2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)等差數(shù)列

*2111mn2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：等差數(shù)列*2111mn等差數(shù)列____________＝＋aqmnN)但要注意：m在等差數(shù)列a＝kn＋中若＝p，易證得＝n等數(shù)列的定義一般地，如果一個數(shù)列從第項，每一項與它的前一項的____________于同一個，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的通用字母表示，即____________d(nN，n或___________(nN．

＋a成的充要條件是b＝0故對一般等差數(shù)列而p言，若m＋q則a＝＋a并一定成立．mp若{}{}為等差數(shù)列，且公差分別為，nn則列{pa}＋}±b}_2nnnn數(shù)列，且公差分別為____________，，____________.在差數(shù)列中，按序等距離取出若干項也構(gòu)成．差中項三個數(shù)a，，成等差數(shù)列，這時叫與b

一個等差數(shù)列，即，，anm2m公差為.

，…為等差數(shù)列，的_．．差數(shù)列的通項公式若{}是等差數(shù)列，則其式a＝nn____________.①{}成等差數(shù)列a＝＋，其中p＝nn____________，＝，(n，)是直線n____________一群孤立的點．②單調(diào)性＞0時{}____________數(shù)列n＜時{}___________數(shù)列；＝時{}n____________．差數(shù)列的前和公式等數(shù)列前n項和公式＝____________n其推導(dǎo)方法是．

等差數(shù)列的前項和為S，，S－nn3n－，為等差數(shù)列公差為n2若等差數(shù)列的項數(shù)為2n，則有SaS－＝，＝.San1自自．常數(shù)公差a－aa－n1n．差中項．a(chǎn)＋(－①a－dy＝＋(a－)11②單調(diào)遞增單遞減常數(shù)列n＋）（n－1．＋2a}等數(shù)列，求的值：n____________，若a＞d＜，且滿足____________S最；n____________，若a＜d＞，且滿足____________S最；n

時，時，

倒序相加法≥0≤≤0≥．m)(2)n等差±1或利用二次函數(shù)求最值；或利用導(dǎo)數(shù)求最值．．差數(shù)列的性質(zhì)－a(1)a－＝____________，即＝.mn－n

(2016·全卷)知等差數(shù){}9項和n為，＝8則a＝()10100AB．98．在差數(shù)列中，若pm則有a＋pq＝a＋；若2m＝p＋q，則有m

解：由題意得

9a＋×＝，1＋9d，1

解得

1001于是，22222222n1n**nnnn1001于是，22222222n1n**nnnn所a＝＋99d＝故.在等差數(shù)列{}，a＋a＝27a，表示n96數(shù)列{}前和，則S＝)nA18B．99C．198D解：因為a＋＝27－aa＝＋a，以33963＝27，以a＝，所以＝(a＋a)＝a＝61111故選在等差數(shù)列{a}＝，S＝，則數(shù)列n10{}前n項和S的大值()nAB．SC．或SD．15161617解：因為＝，＝，110××19所以10＋＝20a＋d，得d－121，（－1）所以＝29n＋×－2)＝－n＋n2＝－(n－＋所以當(dāng)＝15時取最大值．故選An(2015·廣東)在等差數(shù){}，若a＋a＋n345＋a＋＝，則a＋a＝________.672解因為{}等數(shù)列，所以a＋＝a＋＝n34＋a＝aa＋a＋a＋＋＝＝25得＝，28455＋a＝a＝故填.28(2016·江蘇)已知{}等數(shù)列，是前nn項和若a＋a＝3＝10a的是．19解公差為由題意可得a＋a＋)＝－3，11a＋d解得＝－4d則a＝－＋8×3119＝20.故填20.

所以{}首為1，公差為2的等差數(shù)列．n由(1)得＝＋2(－＝－，n即－＝－1.n（-2k-1）+1所以a－a＝，＝n＋11又a＝1所{}通項公式為＝n－＋1nn【點撥】aa11aannaq(pq)nnSBn(ABn已知數(shù)列}中，＝，＝2－a1≥2∈N，設(shè)b＝(nN)．na－n求證：數(shù)列等數(shù)列；n求{}通項公式．n1解證明因為＝2－所以a＝－.nann1所以－＝－＝－n1na－－1－－n－＝＝，－1－n所以{}首為＝＝1公差為等差n12－數(shù)列．類一

等數(shù)的定證

由(1)得＝即＝n所{}通項公na－n式為a＝1nn類二等數(shù)基量計數(shù)列{}足a＝，＝2＝an122－a＋n(1)設(shè)＝－a，明{}等數(shù)列；nn(2)求{}通項公式．n解：(1)明：由＝a－＋得nn1n－a＝－a＋n1n即＝＋2.n又＝－＝121

在等差數(shù)列{}，n已知a＝33，a＝，求a；15n已知a＝10，S＝，求S；6已知前和為，積為，且＞0，求a1解：(1)法一：設(shè)首項為a，差為d，依條件1得

n4515652122nnnn2nnnnnnn14d，n4515652122nnnn2nnnnnnn解＋，所以＝－23(－×44－27.n－a－－33解法二＝d＝＝－－1530，由＝＋－，得＝n－27.n1510(2)因為a＝10，＝，所＝解得＝－5，＝1（－1）313所以＝－5＋·＝－n2(3)設(shè)數(shù)列的前三項分別為－，a，a＋，依22題意有：＋a2（＋d，·（a2）＝48即d），解得因為＞，所以＝2，所以a＝－＝1【點撥】dna1Snn()等差數(shù)列{}前n項記為已知nn10＝30a＝50.20(1)求通項公式；n(2)若＝242求nn解由a＝a＋－d＝＝，n20，方程組＝50.解得＝12＝所以＝2＋10.1n（－1）(2)由＝＋，＝，n2n（－1）得方程12n＋×＝解得＝或n－22(舍去)．

則n________；a＋＝________.9解：由題意知a＋＋…＋＝36①1＋＋a＋…＋a＝180②nn2n5①＋②(＋)＋(＋a)＋…＋(a＋＝＋)126n＝，（＋）所以＋＝，又S＝＝，1所以18＝，所以n＝因為＋＝，n＝18所以a＋a＝，118從而＋＝＋＝36.填183691018設(shè)等差數(shù)列{a}前項為S，＝，nn6＝，則＋＋＝________.79解：{}等數(shù)列，得，－－為n3639等差數(shù)列．即S－)＝S＋－)，得到－＝63696－S＝45.故填6已知兩個等差數(shù){}{}前項分別nnAna為A和B，且＝，則使得為數(shù)的正整數(shù)nBn＋的個數(shù)是()A2B3C．D．5Ana14n＋解：由＝得：＝＝＝Bnb2n2nn＋1912使為數(shù)需＝＋為數(shù)，＋b＋n所以＝1，3，，，共有．選D【點撥】(1)“m()”“mna1pa”(2)qmnSS…(3)232nSn1)a2nnn(1)若一個項數(shù)為差數(shù)列的前3的類三

等數(shù)的質(zhì)

和為，最后項和為，所有項的和為390則n設(shè)等差數(shù)列{}前n項為S，已知nn前項和為36最后的和為180＝n＞6)，n

已知等差數(shù){}前n項和為S＝10，nS＝30則S＝2030

n5n51n11*19195959228*nn21n1n8*2*(3)若兩個等差數(shù)列{}{}前n項分別為n5n51n11*19195959228*nn21n1n8*2*nnS7S和T，已知＝，則等于()nnTnb21A7B.8334，解：(1)題1n146，兩式相加得(＋)(a＋a)(＋)＝1nn32因為＋＝＋＝＋a，以＋a＝1n213n1n

大值．解法三：解法二得d－a＜1設(shè)此數(shù)列的前n項最，則a＋n－1a即1－a1≤，解得即8≤≤960.

（＋）因為＝＝390所以n13.故填13n

又∈N，以當(dāng)＝8或9時，有大值．n解法四：解法二得d－a＜，1(2)因為S，－，－成差數(shù)列，所以101030S－)＝＋S－)，所以40＋－，20101020所以S＝60.填60.30＋ab＋(3)因為a＝，＝，52＋a（a＋a）19721所以＝＝＝＝＝.故b＋（b＋b）T941919選D

又S＝得＋＋＋＋＋＋＝，571112所以7＝，所以＝99所以當(dāng)＝8或9時，S有大．n【點撥】n(2)(3)Bn(A)nn類四

等數(shù)的值題等差數(shù)列{}首＞其n項和n為，S＝，當(dāng)n何值時，有大值？n解法一題知＜0為＝n＋a－，n設(shè)fx)x＋a－x，如圖，＋1217由＝知，拋物線的對稱軸為＝＝，5122由圖可知，當(dāng)1≤n時單遞增；當(dāng)nn時，單調(diào)遞減，且＝n89又∈N所以當(dāng)n或時，有大值．n解法二：等差數(shù){}公為，由＝n得a＋＝a＋，d＝－a＜0.11（－1）（n－11S＝na＋＝na＋·－n1172289＝－n－17n)－－＋，116164因為＞∈N，以當(dāng)nS有1n

(2015·杭質(zhì)量檢測設(shè)為差數(shù)列n{}前n項和(n＋＜nS(nN)若＜，nn7則)A的大值是B．的小值是n8nC．的最大值是．S的小值是nnS解：由條件得＜，n1（a＋a）（＋1（＋）即＜，22＋1）化簡得a＜a，以等差數(shù)列{}遞增數(shù)nn列．又＜－，所以a＞，＜，所以數(shù){}7n7項均為負數(shù)，第為正數(shù)，所以的小值為.n故選D.．差數(shù)列中，已知元素a，，，d，1n中的任意三個，便可求出其余兩個．除已知a，d1求a，可直接用公式，其他情況一般都要列方n程或方程組求解，因此這種問題蘊含著方程思想．注

6nnm11＝，117＝1，－那么＝＋1n－－＋－＋那么＝2[1＋6nnm11＝，117＝1，－那么＝＋1n－－＋－＋那么＝2[1＋14621

B.3

D．其他元素都轉(zhuǎn)化成基本元素是解決等差數(shù)列問題的一個非常重要的基本思想．．等差數(shù)列{a}n項絕對值{a|}之，首nn先應(yīng)分清這個數(shù)列哪些項是負的，哪些項是非負的，然后再分段求和．．差數(shù)列前和的最值通常是在正負項分界的位置產(chǎn)生，利用這一性質(zhì)可求其最值；另一種方法是利用二次函數(shù)的性質(zhì)．靈運用等差數(shù)列的性質(zhì)(等差中項的性質(zhì))，可簡化運算．．差數(shù){}前項滿足：等差數(shù)列且項{}首項相同公差為{}差的一n

解：設(shè)S＝，＝x，因為，－，－242SS成等差數(shù)列所以－＝5即＝所以＝46S49＝.故選A4．等差數(shù){}前項為，＝－2，nnm1S＝，＝，則m()m1A3B．C．．6解：由S＝S＝，＝，得a＝m1mm－＝2＝－＝3所以等差數(shù)列的公差m111m為d－＝3＝1，m＝＋－1）d，由1S＝m（m1）＝0半．

得

＋m＝，1解－）＝，

故在等差數(shù)列{}＝2＝＝)n2310A12B．14C．16．－解：＝，a＝4知d＝2.2－2所以＝＋d2＋8×2＝故選D102

選C．位數(shù)為1011的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項為2，則該數(shù)列的首項．解：設(shè)首項為，＋＝2×1011，解得11＝3.故填31．(2017·全卷Ⅱ等差數(shù){}前項和為，n．為差數(shù)列前項，差＝－2n若＝，a＝()1011

n＝3，S＝，則3k＝

＝________.A18BC．．24解：由＝S，a＝0.又已知d－2則a101111＝a＋d＝＋×(－＝0，解得a＝20.故選B1如等差數(shù)列{}，＋＋a＝，么n45＋a＋…a＝)12A14B．21C．D35解＋＋＝得＝以a＋a＋354＋a＋a＝×＝7＝28.故選C72

解：設(shè)等差數(shù)列的首項為a，差為d1＝，所以43解得＋＝，（＋n所以＝，＝，nn＝，Sn（n＋）n111Sn＋1k＝1

](2017·全卷Ⅰ記為差數(shù)列{a}前項n和．若＋＝24S＝，{}公差為()45A1B．C．D8

＝

2n＝故填＋1n＋9已知公差大于零的等差數(shù){}前n項為n（＋）解：＝＝48a＋a＝16a＋a＝6164＋a＝24，作差－＝＝2?d＝4.故選C188S．知等差數(shù){}前n項和為，＝4n2S則＝()S4

S，滿足a＝117，＋＝，求和Snn解：因數(shù)列{}等數(shù)列，所以＋a＝an3＋＝22.5又·＝117，所以a，a是程－x＋1173434＝兩實根，又公差＞0所以a＜a，以＝，a＝1333

2n**118nnnnnnS6767nn9，2n**118nnnnnnS6767nn所以所，所以通項公式＝－n（－1）所以＝na＋·d2－.n2知列{a}足a＝1＝(n∈，n＋1n≥，數(shù)列足系式＝n∈)．nan(1)求證：數(shù)列{}等數(shù)列；n(2)求數(shù)列{}通公式．n解：(1)明：因為＝，a＝，na2＋nn2a＋1所以＝＝＝，nana＋na＋1所以－＝－＝2.nnan又因為＝＝，1a1所以數(shù)列{}以為項為差的等差數(shù)列．n(2)由(知數(shù)列{}通項公式為＝1＋－nn×2n－1又b＝，nn所以＝＝.nb2－所以數(shù)列{}通公式為＝nn2－設(shè)S是列{}前n和且＝－，nn＝，＝________.n1n解：因為＝1，a＝S，以＝－，1nn1S－＝S所以－＝1以數(shù)nnS1n首項為－，公差為－的等差數(shù)列，所以＝，所以＝.故－Snn

（＋）解{}等數(shù)列＝n2＝9(a＋)＝故選.514．知{}等差數(shù)列，a＋＋＝，a＋n32＋a＝99則a等)4A－1．1C3D7解：式相減，可得3d＝，d＝2.由知可得3a＝，a＝35，所以a＝a＋17＝35＋33×－＝故選.．S為等差{}前項，若＝1，n1公差＝2－＝24則＝()kA8B．．6．解：由a＝1公差d得項＝－，又1S－＝a＋a，以2＋1k＋＝24得2k1k＝故選D.已知正項等差數(shù)列{}前項和為Snn＝，則·的大值()6A36BC．D．2解：在差數(shù)列{}，＝a＋a)＝，所n126＋以a＋＝又＞＞所a≤6767＝，即·的大值為4.故選C.6．(2016·青二模設(shè)數(shù)列{}前n項為，nS若為常數(shù)，則稱數(shù)列{}“祥數(shù)列”．已知等S2n差數(shù)列首項為1差不為數(shù)列{}“吉n祥數(shù)列”，則數(shù){}通項公式()nAb＝－1B．＝－1nnC．＝＋1D＝＋1nnS解：設(shè)差數(shù)列{}公為d(≠0)，＝k，n2n因為b＝，則＋n(－＝12k

n×（－）d，(n－dk＋kn．差數(shù){}前項為，a＝，n3＝12，則等于()6A8B．10．12D解設(shè)差數(shù)列{a}公為d由等差數(shù)列的前n×和公式，得＝3×＋d，解得＝，則3＝a＋(6－d＝＋5×2＝故61

－1)，整理得(k－1)dn－1)(2)＝因為對任意的正整數(shù)式均成立以k－1)＝，(2k－－d＝0解得d＝，k＝.以數(shù)列{}通項公式為＝nn故選B．等差數(shù){}前項和為，a＋ann5＝10，則＝18A20B．60C．90

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7．列{}等數(shù)列，若＋＋，a＋5n構(gòu)成公比為等比數(shù)列，則q

2241*22222解為列{a}等數(shù)列以＋1＋3，2241*22222n1＋5也等差數(shù)列．又＋，a＋，a＋構(gòu)為公53比為q的比數(shù)列，所a＋1a＋3＋為數(shù)135列，故＝1.填.．等差數(shù){}，＝3，11＝a－，n則數(shù)列{}前項和的小值為．nn解：設(shè)公差為，則－34＝5(－＋d)，所以＝，所數(shù)列{}遞數(shù)列．令≤，所以3(－≤0所以n，n5

－8(10＋1)，即≥，故取值范圍為{d≤－2