整式的乘除競賽題

整式的乘除競賽題整式的乘除競賽題◆以鮮明的教育理念啟發(fā)人◆以濃厚的學習氛圍影響人第4頁◆以不倦的育人精神感染人◆以優(yōu)良的學風學紀嚴律人◆/NUMPAGES71整式的乘除競賽題整式的乘除競賽題初二上加深提高部分整式的乘除復習題1、閱讀解答題：有些大數(shù)值問題可以通過用字母代替數(shù)轉化成整式問題來解決，請先閱讀下面的解題過程，再解答后面的問題．例：若x=123456789×123456786，y=123456788×123456787，試比較x、y的大小．解：設123456788=a，那么x=（a+1）（a-2）=a2-a-2，y=a（a-1）=a2-a .∵x-y=（a2-a-2）-（a2-a）=-2＜0∴x＜y看完后，你學到了這種方法嗎再親自試一試吧，你準行！問題：計算1.345×0.345×2.69-1.3453-1.345×0.3452解：設1.345=x，那么：原式=x（x-1）?2x-x3-x（x-1）2，=（2x3-2x2）-x3-x（x2-2x+1），=2x3-2x2-x3-x3+2x2-x，=-1.345．4、我們把符號“n!”讀作“n的階乘”，規(guī)定“其中n為自然數(shù)，當n≠0時，n!=n?（n-1）?（n-2）…2?1，當n=0時，0!=1”．例如：6!=6×5×4×3×2×1=720．又規(guī)定“在含有階乘和加、減、乘、除運算時，應先計算階乘，再乘除，后加堿，有括號就先算括號里面的”．按照以上的定義和運算順序，計算：（1）4!=；（2）（3+2）!-4!=；（3）用具體數(shù)試驗一下，看看等式（m+n）!=m!+n!是否成立？12.小明和小強平時是愛思考的學生，他們在學習《整式的運算》這一章時，發(fā)現(xiàn)有些整式乘法結果很有特點，例如：（x-1）（x2+x+1）=x3-1，（2a+b）（4a2-2ab+b2）=8a3+b3，小明說：“這些整式乘法左邊都是一個二項式跟一個三項式相乘，右邊是一個二項式”，小強說：“是??！而且右邊都可以看成是某兩項的立方的和（或差）”小明說：“還有，我發(fā)現(xiàn)左邊那個二項式和最后的結果有點像”小強說：“對啊，我也發(fā)現(xiàn)左邊那個三項式好像是個完全平方式，不對，又好像不是，中間不是兩項積的2倍”小明說：“二項式中間的符號、三項式中間項的符號和右邊結果中間的符號也有點聯(lián)系”…親愛的同學們，你能參與到他們的討論中并找到相應的規(guī)律嗎？（1）能否用字母表示你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律？（2）你能利用上面的規(guī)律來計算（-x-2y）（x2-2xy+4y2）嗎？2、一個單項式加上多項式9（x-1）2-2x-5后等于一個整式的平方，試求所有這樣的單項式．3、化簡：（1）；（2）多項式x2-xy與另一個整式的和是2x2+xy+3y2，求這一個整式解：（1）原式=2a2-ab+a2-8ab-ab=a2-9ab；

（2）（2x2+xy+3y2）-（x2-xy）=2x2+xy+3y2-x2+xy=x2+2xy+3y2．∴這個整式是x2+2xy+3y2．點評：（1）關鍵是去括號．①按5、設，求整式的值．6、已知整式2x2+ax-y+6與整式2bx2-3x+5y-1的差與字母x的值無關，試求代數(shù)式7（ab2+2b3-a2b）+3a2-（2a2b-3ab2-3a2）的值．解：（2x2+ax-y+6）-（2bx2-3x+5y-1）=2x2+ax-y+6-2bx2+3x-5y+1=（2-2b）x2+（a+3）x-6y+7，因為它們的差與字母x的取值無關，所以2-2b=0，a+3=0，解得a=-3，b=1．2（ab2+2b3-a2b）+3a2-（2a2b-3ab2-3a2）=6a2-4a2b+5ab2+4b3=6×（-3）2-4×（-3）2×1+5×（-3）×1+4×1=7．8。在盒子里放有四張分別寫有整式3x2-3，x2-x，x2+2x+1，2的卡片，從中隨機抽取兩張卡片，把兩張卡片上的整式分別作為分子和分母．（1）求能組成分式的概率；（2）在抽取的能組成分式的卡片中，請你選擇其中能進行約分的一個分式，并化簡這個式．解：（1）四張分別寫有整式3x2-3，x2-x，x2+2x+1，2的卡片，從中隨機抽取兩張卡片，把兩張卡片上的整式分別作為分子和分母共有4×3=12種結果，其中以“2”作分母的3個，不能組成分式，故可以組成9個分式，能組成分式的概率為=；（2）答案不唯一．如，=，9.甲乙兩人共同計算一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），由于甲抄錯了第一個多項式中a的符號，得到的結果為6x2+11x-10；由于乙漏抄了第二個多項中的x的系數(shù)，得到的結果為2x2-9x+10．請你計算出a、b的值各是多少，并寫出這道整式乘法的正確結果解：設第二個多項中的x的系數(shù)為Z，∴（2x+a）（Zx+b）=2Zx2+2bx+aZx+ab=2x2-9x+10，∴Z=1，∴第二個多項中的x的系數(shù)是1，∴（2x+a）（x+b）=2x2-9x+10，∴2b+a=-9，ab=10，∴b=-2，a=-5，∴（2x+a）（3x+b）=（2x-5）（3x-2）=6x2-19x+10；13.由于看錯了運算符號，某學生把一個整式減去-4a2+2b2+3c2誤以為是加上-4a2+2b2+3c2，結果得出的答案是a2-4b2-2c2，求原題的正確答案．解：設原來的整式為A則A+（-4a2+2b2+3c2）=a2-4b2-2c2∴A=5a2-6b2-5c2∴A-（-4a2+2b2+3c2）=5a2-6b2-5c2-（-4a2+2b2+3c2）=9a2-8b2-8c2．∴原題的正確答案為9a2-8b2-8c2．10.根據(jù)題意列出代數(shù)式，并判斷是否為整式，如果是整式指明是單項式還是多項式．（1）友誼商店實行貨物七五折優(yōu)惠銷售，則定價為x元的物品，售價是多少元？（2）一列火車從A站開往B站，火車的速度是a千米/小時，A，B兩站間的距離是120千米，則火車從A站開往B站需要多長時間？（3）某行政單位原有工作人員m人，現(xiàn)精簡機構，減少25%的工作人員，后又引進人才，調進3人，該單位現(xiàn)有多少人？解：（1）根據(jù)題意得，售價為：75%x，是整式，是單項式；（2）根據(jù)題意，t=，，∴不是整式；（3）根據(jù)題意得，現(xiàn)在人數(shù)為：（1-25%）m+3，是整式，是多項式．11.某村小麥種植面積是a畝，水稻種植面積比小麥種植面積多5畝，玉米種植面積是小麥種植面積的3倍．（1）玉米種植面積與水稻種植面積的差為m，試用含口的整式表示m；（2）當a=102畝時，求m的值．解：（1）m=3a-（a+5），=3a-a-5，=2a-5；

（2）當a=102時，m=2×102-5，=199（畝）14.紅星中學校辦工廠，生產并出售某種規(guī)格的楚天牌黑板，其成本價為每塊20元，若由廠家直銷，每塊售價30元，同時每月要消耗其他人工費用1200元；若委托商場銷售，出廠批發(fā)價為每塊24元．（1）若每月銷售x塊，用整式分別表示兩種銷售方式所獲得的利潤．（注：利潤=銷售總額-成本-其他費用）（2）新學期各學校教學黑板維修較多，銷路較好，預計11月份可銷售300塊，采取哪一種銷售方式獲得的利潤多？（3）若你是紅星中學校辦工廠的廠長，請你進行決策：當預計銷售200塊黑板時，應選擇哪一種銷售方式較好？解：（1）廠家直銷的利潤為（30-20）x-1200；委托商場銷售的利潤為（24-20）x；

（2）當x=300時，廠家直銷的利潤為10×300-1200=1800（元）；委托商場銷售的利潤為（24-20）×300=1200（元）；∴采取廠家直銷的利潤大；（3）當x=200時，廠家直銷的利潤為10×200-1200=800（元）；委托商場銷售的利潤為4×200=800（元）；∴兩種銷售方式一樣．16、探究應用：（1）計算（a-2）（a2+2a+4）=（2x-y）（4x2+2xy+y2）=．（2）上面的整式乘法計算結果很簡潔，你又發(fā)現(xiàn)一個新的乘法公式：（請用含a．b的字母表示）．（3）下列各式能用你發(fā)現(xiàn)的乘法公式計算的是．A．（a-3）（a2-3a+9）B．（2m-n）（2m2+2mn+n2）C．（4-x）（16+4x+x2）D．（m-n）（m2+2mn+n2）（4）直接用公式計算：（3x-2y）（9x2+6xy+4y2）=（2m-3）（4m2+6m+9）=17.閱讀下面學習材料：已知多項式2x3-x2+m有一個因式是2x+1，求m的值．解法一：設2x3-x2+m=（2x+1）（x2+ax+b），則2x3-x2+m=2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b比較系數(shù)得：，解得，所以m=0.5解法二：設2x3-x2+m=A（2x+1）（A為整式）．由于上式為恒等式，為了方便計算，取x=-0.5，得2×（-0.5）3-0.52+m=0，解得m=0.5根據(jù)上面學習材料，解答下面問題：已知多項式x4+mx3+nx-16有因式x-1和x-2，試用兩種方法求m、n的值．解：解法1：設x4+mx3+nx-16=（x-1）（x-2）（x2+ax+b），…（1分）則x4+mx3+nx-16=x4+（a-3）x3+（b-3a+2）x2+（2a-3b）x+2b…（2分）比較系數(shù)得：，解得，所以m=-5，n=20．…（4分）

18.（1）化簡：3x2y-[2xy-（xy-x2y+2xy）]（2）已知A=2x2+xy+3y2，B=x2-xy+2y2，C是一個整式，且A+B+C=0，求C．解：（1）原式=3x2y-[2xy-3xy+x2y]，（2分）=3x2y-x2y+xy，=x2y+xy；解：（2）A+B=2x2+xy+3y2+x2-xy+2y2=3x2+5y2（2分），A+B+C=0，C=-（A+B），=-3x2-5y2．（4分）19、問題1：同學們已經體會到靈活運用乘法公式給整式乘法及多項式的因式分解帶來的方便，快捷．相信通過下面材料的學習、探究，會使你大開眼界，并獲得成功的喜悅．例：用簡便方法計算195×205．解：195×205=（200-5）（200+5）①=2002-52②=39975（1）例題求解過程中，第②步變形是利用（填乘法公式的名稱）；（2）用簡便方法計算：9×11×101×10001．問題2：對于形如x2+2ax+a2這樣的二次三項式，可以用公式法將它分解成（x+a）2的形式．但對于二次三項式x2+2ax-3a2，就不能直接運用公式了．此時，我們可以在二次三項式x2+2ax-3a2中先加上一項a2，使它與x2+2ax的和成為一個完全平方式，再減去a2，整個式子的值不變，于是有：x2+2ax-3a2=（x2+2ax+a2）-a2-3a2=（x+a）2-（2a）2=（x+3a）（x-a）．像這樣，先添一適當項，使式中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變的方法稱為“配方法”．（1）利用“配方法”分解因式：a2-4a-12．問題3：若x-y=5，xy=3，求：①x2+y2；②x4+y4的值．15.閱讀解答題：在數(shù)學中，有些大數(shù)值問題可以通過用字母代替數(shù)轉化成整式問題來解決．例：若x=123456789×123456786，y=123456788×123456787，試比較x、y的大小．解：設123456788=a，那么x=（a+1）（a-2）=a2-a-2，y=a（a-1）=a2-a，∵x-y=（a2-a-2）-（a2-a）=-2＜0，∴x＜y．

看完后，你學到了這種方法嗎？不妨嘗試一下，相信你準行！問題：計算3.456×2.456×5.456-3.4563-1.4562．解：設3.456為a，則2.456=a-1，5.456=a+2，1.456=a-2，可得：3.456×2.456×5.456-3.4563-1.4562=a×（a-1）×（a+2）-a3-（a-2）2=a3+a2-2a-a3-a2+4a-4=2a-4，∵a=3.456，∴原式=2a-4=2×3.456-4=2.912．20.計算：（1）（-8a4b5c）÷（4ab5）?（3a3b2）（2）[2（a2x）3-9ax5]÷（3ax3）（3）（3mn+1）（-1+3mn）-（3mn-2）2（4）運用整式乘法公式計算1232-124×122（5）[（xy+2）（xy-2）-2x2y2+4]÷（xy），其中x=10，y=-．解：（1）（-8a4b5c）÷（4ab5）?（3a3b2），=-2a3c?（3a3b2），=-6a6b2c；

（2）[2（a2x）3-9ax5]÷（3ax3），=[2a6x3-9ax5]÷（3ax3），=；（3）（3mn+1）（-1+3mn）-（3mn-2）2，=（9m2n2-1）-（9m2n2-12mn+4），=9m2n2-1-9m2n2+12mn-4，=12mn-5；（4）1232-124×122，=1232-（123+1）×（123-1），=1232-（1232-1），=1232-1232+1，=1；（5）[（xy+2）（xy-2）-2x2y2+4]÷（xy），=[x2y2-4-2x2y2+4]÷（xy），=（-x2y2）÷（xy），=-xy；當x=10，y=-時，原式=-10×（-）=．21、一個角的補角是它的余角的度數(shù)的3倍，則這個角的度數(shù)是多少？(這個角是45°)22、如圖所示，是一個正方體的平面展開圖，標有字母A的面是正方體的正面，如果正方體的相對的兩個面上標注的代數(shù)式的值與相對面上的數(shù)字相等，求x、y的值．23、已知一個角的補角等于這個角的余角的4倍，求這個角的度數(shù)．(60)先化簡后求值：[（x-y）2+（x+y）（x-y）]÷2x，其中x=3，y=1.5．（1.5）．（2001?寧夏）設a-b=-2，求的值．（2）計算：解：由題意可設字母n=12346，那么12345=n-1，12347=n+1，于是分母變?yōu)閚2-（n-1）（n+1）．應用平方差公式化簡得n2-（n2-12）=n2-n2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24690．（2007?淄博）根據(jù)以下10個乘積，回答問題：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．（1）試將以上各乘積分別寫成一個“□2-○2”（兩數(shù)平方差）的形式，并寫出其中一個的思考過程；（2）將以上10個乘積按照從小到大的順序排列起來；（3）試由（1）、（2）猜測一個一般性的結論．（不要求證明分析：（1）根據(jù)要求求出兩數(shù)的平均數(shù)，再寫成平方差的形式即可．（2）減去的數(shù)越大，乘積就越小，據(jù)此規(guī)律填寫即可．（3）根據(jù)排列的順序可得，兩數(shù)相差越大，積越?。獯穑航猓海?）11×29=202-92；12×28=202-82；13×27=202-72；14×26=202-62；15×25=202-52；16×24=202-42；17×23=202-32；18×22=202-22；19×21=202-12；20×20=202-02…（4分）例如，11×29；假設11×29=□2-○2，因為□2-○2=（□+○）（□-○）；所以，可以令□-○=11，□+○=29．解得，□=20，○=9．故11×29=202-92．（或11×29=（20-9）（20+9）=202-92

（2）這10個乘積按照從小到大的順序依次是：11×29＜12×28＜13×27＜14×26＜15×25＜16×24＜17×23＜18×22＜19×21＜20×20整式的乘除復習題一．學新知識應用1、閱讀解答題：有些大數(shù)值問題可以通過用字母代替數(shù)轉化成整式問題來解決，請先閱讀下面的解題過程，再解答后面的問題．例：若x=123456789×123456786，y=123456788×123456787，比較x、y的大?。猓涸O123456788=a，那么x=（a+1）（a-2）=，y=a（a-1）= .∵x-y=-（）=-2＜0∴x＜y看完后，你學到了這種方法嗎再親自試一試吧，你準行！問題：計算1.345×0.345×2.69--1.345×計算3.456×2.456×5.456--．2、我們把符號“n!”讀作“n的階乘”，規(guī)定“其中n為自然數(shù)，當n≠0時，n!=n?（n-1）?（n-2）…2?1，當n=0時，0!=1”．例如：6!=6×5×4×3×2×1=720．又規(guī)定“在含有階乘和加、減、乘、除運算時，應先計算階乘，再乘除，后加堿，有括號就先算括號里面的”．按照以上的定義和運算順序，計算：（1）4!=；（2）（3+2）!-4!=；（3）用具體數(shù)試驗一下，看看等式（m+n）!=m!+n!是否成立？3.小明和小強平時是愛思考的學生，他們在學習《整式的運算》這一章時，發(fā)現(xiàn)有些整式乘法結果很有特點，例如：（x-1）=，（2a+b）（）=，小明說：“這些整式乘法左邊都是一個二項式跟一個三項式相乘，右邊是一個二項式”，小強說：“是啊！而且右邊都可以看成是某兩項的立方的和（或差）”小明說：“還有，我發(fā)現(xiàn)左邊那個二項式和最后的結果有點像”小強說：“對啊，我也發(fā)現(xiàn)左邊那個三項式好像是個完全平方式，不對，又好像不是，中間不是兩項積的2倍”小明說：“二項式中間的符號、三項式中間項的符號和右邊結果中間的符號也有點聯(lián)系”親愛的同學們，你能參與到他們的討論中并找到相應的規(guī)律嗎？（1）能否用字母表示你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律？（2）你能利用上面的規(guī)律來計算（-x-2y）嗎？（3）下列各式能用你發(fā)現(xiàn)的乘法公式計算的是．A．（a-3）（）B．（2m-n）（2）C．（4-x）（16+4x+）D．（m-n）（）（4）直接用公式計算：（3x-2y）（）=（2m-3）（+9）=4、問題1：同學們已經體會到靈活運用乘法公式給整式乘法及多項式的因式分解帶來的方便，快捷．相信通過下面材料的學習、探究，會使你大開眼界，并獲得成功的喜悅．例：用簡便方法計算195×205．解：195×205=（200-5）（200+5）①=2002-52②=39975（1）例題求解過程中，第②步變形是利用（填乘法公式的名稱）；（2）用簡便方法計算：9×11×101×10001．問題2：對于形如這樣的二次三項式，可以用公式法將它分解成的形式．但對于二次三項式，就不能直接運用公式了．此時，我們可以在二次三項式中先加上一項，使它與的和成為一個完全平方式，再減去，整個式子的值不變，于是有：=-=像這樣，先添一適當項，使式中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變的方法稱為“配方法”．（1）利用“配方法”分解因式：二．乘法公式應用5、一個單項式加上多項式后等于一個整式的平方，試求所有這樣的單項式．6、設，求整式的值若x-y=5，xy=3，求：①；②的值．三．整式的計算7、化簡：（1）；（2）多項式與另一個整式的和是，求這一個整式解：8、已知整式與整式的差與字母x的值無關，試求代數(shù)式7（）+-（）的值．9.甲乙兩人共同計算一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），由于甲抄錯了第一個多項式中a的符號，得到的結果為6+11x-10；由于乙漏抄了第二個多項中的x的系數(shù)，得到的結果為2-9x+10．請你計算出a、b的值各是多少，并寫出這道整式乘法的正確結果解：10.由于看錯了運算符號，某學生把一個整式減去-4+2+3誤以為是加上-4+2+3，結果得出的答案是-4-2，求原題的正確答案．11.根據(jù)題意列出代數(shù)式，并判斷是否為整式，如果是整式指明是單項式還是多項式．（1）友誼商店實行貨物七五折優(yōu)惠銷售，則定價為x元的物品，售價是多少元？（2）一列火車從A站開往B站，火車的速度是a千米/小時，A，B兩站間的距離是120千米，則火車從A站開往B站需要多長時間？（3）某行政單位原有工作人員m人，現(xiàn)精簡機構，減少25%的工作人員，后又引進人才，調進3人，該單位現(xiàn)有多少人？12.某村小麥種植面積是a畝，水稻種植面積比小麥種植面積多5畝，玉米種植面積是小麥種植面積的3倍．（1）玉米種植面積與水稻種植面積的差為m，試用含口的整式表示m；（2）當a=102畝時，求m的值．13.紅星中學校辦工廠，生產并出售某種規(guī)格的楚天牌黑板，其成本價為每塊20元，若由廠家直銷，每塊售價30元，同時每月要消耗其他人工費用1200元；若委托商場銷售，出廠批發(fā)價為每塊24元．（1）若每月銷售x塊，用整式分別表示兩種銷售方式所獲得的利潤．（注：利潤=銷售總額-成本-其他費用）（2）新學期各學校教學黑板維修較多，銷路較好，預計11月份可銷售300塊，采取哪一種銷售方式獲得的利潤多？（3）若你是紅星中學校辦工廠的廠長，請你進行決策：當預計銷售200塊黑板時，應選擇哪一種銷售方式較好？14.（1）化簡：3y-[2xy-（xy-y+2xy）]（2）已知A=2+xy+3，B=-xy+2，C是一個整式，且A+B+C=0，求C．15、如圖所示，是一個正方體的平面展開圖，標有字母A的面是正方體的正面，如果正方體的相對的兩個面上標注的代數(shù)式的值與相對面上的數(shù)字相等，求x、y的值．16計算：（1）（-8c）÷（4a）?（3）（2）[-9a]÷（3a）（3）（3mn+1）（-1+3mn）-（4）運用整式乘法公式計算-124×122三．寫多項式方法17.閱讀下面學習材料：已知多項式2-+m有一個因式是2x+1，求m的值．根據(jù)上面學習材料，解答下面問題：已知多項式+m+nx-16有因式x-1和x-2，試用兩種方法求m、n的值．四．余角和補角18、一個角的補角是它的余角的度數(shù)的3倍，則這個角的度數(shù)是多少？19、已知一個角的補角等于這個角的余角的4倍，求這個角的度數(shù)．小測驗姓名1.在盒子里放有四張分別寫有整式3-3，-x，+2x+1，2的卡片，從中隨機抽取兩張卡片，把兩張卡片上的整式分別作為分子和分母．（1）求能組成分式的概率；（2）在抽取的能組成分式的卡片中，請你選擇其中能進行約分的一個分式，并化簡這個式．2.先化簡后求值[+（x+y）（x-y）]÷2x，其中x=3，y=1.53.設a-b=-2，求的值4.計算5根據(jù)以下10個乘積，回答問題：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．（1）試將以上各乘積分別寫成一個“□2-○2”（兩數(shù)平方差）的形式，并寫出其中一個的思考過程；（2）將以上10個乘積按照從小到大的順序排列起來；（3）試由（1）、（2）猜測一個一般性的結論．（不要求證明）初中數(shù)學競賽專題培訓第一講：因式分解(一)◆以鮮明的教育理念啟發(fā)人◆以濃厚的學習氛圍影響人第2頁◆以不倦的育人精神感染人◆以優(yōu)良的學風學紀嚴律人◆多項式的因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應用于初等數(shù)學之中，是我們解決許多數(shù)學問題的有力工具．因式分解方法靈活，技巧性強，學習這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內容所必需的，而且對于培養(yǎng)學生的解題技能，發(fā)展學生的思維能力，都有著十分獨特的作用．初中數(shù)學教材中主要介紹了提取公因式法、運用公式法、分組分解法和十字相乘法．本講及下一講在中學數(shù)學教材基礎上，對因式分解的方法、技巧和應用作進一步的介紹．1．運用公式法在整式的乘、除中，我們學過若干個乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再補充幾個常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n為正整數(shù)；(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)，其中n為偶數(shù)；(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1)，其中n為奇數(shù)．運用公式法分解因式時，要根據(jù)多項式的特點，根據(jù)字母、系數(shù)、指數(shù)、符號等正確恰當?shù)剡x擇公式．例1分解因式：(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7．解(1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)=-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]=-2xn-1yn(x2n-y2)2=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2＝(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2．本小題可以稍加變形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2分解因式：a3+b3+c3-3abc．本題實際上就是用因式分解的方法證明前面給出的公式(6)．分析我們已經知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正確性，現(xiàn)將此公式變形為a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．這個式也是一個常用的公式，本題就借助于它來推導．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．說明公式(6)是一個應用極廣的公式，用它可以推出很多有用的結論，例如：我們將公式(6)變形為a3+b3+c3-3abc顯然，當a+b+c=0時，則a3+b3+c3=3abc；當a+b+c＞0時，則a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，當且僅當a=b=c時，等號成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，則有等號成立的充要條件是x=y=z．這也是一個常用的結論．例3分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析這個多項式的特點是：有16項，從最高次項x15開始，x的次數(shù)順次遞減至0，由此想到應用公式an-bn來分解．解因為x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以說明在本題的分解過程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，這一技巧在等式變形中很常用．2．拆項、添項法因式分解是多項式乘法的逆運算．在多項式乘法運算時，整理、化簡常將幾個同類項合并為一項，或將兩個僅符號相反的同類項相互抵消為零．在對某些多項式分解因式時，需要恢復那些被合并或相互抵消的項，即把多項式中的某一項拆成兩項或多項，或者在多項式中添上兩個僅符合相反的項，前者稱為拆項，后者稱為添項．拆項、添項的目的是使多項式能用分組分解法進行因式分解．例4分解因式：x3-9x+8．分析本題解法很多，這里只介紹運用拆項、添項法分解的幾種解法，注意一下拆項、添項的目的與技巧．解法1將常數(shù)項8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2將一次項-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3將三次項x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4添加兩項-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．說明由此題可以看出，用拆項、添項的方法分解因式時，要拆哪些項，添什么項并無一定之規(guī)，主要的是要依靠對題目特點的觀察，靈活變換，因此拆項、添項法是因式分解諸方法中技巧性最強的一種．例5分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解(1)將-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)將4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)將(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加兩項+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．說明(4)是一道較難的題目，由于分解后的因式結構較復雜，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加項后分成的三項組又無公因式，而是先將前兩組分解，再與第三組結合，找到公因式．這道題目使我們體會到拆項、添項法的極強技巧所在，同學們需多做練習，積累經驗．3．換元法換元法指的是將一個較復雜的代數(shù)式中的某一部分看作一個整體，并用一個新的字母替代這個整體來運算，從而使運算過程簡明清晰．例6分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析將原式展開，是關于x的四次多項式，分解因式較困難．我們不妨將x2+x看作一個整體，并用字母y來替代，于是原題轉化為關于y的二次三項式的因式分解問題了．解設x2+x=y，則原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．說明本題也可將x2+x+1看作一個整體，比如今x2+x+1=u，一樣可以得到同樣的結果，有興趣的同學不妨試一試．例7分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先將兩個括號內的多項式分解因式，然后再重新組合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2，則原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．說明對多項式適當?shù)暮愕茸冃问俏覀冋业叫略?y)的基礎．例8分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解設x2+4x+8=y，則原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．說明由本題可知，用換元法分解因式時，不必將原式中的元都用新元代換，根據(jù)題目需要，引入必要的新元，原式中的變元和新變元可以一起變形，換元法的本質是簡化多項式．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．解法1原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x2=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．說明本解法實際上是將x2-1看作一個整體，但并沒有設立新元來代替它，即熟練使用換元法后，并非每題都要設置新元來代替整體．解法2原式=x2[6(t2+2)+7t-36]=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．例10分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．分析本題含有兩個字母，且當互換這兩個字母的位置時，多項式保持不變，這樣的多項式叫作二元對稱式．對于較難分解的二元對稱式，經常令u=x+y，v=xy，用換元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，則原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2．練習一1．分解因式：(2)x10+x5-2；(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．2．分解因式：(1)x3+3x2-4；(2)x4-11x2y2+y2；(3)x3+9x2+26x+24；(4)x4-12x+323．3．分解因式：(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1；(2)x4+7x3+14x2+7x+1；(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1；(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．初中數(shù)學競賽專題培訓第二講：因式分解(二)1．雙十字相乘法分解二次三項式時，我們常用十字相乘法．對于某些二元二次六項式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我們也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我們將上式按x降冪排列，并把y當作常數(shù)，于是上式可變形為2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是關于x的二次三項式．對于常數(shù)項而言，它是關于y的二次三項式，也可以用十字相乘法，分解為即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法對關于x的二次三項式分解所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的過程，實施了兩次十字相乘法．如果把這兩個步驟中的十字相乘圖合并在一起，可得到下圖：它表示的是下面三個關系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．這就是所謂的雙十字相乘法．用雙十字相乘法對多項式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f進行因式分解的步驟是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一個十字相乘圖(有兩列)；(2)把常數(shù)項f分解成兩個因式填在第三列上，要求第二、第三列構成的十字交叉之積的和等于原式中的ey，第一、第三列構成的十字交叉之積的和等于原式中的dx．例1分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解(1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2項，可把這一項的系數(shù)看成0來分解．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)◆以鮮明的教育理念啟發(fā)人◆以濃厚的學習氛圍影響人第2頁◆以不倦的育人精神感染人◆以優(yōu)良的學風學紀嚴律人◆學習地址：佛山市南海區(qū)南海大道麗雅苑中區(qū)雅廣居2D第42頁咨詢熱線：0757-8630706713760993549（吉老師）原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．說明(4)中有三個字母，解法仍與前面的類似．2．求根法我們把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n為非負整數(shù))的代數(shù)式稱為關于x的一元多項式，并用f(x)，g(x)，…等記號表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，當x=a時，多項式f(x)的值用f(a)表示．如對上面的多項式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，則稱a為多項式f(x)的一個根．定理1(因式定理)若a是一元多項式f(x)的根，即f(a)=0成立，則多項式f(x)有一個因式x-a．根據(jù)因式定理，找出一元多項式f(x)的一次因式的關鍵是求多項式f(x)的根．對于任意多項式f(x)，要求出它的根是沒有一般方法的，然而當多項式f(x)的系數(shù)都是整數(shù)時，即整系數(shù)多項式時，經常用下面的定理來判定它是否有有理根．定理2的根，則必有p是a0的約數(shù)，q是an的約數(shù)．特別地，當a0=1時，整系數(shù)多項式f(x)的整數(shù)根均為an的約數(shù)．我們根據(jù)上述定理，用求多項式的根來確定多項式的一次因式，從而對多項式進行因式分解．例2分解因式：x3-4x2+6x-4．分析這是一個整系數(shù)一元多項式，原式若有整數(shù)根，必是-4的約數(shù)，逐個檢驗-4的約數(shù)：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一個根，所以根據(jù)定理1，原式必有因式x-2．解法1用分組分解法，使每組都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2用多項式除法，將原式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．說明在上述解法中，特別要注意的是多項式的有理根一定是-4的約數(shù)，反之不成立，即-4的約數(shù)不一定是多項式的根．因此，必須對-4的約數(shù)逐個代入多項式進行驗證．例3分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析因為9的約數(shù)有±1，±3，±9；-2的約數(shù)有±1，±為：所以，原式有因式9x2-3x-2．解9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)說明若整系數(shù)多項式有分數(shù)根，可將所得出的含有分數(shù)的因式化為整系數(shù)因式，如上題中的因式可以化為9x2-3x-2，這樣可以簡化分解過程．總之，對一元高次多項式f(x)，如果能找到一個一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解為(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多項式，這樣，我們就可以繼續(xù)對g(x)進行分解了．3．待定系數(shù)法待定系數(shù)法是數(shù)學中的一種重要的解題方法，應用很廣泛，這里介紹它在因式分解中的應用．在因式分解時，一些多項式經過分析，可以斷定它能分解成某幾個因式，但這幾個因式中的某些系數(shù)尚未確定，這時可以用一些字母來表示待定的系數(shù)．由于該多項式等于這幾個因式的乘積，根據(jù)多項式恒等的性質，兩邊對應項系數(shù)應該相等，或取多項式中原有字母的幾個特殊值，列出關于待定系數(shù)的方程(或方程組)，解出待定字母系數(shù)的值，這種因式分解的方法叫作待定系數(shù)法．例4分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的兩個一次項一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，應用待定系數(shù)法即可求出m和n，使問題得到解決．解設x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比較兩邊對應項的系數(shù)，則有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．說明本題也可用雙十字相乘法，請同學們自己解一下．例5分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本題所給的是一元整系數(shù)多項式，根據(jù)前面講過的求根法，若原式有有理根，則只可能是±1，±7(7的約數(shù))，經檢驗，它們都不是原式的根，所以，在有理數(shù)集內，原式沒有一次因式．如果原式能分解，只能分解為(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解設原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考慮b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．說明由于因式分解的唯一性，所以對b=-1，d=-7等可以不加以考慮．本題如果b=1，d=7代入方程組后，無法確定a，c的值，就必須將bd=7的其他解代入方程組，直到求出待定系數(shù)為止．本題沒有一次因式，因而無法運用求根法分解因式．但利用待定系數(shù)法，使我們找到了二次因式．由此可見，待定系數(shù)法在因式分解中也有用武之地．練習二1．用雙十字相乘法分解因式：(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3；(2)x2-xy+2x+y-3；(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．2．用求根法分解因式：(1)x3+x2-10x-6；(2)x4+3x3-3x2-12x-4；(3)4x4+4x3-9x2-x+2．3．用待定系數(shù)法分解因式：(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20；(2)x4+5x3+15x-9．初中數(shù)學競賽專題培訓第十一講勾股定理與應用◆以鮮明的教育理念啟發(fā)人◆以濃厚的學習氛圍影響人第2頁◆以不倦的育人精神感染人◆以優(yōu)良的學風學紀嚴律人◆勾股定理直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即a2+b2=c2．勾股定理逆定理如果三角形三邊長a，b，c有下面關系：a2+b2=c2那么這個三角形是直角三角形．早在3000年前，我國已有“勾廣三，股修四，徑陽五”的說法．關于勾股定理，有很多證法，在我國它們都是用拼圖形面積方法來證明的．下面的證法1是歐幾里得證法．證法1如圖2-16所示．在Rt△ABC的外側，以各邊為邊長分別作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它們的面積分別是c2，a2，b2．下面證明，大正方形的面積等于兩個小正方形的面積之和．過C引CM∥BD，交AB于L，連接BG，CE．因為AB=AE，AC=AG，∠CAE=∠BAG，所以△ACE≌△AGB(SAS)．而所以SAEML=b2．①同理可證SBLMD=a2．②①+②得SABDE=SAEML+SBLMD=b2+a2，即c2=a2+b2．證法2如圖2-17所示．將Rt△ABC的兩條直角邊CA，CB分別延長到D，F(xiàn)，使AD=a，BF=b．完成正方形CDEF(它的邊長為a+b)，又在DE上截取DG=b，在EF上截取EH=b，連接AG，GH，HB．由作圖易知△ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC，所以AG=GH=HB=AB=c，∠BAG=∠AGH=∠GHB=∠HBA=90°，因此，AGHB為邊長是c的正方形．顯然，正方形CDEF的面積等于正方形AGHB的面積與四個全等的直角三角形(△ABC，△ADG，△GEH，△HFB)的面積和，即化簡得a2+b2=c2．證法3如圖2-18．在直角三角形ABC的斜邊AB上向外作正方形ABDE，延長CB，自E作EG⊥CB延長線于G，自D作DK⊥CB延長線于K，又作AF，DH分別垂直EG于F，H．由作圖不難證明，下述各直角三角形均與Rt△ABC全等：△AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB．設五邊形ACKDE的面積為S，一方面S=SABDE+2S△ABC，①另一方面S=SACGF+SHGKD+2S△ABC．②由①，②所以c2=a2+b2．關于勾股定理，在我國古代還有很多類似上述拼圖求積的證明方法，我們將在習題中展示其中一小部分，它們都以中國古代數(shù)學家的名字命名．利用勾股定理，在一般三角形中，可以得到一個更一般的結論．定理在三角形中，銳角(或鈍角)所對的邊的平方等于另外兩邊的平方和，減去(或加上)這兩邊中的一邊與另一邊在這邊(或其延長線)上的射影的乘積的2倍．證(1)設角C為銳角，如圖2-19所示．作AD⊥BC于D，則CD就是AC在BC上的射影．在直角三角形ABD中，AB2=AD2+BD2，①在直角三角形ACD中，AD2=AC2-CD2，②又BD2=(BC-CD)2，③②，③代入①得AB2=(AC2-CD2)+(BC-CD)2=AC2-CD2+BC2+CD2-2BC·CD=AC2+BC2-2BC·CD，即c2=a2+b2-2a·CD．④(2)設角C為鈍角，如圖2-20所示．過A作AD與BC延長線垂直于D，則CD就是AC在BC(延長線)上的射影．在直角三角形ABD中，AB2=AD2+BD2，⑤在直角三角形ACD中，AD2=AC2-CD2，⑥又BD2=(BC+CD)2，⑦將⑥，⑦代入⑤得AB2=(AC2-CD2)+(BC+CD)2=AC2-CD2+BC2+CD2+2BC·CD=AC2+BC2+2BC·CD，即c2=a2+b2+2a·cd．⑧綜合④，⑧就是我們所需要的結論特別地，當∠C=90°時，CD=0，上述結論正是勾股定理的表述：c2=a2+b2．因此，我們常又稱此定理為廣勾股定理(意思是勾股定理在一般三角形中的推廣)．由廣勾股定理我們可以自然地推導出三角形三邊關系對于角的影響．在△ABC中，(1)若c2=a2+b2，則∠C=90°；(2)若c2＜a2+b2，則∠C＜90°；(3)若c2＞a2+b2，則∠C＞90°．勾股定理及廣勾股定理深刻地揭示了三角形內部的邊角關系，因此在解決三角形(及多邊形)的問題中有著廣泛的應用．例1如圖2-21所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分線交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．求證：AB2=2FG2．分析注意到正方形的特性∠CAB=45°，所以△AGF是等腰直角三角形，從而有AF2=2FG2，因而應有AF=AB，這啟發(fā)我們去證明△ABE≌△AFE．證因為AE是∠FAB的平分線，EF⊥AF，又AE是△AFE與△ABE的公共邊，所以Rt△AFE≌Rt△ABE(AAS)，所以AF=AB．①在Rt△AGF中，因為∠FAG=45°，所以AG=FG，AF2=AG2+FG2=2FG2．②由①，②得：AB2=2FG2．說明事實上，在審題中，條件“AE平分∠BAC”及“EF⊥AC于F”應使我們意識到兩個直角三角形△AFE與△ABE全等，從而將AB“過渡”到AF，使AF(即AB)與FG處于同一個直角三角形中，可以利用勾股定理進行證明了．例2如圖2-22所示．AM是△ABC的BC邊上的中線，求證：AB2+AC2=2(AM2+BM2)．證過A引AD⊥BC于D(不妨設D落在邊BC內)．由廣勾股定理，在△ABM中，AB2=AM2+BM2+2BM·MD．①在△ACM中，AC2=AM2+MC2-2MC·MD．②①+②，并注意到MB=MC，所以AB2+AC2=2(AM2+BM2)．③如果設△ABC三邊長分別為a，b，c，它們對應邊上的中線長分別為ma，mb，mc，由上述結論不難推出關于三角形三條中線長的公式．推論△ABC的中線長公式：說明三角形的中線將三角形分為兩個三角形，其中一個是銳角三角形，另一個是鈍角三角形(除等腰三角形外)．利用廣勾股定理恰好消去相反項，獲得中線公式．①′，②′，③′中的ma，mb，mc分別表示a，b，c邊上的中線長．例3如圖2-23所示．求證：任意四邊形四條邊的平方和等于對角線的平方和加對角線中點連線平方的4倍．分析如圖2-23所示．對角線中點連線PQ，可看作△BDQ的中線，利用例2的結論，不難證明本題．證設四邊形ABCD對角線AC，BD中點分別是Q，P．由例2，在△BDQ中，即2BQ2+2DQ2=4PQ2+BD2．①在△ABC中，BQ是AC邊上的中線，所以在△ACD中，QD是AC邊上的中線，所以將②，③代入①得=4PQ2+BD2，即AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2．說明本題是例2的應用．善于將要解決的問題轉化為已解決的問題，是人們解決問題的一種基本方法，即化未知為已知的方法．下面，我們再看兩個例題，說明這種轉化方法的應用．例4如圖2-24所示．已知△ABC中，∠C=90°，D，E分別是BC，AC上的任意一點．求證：AD2+BE2=AB2+DE2．分析求證中所述的4條線段分別是4個直角三角形的斜邊，因此考慮從勾股定理入手．證AD2=AC2+CD2，BE2=BC2+CE2，所以AD2+BE2=(AC2+BC2)+(CD2+CE2)=AB2+DE2例5求證：在直角三角形中兩條直角邊上的中線的平方和的4倍等于斜邊平方的5倍．如圖2-25所示．設直角三角形ABC中，∠C=90°，AM，BN分別是BC，AC邊上的中線．求證：4(AM2+BN2)=5AB2．分析由于AM，BN，AB均可看作某個直角三角形的斜邊，因此，仿例4的方法可從勾股定理入手，但如果我們能將本題看成例4的特殊情況——即M，N分別是所在邊的中點，那么可直接利用例4的結論，使證明過程十分簡潔．證連接MN，利用例4的結論，我們有AM2+BN2=AB2+MN2，所以4(AM2+BN2)=4AB2+4MN2．①由于M，N是BC，AC的中點，所以所以4MN2=AB2．②由①，②4(AM2+BN2)=5AB2．說明在證明中，線段MN稱為△ABC的中位線，以后會知道中位線的基本性質：“MN∥AB且MN=圖2-26所示．MN是△ABC的一條中位線，設△ABC的面積為S．由于M，N分別是所在邊的中點，所以S△ACM=S△BCN，兩邊減去公共部分△CMN后得S△AMN=S△BMN，從而AB必與MN平行．又S△ABM=高相同，而S△ABM=2S△BMN，所以AB=2MN．練習十一1．用下面各圖驗證勾股定理(虛線代表輔助線)：(1)趙君卿圖(圖2-27)；(2)項名達圖(2-28)；(3)楊作枚圖(圖2-29)．2．已知矩形ABCD，P為矩形所在平面內的任意一點，求證：PA2+PC2=PB2+PD2．(提示：應分三種情形加以討論，P在矩形內、P在矩形上、P在矩形外，均有這個結論．)3．由△ABC內任意一點O向三邊BC，CA，AB分別作垂線，垂足分別是D，E，F(xiàn)．求證：AF2+BD2+CE2=FB2+DC2+EA2．4．如圖2-30所示．在四邊形ADBC中，對角線AB⊥CD．求證：AC2+BD2=AD2+BC2．它的逆定理是否成立？證明你的結論．5．如圖2-31所示．從銳角三角形ABC的頂點B，C分別向對邊作垂線BE，CF．求證：BC2=AB·BF+AC·CE．全等三角形組別_____________姓名____________…………密組別_____________姓名____________…………密……封………………線………… 三角形全等問題分三個層次:直接利用全等三角形的判定定理和性質定理,需要我們敏捷、快速地發(fā)現(xiàn)兩條線段或兩個角所分布的兩個三角形及全等的條件；當證明相等的兩條線段或兩個角所在的三角形全等到的條件不充分時，需根據(jù)圖形的其他性質，先證明別的兩個三角形全等以補足條件；當現(xiàn)有圖形的任何兩個三角形這間不存在全等關系，需要添置輔助線，構造全等三角形來研究平面圖形的性質。1.理解全等三角形的概念和性質。掌握全等三角形的判定公理及其推論，并能應用他們進行簡單的證明和計算。2.懂得全等三角形是解決與線段、角相關問題的一個出發(fā)點。3.學會演繹推理的方法，提高邏輯推理能力和邏輯表達能力，掌握幾何證明中的分析，綜合，轉化等數(shù)學思想。1.如圖，在ABC中，D在AB上，且ΔCAD和ΔCBE都是等邊三角形，求證：（1）DE=AB，（2）∠EDB=60°（提示：充分利用等邊三角形這個條件是解題關鍵）線段AC、AD、AB不是同一個三角形的三條邊，通過中線倍長將分散的條件加以集中。線段AC、AD、AB不是同一個三角形的三條邊，通過中線倍長將分散的條件加以集中。在ΔABC中，AB=6，中線AD=7，則邊AC的取值范圍是_____________.例2.如圖，已知：在∠AOB的OA邊上取兩點P和S，再在OB上取兩點Q和T，使OP=OQ，OT=OS，PT與QS相交于X。求證：OX平分∠AOB._B _B_X_O_A_Q_S_P_T1.兩個三角形有以下三對元素對應相等,則不能判定全等的是（ ）(A)一邊和任意兩個角（B）兩邊和他們的夾角（C）兩個角和他們一角的對邊（D）三邊對值相等2.下列所敘述的圖形中，是全等三角形的只有（）(A)兩邊相等的兩個直角三角形(B)一邊和一角對應相等的兩個直角三角形DBACEF(C)DBACEF3．如圖，AD是ΔABC的中線，E、F分別在AB、AC上且DE⊥DF，則（ ） A．BE+CF＞EF B.BE+CF=EF C．BE+CF＜EF D.EF與BE+CF大小關系無法確定4.求證：兩個角及第三個角的角平分線對應相等的兩個三角形全等。已知:如圖,__________________________________________________求證:_________________.證明:5．在中，∠B=∠C,D、E在BC、AC上，且，AD=DE。求證：_1_1_E_D_C_B_A6．已知：為等邊三角形，點D、E、F分別在AB、BC、CA上，且也是等邊三角形，求證：__F_E_C_D_B_A7．如圖,在中，=90°，AB=BC，AF、CE分別垂直BD或延長線于F、E，求證：EF=CE-AF。BABADEC_E_F_D_C_B_A8．如圖，在ΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE。 求證：BD=2CEABCDEM9．如圖，公園有一條“Z”字形道路，其中AB∥CD，在E，M，F(xiàn)處各有一個小石凳，且，ABCDEM 10．如圖BD、CE分別是的邊AC與AB上的高，點P在BD的延長線上，BP=AC，點Q在CE上，CQ=AB。求證：(1)AP=AQ;(2)AP⊥AQ.__Q_P_E_D_C_B_A1．全等三角形的基本圖形：2告訴我，你還有什么問題需要我們一起討論？構造全等三角形解競賽題已知角平分線，利用軸對稱構造全等三角形。例1在四邊形中，對角線＞，下列結論中正確的是（）.A．＞B．＝C．＜D．與的大小關系不確定解：因為以AC為對稱軸作△ACD的對稱圖形△ACE，則=＞故選A.二、已知中線，利用中心對稱構造全等三角形。例2設G為△ABC的重心，且則△ABC的面積為（）。解：如圖，以BC的中點D為中心，將點G旋轉180°至E，則四邊形BGCE是平行四邊形.在△BEG中，所以△BEG是直角三角形，因此例1圖例2圖例3圖三、已知等邊三角形，旋轉60°構造全等三角形。例3已知P是等邊△ABC內的一點，的度數(shù)為（）.解：繞著點B將△ABP順時針旋轉60°，則△ABP≌△CBE，△BPE為等邊三角形。在△PCE中，所以△PCE是直角三角形，因此四、已知正方形，旋轉90°構造全等三角形。例4已知P是正方形ABCD內的一點，PA∶PB∶PC=1∶2∶3，的度數(shù)為（）.解：繞著點B將△ABP順時針旋轉90°，則△ABP≌△CBE，△BPE為等腰直角三角形。在△PCE中，設所以△PCE是直角三角形，因此例4圖例5圖五、已知特殊角度，構造全等三角形。例5A、B、C三個村莊在一條東西走向的公路沿線，如圖，AB=2千米，BC=3千米，在B村莊的正北方向有一個D村，測得今將△ADC區(qū)域規(guī)劃為開發(fā)區(qū)，除其中4平方千米的水塘外，均作為建筑或綠化用地，試求這個開發(fā)區(qū)的建筑及綠化用地的面積是多少？解：分別以DA、DC為對稱軸，作Rt△ADB和Rt△BDC的對稱圖形Rt△ADE和Rt△FDC，延長EA和FC交于G，則四邊形DEGF是以DB為邊長的正方形。設由勾股定理得因此所以這個開發(fā)區(qū)的建筑及綠化用地的面積是11平方千米。初中數(shù)學競賽專題培訓第十講三角形的全等及其應用在中學教材中，關于三角形全等有以下判定公理：(1)邊角邊公理有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等(簡寫成“SAS”)．(2)角邊角公理有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等(簡寫成“ASA”)．推論有兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等(簡寫成“AAS”)．(3)邊邊邊公理有三邊對應相等的兩個三角形全等(簡寫成“SSS”)．關于直角三角形有：(4)斜邊、直角邊公理有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等(簡寫成“HL”)．利用全等三角形，我們可以得到有關角平分線、線段的垂直平分線、等腰三角形的許多重要性質，在本講中將直接利用這些性質．借助于全等三角形的知識，我們可以研究很多關于角和線段相等及不等問題、關于直線平行與垂直問題．例1如圖2-1所示．∠1=∠2，∠ABC=∠DCB．求證：AB=DC．分析用全等三角形證明線段(或角)相等，最常用的方法是探究所求證的線段(或角)分別在一對可證的全等三角形之中．本題的AB，DC分別屬于兩對三角形△ABE和△CDE及△ABC和△DBC．經分析可證明△ABE≌△CDE．證由已知，∠1=∠2，∠ABC=∠DCB，而∠EBC=∠ABC-∠1，∠ECB=∠DCB-∠2，所以∠EBC=∠ECB．在△ABC及△BCD中，∠ABC=∠BCD，∠EBC=∠ECB，BC=BC，所以△ABC≌△DCB(ASA)，所以AB=CD．說明線段AB，CD也屬于兩個(事實上)全等的△ABE和△DCE，因此也可直接證明這兩個三角形全等．例2如圖2-2所示．△ABC是等腰三角形，D，E分別是腰AB及AC延長線上的一點，且BD=CE，連接DE交底BC于G．求證：GD=GE．分析從圖形看，GE，GD分別屬于兩個顯然不全等的三角形：△GEC和△GBD．此時就要利用這兩個三角形中已有的等量條件，結合已知添加輔助線，構造全等三角形．方法不止一種，下面證法是其中之一．證過E作EF∥AB且交BC延長線于F．在△GBD及△GEF中，∠BGD=∠EGF(對頂角)，①∠B=∠F(兩直線平行內錯角相等)．②又∠B=∠ACB=∠ECF=∠F，所以，△ECF是等腰三角形，從而EC=EF．又因為EC=BD，所以BD=EF．③由①，②，③△GBD≌△GEF(AAS)，所以GD=GE．說明適當添加輔助線、構造全等三角形的方法可以不止一種，本題至少還有以下兩種方法：(1)過D作DF∥AC，交BC于F．可用同樣方法證明△GFD≌△GCE(圖2-3)．(2)過D作DF⊥BC于F；過E作EH⊥BC于BC延長線于H，可證明△GFD≌△GEH(圖2-4)．做完一道題后，再想一想還有沒有其他證明方法，比較一下哪種證法更好，這對于發(fā)展思考、鍛煉能力是大有好處的．例3如圖2-5所示．在等邊三角形ABC中，AE=CD，AD，BE交于P點，BQ⊥AD于Q．求證：BP=2PQ．分析首先看到BP，PQ在Rt△BPQ之中，只要證明∠BPQ=60°(或∠PBQ=30°)．然而，∠BPQ是△ABP的一個外角，所以∠BPQ=∠PAB+∠PBA．但∠A=∠PAB+∠PAC=60°，若能證明∠PBA=∠PAC，問題即能解決，這兩個角分別在△ABE與△CAD中，可以證明這兩個三角形全等．證在△ABE與△CAD中，∠EAB=∠DCA=60°，AB=CA，AE=CD，所以△ABE≌△CAD(SAS)，所以∠ABE=∠CAD．由于∠BPQ是△ABP的外角，所以∠BPQ=∠PAB+PBA=∠PAB+∠CAD=60°．在Rt△BQP中，∠BPQ=60°，∠PBQ=30°，所以BP=2PQ(在Rt△BPQ中30°角的對邊等于斜邊的一半)．說明發(fā)現(xiàn)或構造全等三角形是利用全等三角形證明題目的關鍵，為此，我們常從發(fā)現(xiàn)兩個三角形中對應元素相等入手，逐步發(fā)現(xiàn)或經推理“湊齊”三角形全等的條件．如本題在分析到欲證∠ABP=∠