2023學年完整公開課版概率

1．本章涉及的概念比較多，要真正理解它們的實質(zhì)，搞清它們的區(qū)別與聯(lián)系．了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，要進一步了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別．4．對于幾何概型事件概率的計算，關鍵是求得事件A所占區(qū)域和整個區(qū)域的幾何度量，然后代入公式求解．5．學習本章的過程中，要重視教材的基礎作用，重視過程的學習，重視基本數(shù)學思想和數(shù)學方法的形成和發(fā)展，注意培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力.題型一隨機事件的概率1．有關事件的概念

(1)必然事件：我們把在條件S下，一定會發(fā)生的事件，叫做相對于條件S的必然事件，簡稱必然事件． (2)不可能事件：在條件S下，一定不會發(fā)生的事件，叫做相對于條件S的不可能事件，簡稱不可能事件． (3)確定事件：必然事件與不可能事件統(tǒng)稱為相對于條件S的確定事件，簡稱確定事件． (4)隨機事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫做相對于條件S的隨機事件，簡稱隨機事件． (5)事件的表示方法：確定事件和隨機事件一般用大寫字母A，B，C，…表示．2．對于概率的定義應注意以下幾點 (1)求一個事件的概率的基本方法是通過大量的重復試驗． (2)只有當頻率在某個常數(shù)附近擺動時，這個常數(shù)才叫做事件A的概率． (3)概率是頻率的穩(wěn)定值，而頻率是概率的近似值． (4)概率反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大?。?(5)必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，故0≤P(A)≤1.例1對一批U盤進行抽檢，結果如下表：抽出件數(shù)a50100200300400500次品件數(shù)b345589 (1)計算表中次品的頻率； (2)從這批U盤中任抽一個是次品的概率約是多少？ (3)為保證買到次品的顧客能夠及時更換，要銷售2000個U盤，至少需進貨多少個U盤？解

(1)表中次品頻率從左到右依次為0.06，0.04，0.025，0.017，0.02，0.018.(2)當抽取件數(shù)a越來越大時，出現(xiàn)次品的頻率在0.02附近擺動，所以從這批U盤中任抽一個是次品的概率約是0.02.(3)設需要進貨x個U盤，為保證其中有2000個正品U盤，則x(1－0.02)≥2000，因為x是正整數(shù)，所以x≥2041，即至少需進貨2041個U盤．跟蹤演練1某射擊運動員為備戰(zhàn)奧運會，在相同條件下講行射擊訓練，結果如下：射擊次數(shù)n102050100200500擊中靶心次數(shù)m8194492178455擊中靶心的頻率0.80.950.880.920.890.91(1)該射擊運動員射擊一次，擊中靶心的概率大約是多少？(2)假設該射擊運動員射擊了300次，則擊中靶心的次數(shù)大約是多少？(3)假如該射擊運動員射擊了300次，前270次都擊中靶心，那么后30次一定都擊不中靶心嗎？(4)假如該射擊運動員射擊了10次，前9次中有8次擊中靶心，那么第10次一定擊中靶心嗎？解

(1)由題意，擊中靶心的頻率與0.9接近，故概率約為0.9.(2)擊中靶心的次數(shù)大約為300×0.9＝270(次)．(3)由概率的意義，可知概率是個常數(shù)，不因試驗次數(shù)的變化而變化．后30次中，每次擊中靶心的概率仍是0.9，所以不一定擊中靶心．(4)不一定．題型二互斥事件與對立事件1．互斥事件與對立事件的概念的理解 (1)互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件；對立事件除要求這兩個事件不同時發(fā)生外，還要求二者必須有一個發(fā)生．因此對立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件，對立事件是互斥事件的特殊情況． (2)利用集合的觀點來看，如果事件A∩B＝?，則兩事件是互斥的，此時A∪B的概率就可用加法公式來求，即為P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；如果事件A∩B≠?，則可考慮利用古典概型的定義來解決，不能直接利用概率加法公式． (3)利用集合的觀點來看，如果事件A∩B＝?，A∪B＝U，則兩事件是對立的，此時A∪B就是必然事件，可由P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1來求解P(A)或P(B)．2．互斥事件概率的求法 (1)若A1，A2，…，An互斥：則P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． (2)利用這一公式求概率的步驟是：①要確定這一些事件彼此互斥；②這一些事件中有一個發(fā)生；③先求出這一些事件分別發(fā)生的概率，再求和．值得注意的是：①、②兩點是公式的使用條件，不符合這兩點，是不能運用互斥 事件的概率加法公式的．4．互斥事件的概率加法公式是解決概率問題的重要公式，它能把復雜的概率問題轉(zhuǎn)化為較為簡單的概率或轉(zhuǎn)化為其對立事件的概率求解．例2現(xiàn)有8名2012倫敦奧運會志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通曉日語，B1，B2，B3通曉俄語，C1，C2通曉韓語，從中選出通曉日語、俄語和韓語的志愿者各1名，組成一個小組． (1)求A1被選中的概率； (2)求B1和C1不全被選中的概率．解

(1)從8人中選出日語、俄語和韓語的志愿者各1名，其一切可能的結果組成的基本事件空間Ω＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)}，即由18個基本事件組成．由于每一個基本事件被抽取的機會均等，因此這些基本事件的發(fā)生是等可能的．跟蹤演練2甲、乙兩人參加普法知識競賽，共有5個不同題目，選擇題3個，判斷題2個，甲、乙兩人各抽一題．(1)甲、乙兩人中有一個抽到選擇題，另一個抽到判斷題的概率是多少？(2)甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少？解把3個選擇題記為x1，x2，x3，2個判斷題記為p1，p2.“甲抽到選擇題，乙抽到判斷題”的情況有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6種；“甲抽到判斷題，乙抽到選擇題”的情況有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6種；“甲、乙都抽到選擇題”的情況有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6種；“甲、乙都抽到判斷題”的情況有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2種．題型三古典概型與幾何概型

幾何概型同古典概型一樣，是概率中最具有代表性的試驗概型之一，在高考命題中占有非常重要的位置．我們要理解并掌握幾何概型試驗的兩個基本特征，即：每次試驗中基本事件的無限性和每個事件發(fā)生的等可能性，并能 求簡單的幾何概型試驗的概率．例3

(2013·天津高考)某產(chǎn)品的三個質(zhì)量指標分別為x，y，z，用綜合指標S＝x＋y＋z評價該產(chǎn)品的等級．若S≤4，則該產(chǎn)品為一等品．現(xiàn)從一批該產(chǎn)品中，隨機抽取10件產(chǎn)品作為樣本，其質(zhì)量指標列表如下：產(chǎn)品編號A1A2A3A4A5質(zhì)量指標(x，y，z)(1，1，2)(2，1，1)(2，2，2)(1，1，1)(1，2，1)產(chǎn)品編號A6A7A8A9A10質(zhì)量指標(x，y，z)(1，2，2)(2，1，1)(2，2，1)(1，1，1)(2，1，2)(1)利用上表提供的樣本數(shù)據(jù)估計該批產(chǎn)品的一等品率．(2)在該樣本的一等品中，隨機抽取2件產(chǎn)品，①用產(chǎn)品編號列出所有可能的結果；②設事件B為“在取出的2件產(chǎn)品中，每件產(chǎn)品的綜合指標S都等于4”，求事件B發(fā)生的概率．解

(1)計算10件產(chǎn)品的綜合指標S，如下表：產(chǎn)品編號A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10S4463454535(2)①在該樣本的一等品中，隨機抽取2件產(chǎn)品的所有可能結果為{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15種．②在該樣本的一等品中，綜合指標S等于4的產(chǎn)品編號分別為A1，A2，A5，A7，則事件B發(fā)生的所有可能結果為{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6種．跟蹤演練3如圖所示的大正方形面積為13，四個全等的直角三角形圍成一個陰影小正方形，較短的直角邊長為2，向大正方形內(nèi)投擲飛鏢，飛鏢落在陰影部分的概率為 (

)答案

C題型四分類討論思想

數(shù)形結合的思想的實質(zhì)就是把抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關系和直觀的圖形結合起來．包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面．在本節(jié)中把幾何概型問題利用坐標系轉(zhuǎn)化成圖形問題(或符合條件的點集問題)去解決．例4甲、乙兩人約定在6時到7時之間在某處會面，并約定先到者應等候另一個人一刻鐘，過時即可離去，求兩人能會面的概率．

解以x軸和y軸分別表示甲、乙兩人 到達約定地點的時間，則兩人能夠會 面的充要條件是|x－y|≤15.如圖平面直 角坐標系下，(x，y)的所有可能結果 是邊長為60的正方形，而事件A“兩人 能夠會面”的可能結果由圖中的陰影跟蹤演練4三個人玩?zhèn)髑蛴螒颍總€人都等可能地傳給另兩人(不自傳)，若從A發(fā)球算起，經(jīng)4次傳球又回到A手中的概率是多少？1．兩個事件互斥，它們未必對立；反之，兩個事件對立，它們一定互斥．若事件A1，A2，A3，…，An彼此互斥，則P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．2．關于古典概型，必須要解決好下面三個方面的問題： (1)本試驗是否是等可能的？ (2)本試驗的基本事件有多少個？ (3)事件A是什么，它包含多少個基本事件？

只有回答好了這三方面的問題，解題才不會出錯．3．幾何概型的試驗中，事件A的概率P(A)只與子區(qū)域A的幾