第11講圖形思想課-圖形的相似-2022年八升九數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)精講精練（蘇科版）（原卷版）

第11講 圖形思想課--圖形的相似知識梳理（一）比例的性質(zhì)1.比例中項(xiàng)；2.合分比性質(zhì)；3.等比性質(zhì)（二）平行線分線段成比例定理1.兩條直線被一組平行線所截，所得的線段成比例。2.如右圖所示，所得的對應(yīng)線段成比例的有：EQ\F(AB,BC)=eq\f(DE,EF)，EQ\F(AB,AC)=\F(DE,DF)，\F(AB,DE)=\F(AC,DF)，等等。3.所得的線段必須是對應(yīng)的，否則不成比例。4.平行線段分線段成比例定理的常見變形如下圖所示： （三）平行線分線段成比例定理的推論平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對應(yīng)線段成比例。1.一定要注意三邊的對應(yīng)的關(guān)系，不要寫錯(cuò)2.平行于三角形的一邊的直線可以與三角形的兩邊相交，也可以與三角形的兩邊的延長線相交，如下圖所示，若DE∥BC，則有EQ\F(ＡＤ,ＡＢ)＝\F(ＡＥ,ＡＣ)，\F(ＡＤ,ＤＢ)＝\F(ＡＥ,ＥＣ)，\F(ＤＢ,ＡＢ)＝\F(ＥＣ,ＡＣ)（四）相似三角的判定方法1、如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角分別與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似．2、如果一個(gè)三角的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．3、如果一個(gè)三角形的三條邊分別與另一個(gè)三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似．（五）相似三角形基本類型1、平行線型：常見的有如下兩種，DE∥BC，則△ADE∽△ABC2、相交線型：常見的有如下四種情形（1）如圖，已知∠1=∠B，則由公共角∠A得，△ADE∽△ABC（2）如下左圖，已知∠1=∠B，則由公共角∠A得，△ADC∽△ACB（3）如下右圖，已知∠B=∠D，則由對頂角∠1=∠2得，△ADE∽△ABC3、旋轉(zhuǎn)型：已知∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，則△ADE∽△ABC，下圖為常見的基本圖形．4、母子型：已知∠ACB=90°，AB⊥CD，則△CBD∽△ABC∽△ACD．5、斜交型：如圖：其中∠1=∠2，則△ADE∽△ABC稱為“斜交型”的相似三角形。（有“反A共角型”、“反A共角共邊型”、“蝶型”）6、垂直型：有“雙垂直共角型”、“雙垂直共角共邊型（也稱“射影定理型”）”“三垂直型”）（六）黃金分割（七）相似三角形的性質(zhì)1、相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例.2、相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.3、相似三角形周長的比等于相似比.4、相似三角形面積的比等于相似比的平方.（八）利用三角形相似測量高度方法1、利用陽光下的影子測量物高根據(jù)太陽光線是平行的，尋找相似三角形.在同一時(shí)刻，EQ\F(被測量物體的實(shí)際高度,被測量物體的影長)=\F(某物體的實(shí)際高度,某物體的影長)2、利用標(biāo)桿測量物高3、利用鏡子原理測量物高（九）圖形的位似1、位似圖形的定義2、圖形位似的性質(zhì)01.成比例線段與平行線分線段成比例01.成比例線段與平行線分線段成比例例題精講 例題精講例1、已知，（1）求的值；（2）如果，求x的值．例2、如圖，AC∥BD，AD、BC相交于E，EF∥BD，求證：+=．02.三角形相似的條件02.三角形相似的條件例題精講 例題精講例1、如圖，在正方形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，且CF=3FD．則圖中相似三角形的對數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4

例2、在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開始向點(diǎn)B以2cm/秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開始向點(diǎn)A以1cm/秒的速度移動(dòng)，如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t（秒）表示運(yùn)動(dòng)時(shí)間（0≤t≤6），那么當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ與△ABD相似？說明理由．03.利用三角形相似測高距03.利用三角形相似測高距例題精講 例題精講例1、如圖，數(shù)學(xué)興趣小組的小穎想測量教學(xué)樓前的一棵樹的樹高，下午課外活動(dòng)時(shí)她測得一根長為1m的竹竿的影長是0.8m，但當(dāng)她馬上測量樹高時(shí)，發(fā)現(xiàn)樹的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教學(xué)樓的墻壁上（如圖），他先測得留在墻壁上的影高為1.2m，又測得地面的影長為2.6m，請你幫她算一下，樹高是（）A．3.25m B．4.25m C．4.45m D．4.75m例2、如圖，某水平地面上建筑物的高度為AB，在點(diǎn)D和點(diǎn)F處分別豎立高是2米的標(biāo)桿CD和EF，兩標(biāo)桿相隔52米，并且建筑物AB、標(biāo)桿CD和EF在同一豎直平面內(nèi)，從標(biāo)桿CD后退2米到點(diǎn)G處，在G處測得建筑物頂端A和標(biāo)桿頂端C在同一條直線上；從標(biāo)桿FE后退4米到點(diǎn)H處，在H處測得建筑物頂端A和標(biāo)桿頂端E在同一條直線上，求建筑物的高．04.相似三角形的性質(zhì)及位似04.相似三角形的性質(zhì)及位似例題精講 例題精講例1、一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC=12cm，高AD=8cm，把它加工成矩形零件如圖，要使矩形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC上．且矩形的長與寬的比為3：2，求這個(gè)矩形零件的邊長．例2、△ABC經(jīng)過一定的運(yùn)動(dòng)得到△A1B1C1，然后以點(diǎn)A1為位似中心按比例尺A1B2：A1B1=2：1，△A1B1C1放大為△A1B2C2，如果△ABC上的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b），那么這個(gè)點(diǎn)在△A1B2C2中的對應(yīng)點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（）A．（a+3，b+2） B．（a+2，b+3） C．（2a+6，2b+4） D．（2a+4，2b+6）

舉一反三 舉一反三1、已知，則的值是（）A． B． C． D．2、如圖，△ABC中，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，在BA的延長線上取一點(diǎn)E，使得ED=EC，ED與AC交于點(diǎn)F，則的值為（）A． B． C． D． 第2題圖 第3題圖 第4題圖3、如圖，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在邊AB上取點(diǎn)P，使得△PAD與△PBC相似，則這樣的P點(diǎn)共有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4、如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點(diǎn)，且DE∥AC，AE、CD相交于點(diǎn)O，若S△DOE：S△COA=1：25，則S△BDE與S△CDE的比是（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：255、已知，如圖所示的一張三角形紙片ABC，邊AB的長為20cm，AB邊上的高為25cm，在三角形紙片ABC中從下往上依次裁剪去寬為4cm的矩形紙條，若剪得的其中一張紙條是正方形，那么這張正方形紙條是（）A．第4張 B．第5張 C．第6張 D．第7張第5題圖 第6題圖

6、如圖，直線l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C分別在l1，l2，l3上，∠ACB=90°，AC交l2于點(diǎn)D，已知l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3，則的值為（）A． B． C． D．7、如圖所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，點(diǎn)D在BC上運(yùn)動(dòng)（不能到達(dá)點(diǎn)B，C），過點(diǎn)D作∠ADE=45°，DE交AC于點(diǎn)E．（1）求證：△ABD∽△DCE；（2）當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí)，求AE的長．8、如圖，為了測量路燈S的高度，把一根1.5m長的竹竿AB豎立在地面上，測得竹竿的影長BC為1m，然后拿著竹竿沿DB方向遠(yuǎn)離路燈方向走了4米到B′，再把竹竿豎立在地面上（即A′B′），測得竹竿的影長為1.8m，求路燈的高度．

課后鞏固 課后鞏固1、如圖，在平面直角坐標(biāo)中，正方形ABCD與正方形BEFG是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且相似比為，點(diǎn)A，B，E在x軸上，若正方形BEFG的邊長為6，則C點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2）第1題圖 第2題圖 第3題圖 第4題圖2、如圖，AC∥BD，AD與BC交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF∥BD，交線段AB于點(diǎn)F，則下列各式錯(cuò)誤的是（）A．= B．= C．+=1 D．=3、為了加強(qiáng)視力保護(hù)意識，小明要在書房里掛一張視力表．由于書房空間狹小，他想根據(jù)測試距離為5m的大視力表制作一個(gè)測試距離為3m的小視力表．如圖，如果大視力表中“E”的高度是3.5cm，那么小視力表中相應(yīng)“E”的高度是（）A．3cm B．2.5cm C．2.3cm D．2.1cm4、如圖，在△ABC與△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC與△ADE相似，還需滿足下列條件中的（）A．= B．= C．= D．=5、2021年6月27日，四川共青圖雨城區(qū)委在中里鎮(zhèn)文化館舉辦了第二期青年剪紙培訓(xùn)，參加培訓(xùn)的小王想把一塊Rt△ABC廢紙片剪去一塊矩形BDEF紙片，如圖所示，若∠C=30°，AB=10cm，則該矩形BDEF的面積最大為（）A．4cm3 B．5cm3 C．10cm3 D．25cm3

6、興趣小組的同學(xué)要測量樹的高度．在陽光下，一名同學(xué)測得一根長為l米的竹竿的影長為0.5米，同時(shí)另一名同學(xué)測量樹的高度時(shí)，發(fā)現(xiàn)樹的影子不全落在地面上，有一部分落在教學(xué)樓的第一級臺階上，測得此影子長為0.2米，一級臺階高為0.3米，如圖所示，若此時(shí)落在地面上的影長為4.4米，則樹高為（）A．9.5米 B．10.75米 C．11.8米 D．9.8米7、如圖，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊運(yùn)動(dòng)，速度為4cm/s；如果P、Q兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，那么何時(shí)△QBP與△ABC相似？8、如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上，已知紙板的兩條直角邊DE=40cm，EF=20cm，測得邊DF離地面的高度AC=1.5m，CD=8m，求樹高AB．

直擊中考 直擊中考1、如圖，每個(gè)小正方形邊長均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與左圖中△ABC相似的是（）A． B． C． D． 第1題圖 第2題圖 第3題圖 第4題圖2、如圖，王華晚上由路燈A下的B處走到C處時(shí)，測得影子CD的長為1米，繼續(xù)往前走3米到達(dá)E處時(shí)，測得影子EF的長為2米，已知王華的身高是1.5米，那么路燈A的高度AB等于（）A．4.5米B．6米 C．7.2米D．8米3、如圖，△ABC與△DEF均為等邊三角形，O為BC、E