高中數(shù)學(xué)北師大版一學(xué)案：第三章 2 指數(shù)擴(kuò)充及其運算性質(zhì)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)習(xí)目標(biāo)1。理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的含義，學(xué)會根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪之間的相互轉(zhuǎn)化。2.了解無理數(shù)指數(shù)冪，理解實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)。3.能用實數(shù)指數(shù)冪運算性質(zhì)化簡、求值．知識點一分?jǐn)?shù)指數(shù)冪思考由a2＝22(a〉0)易得a＝2＝，由此你有什么猜想？梳理分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1）定義:給定__________a，對于任意給定的整數(shù)m，n（m,n互素)，存在唯一的__________b，使得____________,我們把b叫作a的____________,記作b＝__________。（2)意義正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪0的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪前提條件a>0，m，n均為正整數(shù),m，n互素結(jié)論＝________＝______＝________＝______，無意義知識點二無理數(shù)指數(shù)冪思考無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù),課本中是如何用有理數(shù)指數(shù)冪來研究無理數(shù)指數(shù)冪的?梳理無理數(shù)指數(shù)冪無理數(shù)指數(shù)冪aα（a〉0，α是無理數(shù))是一個確定的正實數(shù)．至此，指數(shù)冪aα的指數(shù)取值范圍擴(kuò)充為R.知識點三實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)思考1在實數(shù)指數(shù)冪ax中,為什么要規(guī)定a〉0？梳理一般地,在研究實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)時，約定底數(shù)為大于零的實數(shù)．思考2初中,我們知道a≠0，m〈n時有eq\f(am，an）＝a－(n－m)(其中m，n為正整數(shù)）．那么，當(dāng)a>0，m,n為任意實數(shù)時，上式還成立嗎？梳理一般地,當(dāng)a>0，b〉0時，有:（1）am·an＝am＋n；(2)（am）n＝amn；（3）(ab）n＝anbn，其中m，n∈R.知識點四實數(shù)指數(shù)冪的化簡思考如何化簡(eq\f（a－1\r（b－1）,b\r（a）)）？梳理實數(shù)指數(shù)冪的化簡中,先把根式、分式都化為實數(shù)指數(shù)冪的形式，再利用指數(shù)冪運算性質(zhì)化簡．類型一根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪之間的相互轉(zhuǎn)化eq\x(命題角度1分?jǐn)?shù)指數(shù)冪化根式)例1用根式的形式表示下列各式（x〉0，y>0）．（1)；(2)。反思與感悟?qū)崝?shù)指數(shù)冪的化簡與計算中，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪形式在應(yīng)用上比較方便．而在求函數(shù)的定義域中，根式形式較容易觀察出各式的取值范圍，故分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化是學(xué)習(xí)的重點內(nèi)容,要切實掌握．跟蹤訓(xùn)練1用根式表示(x〉0，y〉0)．eq\x（命題角度2根式化分?jǐn)?shù)指數(shù)冪）例2把下列根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，其中a>0,b>0。(1)eq\r(5,a6)；(2)eq\f（1，\r(3,a2））;（3）eq\r（4,\f（b3,a2))；(4)eq\r(－a6）.反思與感悟指數(shù)的概念從整數(shù)指數(shù)擴(kuò)充到有理數(shù)指數(shù)后，當(dāng)a≤0時，有時有意義，有時無意義．如（－1)＝eq\r(3，－1)＝－1，但（－1）就不是實數(shù)了．為了保證在eq\f（m,n）取任何有理數(shù)時，都有意義，所以規(guī)定a〉0.當(dāng)被開方數(shù)中有負(fù)數(shù)時，冪指數(shù)不能隨意約分．跟蹤訓(xùn)練2把下列根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪．（1)eq\r（6,8\r（2））；（2）eq\r（a\r(a）)（a〉0）；（3)b3·eq\r(3，b2）;（4）eq\f(1，\r(3，x\r(5,x2）2））.類型二運用指數(shù)冪運算公式化簡求值例3計算下列各式（式中字母都是正數(shù)）．（1)(0.027)＋(eq\f(27,125)）－（2eq\f（7,9）)0.5；(2）(3）反思與感悟一般地，進(jìn)行指數(shù)冪運算時，可按系數(shù)、同類字母歸在一起，分別計算；化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)，化小數(shù)為分?jǐn)?shù)進(jìn)行運算,便于進(jìn)行乘除、乘方、開方運算，可以達(dá)到化繁為簡的目的．跟蹤訓(xùn)練3（1）化簡：（eq\f(1，8)）×（－eq\f（7，6)）0＋80.25×eq\r（4，2）＋(eq\r（3，2)×eq\r（3))6；(2)化簡：（3)已知＝5,求eq\f（x2＋1，x)的值．類型三運用指數(shù)冪運算公式解方程例4已知a〉0，b〉0，且ab＝ba，b＝9a，求a的值．反思與感悟指數(shù)取值范圍由整數(shù)擴(kuò)展到有理數(shù)乃至實數(shù),給運算帶來了方便，我們可以借助指數(shù)運算法則輕松對指數(shù)進(jìn)行變形，以達(dá)到我們代入、消元等目的．跟蹤訓(xùn)練4已知67x＝27，603y＝81，求eq\f（3，x)－eq\f（4，y)的值．1．化簡的值為（)A．2 B．4C．6 D．82．等于(）A．25B.eq\f(1，25)C．5D。eq\f（1,5)3．用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示eq\r（a－b3)（a>b）為()A．(a－b) B．（b－a)C．（a－b） D．(a－b)4．(eq\r(3,\r(6，a9)）)4等于（)A．a(chǎn)16B．a(chǎn)8C．a(chǎn)4D．a(chǎn)25．計算4eq\r(2)＋1×22－2eq\r(2）的結(jié)果是(）A．32B．16C．64D．1281．指數(shù)冪的一般運算步驟是：有括號先算括號里面的;無括號的先做指數(shù)運算，負(fù)指數(shù)冪化為正指數(shù)冪的倒數(shù)．底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號,底數(shù)是小數(shù)，先要化成分?jǐn)?shù)，底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，先要化成假分?jǐn)?shù)，然后要盡可能用冪的形式表示，便于運用指數(shù)的運算性質(zhì)．2．指數(shù)冪的運算原則是：一般先轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，然后再利用有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)進(jìn)行運算，在將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的過程中,一般采用由內(nèi)到外逐層變換為指數(shù)的方法，然后運用運算性質(zhì)準(zhǔn)確求解．

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點一思考當(dāng)a>0，b〉0時,若am＝bn,則a＝(m，n為非零整數(shù)）．梳理(1)正實數(shù)正實數(shù)bn＝ameq\f(m,n)次冪(2)eq\r（n,am）eq\f（1，\r（n，am)）0知識點二思考隨著精確度越高，無理數(shù)指數(shù)冪的不足近似值和過剩近似值都無限趨近于同一個數(shù)，這個數(shù)即為實數(shù)．知識點三思考1把指數(shù)擴(kuò)大為全體實數(shù)后，若a<0，ax有時沒有意義，如(－2）,為運算方便，規(guī)定a>0.思考2因為指數(shù)已擴(kuò)充為實數(shù)，故有eq\f（am，an)＝am·a－n＝am－n.既不必再區(qū)分m、n的大小，也不必區(qū)分am·an和eq\f（am,an）了．知識點四思考（eq\f（a－1\r（b－1）,b\r（a)))＝（a－1·a·b·b－1)＝（題型探究例1解（1)＝eq\r（5,x2）。（2）＝eq\f（1,\r(3，x5)).跟蹤訓(xùn)練1解＝eq\f（1,\r(x))·eq\r（3,y2）.例2解（1）eq\r(5,a6）＝(2)eq\f(1，\r(3，a2))＝(3）eq\r(4,\f(b3,a2））＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(b3，a2))）＝(4)eq\r(－a6)＝eq\r(a6）＝＝a3.跟蹤訓(xùn)練2解(1)(2)（3)b3·eq\r（3，b2)＝b3·(4）例3解(1)（0.027）＋（eq\f（27，125）)－(2eq\f(7,9))0。5＝(eq\r(3，0。027))2＋eq\r（3,\f(125，27)）－eq\r(\f(25,9)）＝0.09＋eq\f（5,3）－eq\f（5，3)＝0。09。(2)原式＝[2×(－6)÷（－3)]＝4ab0＝4a.(3)＝.跟蹤訓(xùn)練3解(1）原式＝(2）＝5×(－4)×(－eq\f(6，5))×(3)由＋＝5,兩邊同時平方得x＋2＋x－1＝25,整理得x＋x－1＝23，則有eq\f（x2＋1,x)＝23.例4解方法一∵a〉0，b>0,又ab＝ba，∴方法二∵ab＝ba，b＝9a，∴a9a＝(9a)a，即(a9）a＝(9a）a，∴a9＝9a，a8＝9，a＝eq\r(4，3）.跟蹤訓(xùn)練4解由67x＝33，得67＝3,由603