數(shù)可微分,則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù).一定是不可微的.全微分8多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在全微分存在．如，下面舉例說明二元函數(shù)可微一定存在兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù).一元函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在微分存在．?回憶:一元函數(shù)的可導(dǎo)與可微的關(guān)系?但兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在函數(shù)也不一定可微.(由偏導(dǎo)數(shù)定義可求得)由定理1知全微分9則說明它不能隨著而趨于0,因此,如果考慮點(diǎn)沿直線趨近于全微分10說明

各偏導(dǎo)數(shù)存在只是全微分存在的必要條件而不是充分條件.這也是一元函數(shù)推廣到多元函數(shù)出現(xiàn)的又函數(shù)是可微分的.多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證全微分存在.一個(gè)原則區(qū)別.現(xiàn)再假定函數(shù)的則可證明全微分各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),112.可微分的充分條件

證在該點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)必存在的意思.定理2(今后常這樣理解).用拉氏定理(微分充分條件)假定偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)P(x,y)連續(xù),就含有偏導(dǎo)數(shù)全微分偏導(dǎo)數(shù)12全微分13同理全微分14在原點(diǎn)(0,0)可微.并非必要條件.如事實(shí)上,注定理2的條件(即兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)連續(xù))可微的充分全微分僅是函數(shù)在點(diǎn)條件,同樣,15全微分在原只點(diǎn)(0諷,0發(fā))可微.于是,16即函美數(shù)f(x,頭y)在原鳴點(diǎn)(0挪,0潛)可微.但是,事實(shí)悼上,偏導(dǎo)雷數(shù)在邊原點(diǎn)(0毒,0氧)不連側(cè)續(xù).全微分所以,特別塌是不存屑在.即fx(x,壓y)在原亡點(diǎn)(0會(huì),0富)不連購續(xù).極限fy(x,y)在原點(diǎn)(0,0)也不連續(xù).同理可證,函數(shù)拉在一斷點(diǎn)可唐微,此題杏說明:在這導(dǎo)點(diǎn)偏途導(dǎo)數(shù)丸不一束定連聯(lián)續(xù).17記全恭微分牙為通常讀把二窄元函桃數(shù)的粉全微抗分等正于它災(zāi)的兩數(shù)個(gè)偏仇微分超之和疊加態(tài)原理遞也適疼用于盆二元于以上鹿函數(shù)硬的情剪況.一元梢函數(shù)花的許躺多微險(xiǎn)分性忽質(zhì),(一階)全微況分形微式的信不變翅性.同樣符有:習(xí)慣昏上,稱為康二元繪函數(shù)貼的微若分符箏合疊加催原理．這里蜻仍適湯用.全微分如三冠元函逆數(shù)則18解全微分計(jì)算誘函數(shù)在點(diǎn)的全曠微分.所以例19解全微分例20答案練習(xí)全微分21全微分解例試比踏較的值.22全微分解例計(jì)算的近門似值.利用場(chǎng)函數(shù)在點(diǎn)處的馬可微倘性,可得23全微分20許02年考淘研數(shù)孕學(xué)一,駕3分考慮芹二元幫函數(shù)f(x,y)的下亭面4條性寫質(zhì):①f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處連臂續(xù),②f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處的拐兩個(gè)位偏導(dǎo)捎數(shù)連與續(xù),③f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處可治微,④f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處的扔兩個(gè)效偏導(dǎo)剛數(shù)存串在.若用“”表示指可由美性質(zhì)P推出犬性質(zhì)Q,則有(A)②③①.(B)③②①.(C)③④①.(D)③①④.單項(xiàng)占選先擇題24上海專交大賠考題(9拔5級(jí))連續(xù).D全微分結(jié)論不正傘確的是(語)穴.都存在,25上海犬交大脂考題(9繳8級(jí))D全微分26上海鉆交大留考題(9肌3級(jí))上海蜻交大史考題(9瓜6級(jí))全微分填空不題27上海勢(shì)交大肯考題(9衡7級(jí))(非)事實(shí)宵上,全微分是非寧題28全微殖分的灑定義全微鍬分的磁計(jì)算多元著函數(shù)者極限紅、連煉續(xù)、吐偏導(dǎo)渠、可株微的慶關(guān)系(注意末：與撤一元撲函數(shù)掀有很憂大的倘區(qū)別)全微分可微罩分的徒必要否條件絲式、可微閱分的細(xì)充分拿條件三、彼小結(jié)29對(duì)一元印函數(shù)的極摔限、且連續(xù)威、可角導(dǎo)、鋼可微筆間的可關(guān)系難：可微已可導(dǎo)欺連續(xù)謀有極穩(wěn)限對(duì)多元辛函數(shù)的極藏限、六連續(xù)柔、可哄導(dǎo)、掛可微孟的關(guān)裙系：偏導(dǎo)符連續(xù)址可抵微踢連續(xù)謠有慶極限有偏積導(dǎo)全微分30全微分問全微福分公筋式恒成也立嗎?答不一柱定.考慮晃函數(shù)思考首題131全微分某城掀市的筐大氣謠污染虜指數(shù)P取決囑于兩痰個(gè)因部素,即空數(shù)氣中陰固體知廢物鈔的數(shù)淡量x和空休氣中遍有害劇氣體碌的數(shù)悲量y逐.它們搬之間寶的關(guān)稼系可從表示桶成(1多)計(jì)算和并說避明它牛們的掙實(shí)際意義.(2狐)該城蜜市空嚇氣污牢染的很情況兄怎樣?(3惜)城市錄空氣僵污染范的狀況苦是否器有所恐改善.思考勵(lì)題232作業(yè)習(xí)題8-哀3岔(2文4頁)1.喚(3鏈)艙(4梅)運(yùn)2.變3稠.33(A)偏導(dǎo)活