力學(xué)量本征值問題的代數(shù)解法

力學(xué)量本征值問題的代數(shù)解法第一頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五采用自然單位則而基本對易式是令利用上述對易式，容易證明(請課后證明)其逆為第二頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五此時(shí)能量以為單位長度以為單位動(dòng)量以為單位第三頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五將兩類算符的關(guān)系式代入一維諧振子的Hamilton量上式就是Hamilton量的因式分解法，其中由于,而且在任何量子態(tài)下所以為正定厄米算符有第四頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五二、Hamilton量的本征值證明:設(shè)|n>為的本征態(tài)(n為正實(shí)數(shù))，即下面證明，若的本征值為,則的本征值為(自然單位，)利用及容易算出因此但上式第五頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五由此可得這說明，也是的本征態(tài)，相應(yīng)本征值為。如此類推，從的本征態(tài)出發(fā)，逐次用運(yùn)算，可得出的一系列本征態(tài)相應(yīng)的本征值為因?yàn)闉檎ǘ蛎姿阕?，其本征值為非?fù)實(shí)數(shù)。第六頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五若設(shè)最小本征值為，相應(yīng)的本征態(tài)為則此時(shí)即是的本征值為0的本征態(tài),或.此態(tài)記為，又稱為真空態(tài)，亦即諧振子的最低能態(tài)(基態(tài))，對應(yīng)的能量本征值(加上自然單位)為.第七頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五利用同樣可以證明這說明也是的本征態(tài)，本征值為。利用上式及從出發(fā)，逐次用運(yùn)算，可得出的全部本征態(tài)：第八頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五利用有由可知已知是的本征態(tài)，本征值是0即也是的本征態(tài)，本征值是1下面看是否也是的本征態(tài)，本征值是多少？第九頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五顯然故也是的本征態(tài)，本征值是2這樣第十頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五對本征態(tài)本征值為本征值為所以，可以成為上升算符，可以稱為下降算符。證畢。這種描述體系狀態(tài)的表象叫粒子數(shù)表象。第十一頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五利用歸納法可以證明（課下證）：（即）的歸一化本征態(tài)可表為且滿足為什么？第十二頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五由得所以從而有第十三頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五而由得所以或上式作用任一左矢，有利用有代入上式即第十四頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五上式對任意m都成立，所以或這就是下降和上升算符的定義,很有用處。或利用上式變?yōu)橐祈?xiàng)，得連同第十五頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五利用以及容易證明：拿第一式的證明為例。三、升降算符的應(yīng)用1.坐標(biāo)和動(dòng)量算符的矩陣元計(jì)算第十六頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五因?yàn)樗缘谑唔?，共六十七頁，編輯?023年，星期五2.能量本征態(tài)在坐標(biāo)表象中的表示考慮基態(tài)，它滿足即在坐標(biāo)表象中，上式可以寫為插入完備性關(guān)系得第十八頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五已經(jīng)知道令，代入前式可以得出利用積分中δ函數(shù)的性質(zhì)可得第十九頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五解出得添上自然單位，可得出在坐標(biāo)表象中的歸一化基態(tài)波函數(shù)為而坐標(biāo)表象中激發(fā)態(tài)的波函數(shù)為添上長度的自然單位由于第二十頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五可得所以第二十一頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五上次課復(fù)習(xí)升降算符的應(yīng)用第二十二頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五總之，S-方程的因式分解與經(jīng)典粒子束縛運(yùn)動(dòng)軌道的閉合性有某種關(guān)系。另外還可以證明，對于r冪函數(shù)形式的中心勢，只當(dāng)（Coulomb勢）或(各(各向同性諧振子勢)時(shí)，徑向S-方程才能因式分解.四、S-方程因式分解的條件上述的因式分解法是Schr?dinger提出來的?？梢宰C明，對于存在束縛態(tài)的一維勢阱V(x)，只要基態(tài)能量有限,存在,則可定義相應(yīng)的升降算符，并對Hamilton量進(jìn)行因式分解。第二十三頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五§9.2角動(dòng)量算符的本征值和本征態(tài)前面我們學(xué)習(xí)了軌道角動(dòng)量、自旋角動(dòng)量的性質(zhì)（本征值和本征態(tài)）以及它們之間的耦合問題。一、一般角動(dòng)量算符的對易關(guān)系如果算符j，其三個(gè)分量滿足下列對易關(guān)系下面我們對角動(dòng)量算符的本征值和本征態(tài)作一般的討論。第二十四頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五則以作為三個(gè)分量的矢量算符j稱為角動(dòng)量算符。

稱為角動(dòng)量的基本對易式。

軌道角動(dòng)量l,自旋角動(dòng)量s以及總角動(dòng)量l+s=j的各分量都滿足此基本對易式。以下根據(jù)此基本對易式及角動(dòng)量算符的厄米性來求出角動(dòng)量的本征值和本征態(tài)。且式第二十五頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五定義利用角動(dòng)量分量間的一般對易式容易證明：定義其逆表示為第二十六頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五同樣可以證明：利用角動(dòng)量的定義及分量的對易關(guān)系，上述幾個(gè)式子是很容易證明的。第二十七頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五利用有所以第二十八頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五二、角動(dòng)量本征值和本征態(tài)的代數(shù)解法前面我們在粒子數(shù)表象時(shí)所用的對易關(guān)系式是針對玻色子體系而言的。我們知道，光是玻色子，在被量子化后形成“光子”的概念。同樣，晶體里的格波（其實(shí)就是一種聲波）的能量也是量子化的。人們把量子化了的格波叫做“聲子”。聲子和光子一樣都是玻色子。1.聲子的概念第二十九頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五2.角動(dòng)量本征值和本征態(tài)的代數(shù)解法考慮二維各向同性諧振子，相應(yīng)的兩類聲子產(chǎn)生和湮滅算符用和表示,并滿足定義正定厄米算符其本征值分別為和，它們分別表示兩類聲子的數(shù)目。第三十頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五的歸一化共同本征態(tài)可表為定義算符第三十一頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五由此定義角動(dòng)量升降算符利用對易式容易證明這正是角動(dòng)量的基本對易式。第三十二頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五因?yàn)樗缘谌?，共六十七頁，編輯?023年，星期五同理可證其它幾個(gè)分量對易式。第三十四頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五同樣可證明關(guān)系式其中其本征值為這樣，的本征值可表為，且即角動(dòng)量量子數(shù)j只能取非負(fù)整數(shù)或半整數(shù)。第三十五頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五的共同本征態(tài)由前述可知，是但的共同本征態(tài)，且故也是考慮到角動(dòng)量本征態(tài)的習(xí)慣寫法，不妨將該寫為，并定義第三十六頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五現(xiàn)在的問題是，對于給定的m可以取那些值？下面予以分析：即m可以取這個(gè)值。而第三十七頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五的逆可表示為式因而可改寫為第三十八頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五相應(yīng)地，利用可改寫為式其中第三十九頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五另外，請同學(xué)們課下證明一個(gè)非常重要的關(guān)系式提示：首先證明是的屬于本征值的本征函數(shù)；2.利用本征值的非簡并性，即得出的值。請參閱陳鄂生《量子力學(xué)習(xí)題與解答》p55作業(yè)：p2602,3第四十頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五§9.3兩個(gè)角動(dòng)量的耦合與CG系數(shù)前面我們討論過兩個(gè)具體角動(dòng)量的耦合自旋與軌道角動(dòng)量的耦合自旋與自旋角動(dòng)量的耦合下面討論兩個(gè)一般角動(dòng)量的耦合一、兩個(gè)角動(dòng)量的耦合設(shè)與分別表示第一和第二粒子的角動(dòng)量，即（?。┑谒氖豁摚擦唔?，編輯于2023年，星期五這兩個(gè)角動(dòng)量分別對不同粒子的態(tài)矢運(yùn)算，屬于不同的自由度，因而是彼此對易的：定義兩個(gè)角動(dòng)量之和這就是兩個(gè)角動(dòng)量耦合的一般定義。利用兩個(gè)角動(dòng)量各分量滿足的基本對易式，同上節(jié)介紹的方法可以證明或表成第四十二頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五設(shè)的共同本征態(tài)記為，即類似地，的共同本征態(tài)記為對兩個(gè)粒子組成的體系，如果只考慮角動(dòng)量所涉及的自由度，其任何一個(gè)態(tài)必然可以用來展開。即可作為體系力學(xué)量完全集,而是它們的共同本征態(tài)。第四十三頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五以共同本征態(tài)為基矢的表象稱為非耦合表象。1.非耦合表象在給定的情況下，所以有個(gè)，即它們張開維子空間。第四十四頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五2.耦合表象考慮到也構(gòu)成兩粒子體系的一組力學(xué)量完全集，共同本征態(tài)記為，即第四十五頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五以共同本征態(tài)為基矢的表象稱為耦合表象，基矢簡記為。二、兩種耦合表象基矢之間的關(guān)系—CG系數(shù)問題：當(dāng)給定，可取哪些值？基矢與之間的關(guān)系如何？1.Clebsch-Gordan系數(shù)令上式的物理意義是明顯的。第四十六頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五我們將展開系數(shù)稱之為Clebsch-Gordan系數(shù)，簡稱CG系數(shù)。顯然CG系數(shù)是維子空間中耦合表象基矢與非耦合表象基矢之間的幺正變換矩陣元?？紤]到將上式兩邊分別作用到下式兩邊第四十七頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五有第四十八頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五因?yàn)樗詫⒋肷鲜阶筮叄⒁祈?xiàng)得由于是正交歸一完備基矢，上式要成立，展開系數(shù)必然要滿足下列條件對第四十九頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五而是不能為0的？所以只有即故在式的兩個(gè)求和指標(biāo)中，只有一個(gè)是獨(dú)立的，從而上式可以寫成如下的形式第五十頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五上次課復(fù)習(xí)則以作為三個(gè)分量的矢量算符j稱為角動(dòng)量算符。第一次課遺留的問題：如何由升算符的定義式導(dǎo)出降算符的定義式？第五十一頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五定義正定厄米算符第五十二頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五的歸一化共同本征態(tài)可表為第五十三頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五第五十四頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五我們將展開系數(shù)稱之為Clebsch-Gordan系數(shù)，簡稱CG系數(shù)。CG系數(shù)有什么性質(zhì)？第五十五頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五根據(jù)基函數(shù)的性質(zhì)，表象的基矢具有相位不定性，從而兩個(gè)表象之間的幺正變換也有一個(gè)相位不定性。由前所述可知,CG系數(shù)實(shí)際上是兩個(gè)表象基矢的幺正變換或重疊積分，它可能是復(fù)數(shù)。2.Clebsch-Gordan系數(shù)的性質(zhì)1）Clebsch-Gordan系數(shù)的實(shí)數(shù)性如果相位選擇適當(dāng),就可以使CG系數(shù)成為實(shí)數(shù)。第五十六頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五及在此情況下,有下兩式代入正交歸一關(guān)系第五十七頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五有或即第五十八頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五當(dāng)時(shí)，給出利用波函數(shù)的正交歸一性，顯然有﹟第五十九頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五由于CG系數(shù)是實(shí)數(shù)，所以由式取逆得上式很容易理解：兩個(gè)表象基矢的轉(zhuǎn)換是相互的，不過要利用條件將上式代入正交歸一性關(guān)系2）Clebsch-Gordan系數(shù)的幺正性第六十頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五當(dāng)時(shí)，上式進(jìn)一步寫為或得上式正式CG系數(shù)幺正性的體現(xiàn)。﹟第六十一頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五三、j的取值范圍已經(jīng)知道，給定，有即所以按照角動(dòng)量的矢量耦合性質(zhì)，給定，見右圖。第六十二頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五除