虛功原理和結構位移的計算演示文稿

虛功原理和結構位移的計算演示文稿目前一頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點（優(yōu)選）虛功原理和結構位移的計算目前二頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點FPC’DD’ABC⊿CH⊿CVφCφCD⊿DV⊿CD目前三頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點二、產(chǎn)生位移的原因

（2）溫度變化、材料脹縮（3）支座沉降、制造誤差以上都是絕對位移以上都是相對位移廣義位移位移計算雖是幾何問題，但是用虛功原理解決最方便（1）荷載目前四頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點三、計算位移的目的（1）剛度驗算；（2）超靜定結構分析的基礎；（3）施工措施、建筑起拱、預應力等。四、體系（結構）的物理特性

本章只討論線性變形體系的位移計算，計算的理論基礎是虛功原理，計算的方法是單位荷載法。線性變形體系是指位移與荷載成線性關系的體系，當荷載全部撤除后，位移將完全消失。目前五頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點非線性體系：（1）物理非線性；（2）幾何非線性（大變形）。此體系的應用條件是：（1）應力、應變滿足虎克定律；（2）變形微?。鹤冃吻昂蠼Y構尺寸、諸力作用位置不變，位移計算可用疊加原理；（3）體系幾何不變，約束為理想約束。目前六頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點§9-2

虛功和虛功原理一、虛功一個不變的力所做的功是以該力的大小與其作用點沿力方向相應位移的乘積來衡量。W=PΔW

—功，單位是N·mP—力Δ

—與力相應的位移把此式的定義擴大：

實功是力在自身引起的位移上所作的功。

虛功是力在虛位移上作的功。如力與位移同向，虛功為正，反向時，虛功為負。（9-1）目前七頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點1、廣義力與廣義位移作功的兩方面因素：力、位移。與力有關的因素，稱為廣義力S。與位移有關的因素，稱為廣義位移Δ。廣義力與廣義位移的關系是：它們的乘積是虛功。即：W=PΔ1）廣義力是單個力，則廣義位移是沿此力作用線方向的線位移。2）廣義力是一個力偶，則廣義位移是它所作用的截面的轉角β，即角位移。目前八頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點3）若廣義力是等值、反向的一對力P這里Δ是與廣義力相應的廣義位移。表示AB兩點間距的改變，即AB兩點的相對位移。4）若廣義力是一對等值、反向的力偶m這里Δ是與廣義力相應的廣義位移。表示AB兩截面的相對轉角。PPABABmmΔAB目前九頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點2、虛功為了與實功相區(qū)別，虛功的虛是指力作功的位移不是由該力本身引起的，則：作功的力與相應于力的位移彼此獨立無關。虛功=力×相應于力的位移獨立無關目前十頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點二、剛體體系虛功原理的兩種應用

對于具有理想約束的剛體體系，其虛功原理為：設體系上作用任意的平衡力系，又設體系發(fā)生符合約束條件的無限小剛體體系位移，則主動力在位移上所作的虛功總和恒等于零。即：

We

=0

理想約束——約束力在可能位移上所作的功恒等于零的約束，如：光滑鉸鏈、剛性鏈桿等。剛體

——具有理想約束的質點系。剛體內力在剛體的可能位移上所作的功恒為零。（9-2）目前十一頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點

虛功原理（又稱虛位移原理、虛力原理）用于討論靜力學問題非常方便，是分析力學的基礎。因為虛功原理中平衡力系與可能位移無關，所以既可把位移視為虛設的，也可把力系視為虛設的。根據(jù)虛設的對象不同，虛功原理有兩種應用形式，解決兩類不同的問題。虛功原理的兩種不同應用，不但適用于剛體體系，也適用于變形體體系。目前十二頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點1、求靜定結構的未知約束力

應用虛功原理計算靜定結構某一約束力X（包括支座反力或任一截面的內力）步驟如下：

（1）撤除與X相應的約束，代以相應的約束力X，使原來的靜定結構變?yōu)榫哂幸粋€自由度的機構，約束力X變成主動力X，X與原來的力系維持平衡。

（2）令機構發(fā)生一剛體體系的可能位移，沿X正方向相應的位移為單位位移，即δx=1，這時，與荷載P相應的位移為δp，得到一個虛位移狀態(tài)。目前十三頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點（3）在平衡力系和虛位移之間建立虛功方程X·1+ΣP

δp=0（4）求出單位位移δx=1與δp之間的集合關系，代入虛功方程，得到X=-ΣP

δp這種求約束力和內力的方法，稱單位位移法。見教材P137例9.1目前十四頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點2、求靜定結構的未知位移例1：圖示簡支梁，支座A向上移動一已知距離c1,現(xiàn)在擬求B點的豎向線位移ΔB。解：已給位移狀態(tài);虛設力狀態(tài)，在擬求位移ΔB方向上加一單位荷載FP=1，形成平衡力系。c1△BFP=1FR1=-b/a目前十五頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點虛功方程：△B·1+c1·FR1=0由平衡方程求出：FR1=-b/a△B=FP·c1=b/a·c1注：

a、虛設力系，應用虛功原理，稱為虛力原理。若設FP=1，稱為虛單位荷載法。

b、虛功方程在此實質上是幾何方程。即利用靜力平衡求解幾何問題。

c、方程求解的關鍵，在于擬求⊿方向虛設單位荷載，利用力系平衡求出與c1相應的R1,即利用平衡方程求解幾何問題。

上述方法也可稱為“單位荷載法”

c1△BFP=1FR1=-b/a目前十六頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點

d、通過上例可推出靜定結構支座移動時，位移計算的一般公式。

注：因為靜定結構在支座移動作用下，不產(chǎn)生反力、內力，也不引起應變；所以屬于剛體體系的位移問題，可用剛體虛功原理求解。目前十七頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點3、支座移動時靜定結構的位移計算（屬剛體體系的位移計算問題）

當支座有給定位移ck時（可能不止一個），

（a）沿擬求位移⊿方向虛設相應單位荷載，并求出單位荷載作用下的支座反力FRK。

（b）令虛擬力系在實際位移上作虛功，寫虛功方程：（c）由虛功方程，解出所求位移：（9-3）（9-4）目前十八頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點

例1:

圖示三鉸剛架，支座B下沉c1，向右移動c2。求鉸C的豎向位移⊿CV和鉸左右截面的相對角位移φC。l/2l/2lc1

c2

⊿CV

φC目前十九頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點l/2l/2lc1

c2

⊿CV

φC實際狀態(tài)FP=11/21/21/41/4虛擬狀態(tài)

⊿CV

=-∑FRKcK=-[-1/2×c1–1/4×c2

]=c1/2+c2/4(↓)目前二十頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點l/2l/2lc1

c2

⊿CV

φC實際狀態(tài)φC=-∑FRKcK=-[-1/l×c2]=c2/l()MP=11

/l1

/l目前二十一頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點BABA1AB虛功方程：

例2、懸臂梁在截面B處由于某種原因產(chǎn)生相對轉角d，試求A點在i－i方向的位移。

解：①在B處加鉸（將實際位移狀態(tài)明確地表示為剛體體系的位移狀態(tài)）。②A點加單位荷載FP=1，在鉸B處虛設一對彎矩M（為保持平衡）目前二十二頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點BABA1A

例3、懸臂梁在截面B處由于某種原因產(chǎn)生相對剪位移d，試求A點在i－i方向的位移。

解：①、在B截面處加機構如圖（將實際位移狀態(tài)明確地表示為剛體體系的位移狀態(tài)）。②、A點加單位荷載FP=1，在鉸B處虛設一對剪力Q（為保持平衡）目前二十三頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點

例4、懸臂梁在截面B處由于某種原因產(chǎn)生軸向位移d試求A點在ｉ－ｉ方向的位移。BABABA1由平衡條件：虛功方程：

當截面B同時產(chǎn)生三種相對位移時，在i－i方向所產(chǎn)生的位移，即是三者的疊加，有：目前二十四頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點§9-3結構位移計算的一般公式——變形體的位移計算

結構屬于變形體，在一般情況下，結構內部產(chǎn)生應變。結構的位移計算問題，屬于變形體體系的位移計算問題。采用方法仍以虛功法最為普遍。推導位移計算一般公式有幾種途徑：

1、根據(jù)變形體體系的虛功方程，導出位移計算的一般公式。

2、應用剛體體系的虛功原理，導出局部變形的位移公式；然后應用疊加原理，導出變形體體系的位移計算公式。目前二十五頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點一、局部變形時的位移計算公式基本思路：dsRdsdsRds（1）三種應變：設靜定結構中的某個微段ds出現(xiàn)局部變形，微段兩端相鄰截面出現(xiàn)相對位移。而結構的其他部分沒有變形，仍然是剛體，分析局部變形所引起的位移。軸線曲率R為桿件軸向變形后的曲率半徑B彎曲應變A目前二十六頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點dsRdsdsRds1（2）微段兩端相對位移：軸向伸長應變平均剪切應變BA目前二十七頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點續(xù)基本思路：

設 三種相對位移還存在，相當于整個結構除B截面發(fā)生集中變形外，其他部分都是剛體未變形，即剛體位移，于是可以利用剛體虛功原理求局部變形位移。（3）應用剛體虛功原理求出點A的位移d－即前例的結論?；颍?-5）目前二十八頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點二、結構位移計算的一般公式如果結構由多個桿件組成，則整個結構變形引起某點的位移為：若結構的支座還有給定位移，則總的位移為：由疊加原理：

總位移⊿=疊加每個微段變形在該點(A)處引起的微小位移d⊿（9-6）目前二十九頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點單位荷載虛功=所求位移其中包含：彎曲變形對位移的影響（9-7）軸向變形對位移的影響（9-8）剪切變形對位移的影響（9-9）支座移動對位移的影響（9-10）目前三十頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點

變形體虛功原理各微段內力在應變上所作的內虛功總和Wi，等于荷載在位移上以及支座反力在支座位移上所作的外虛功總和We。即：（9-11）（9-12）目前三十一頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點適用范圍與特點：2）形式上是虛功方程，實質是幾何方程?！窘o出已知變形（內部變形κ、ε、γ0

和支座位移ck），與擬求位移⊿之間的關系。】關于公式普遍性的討論：（1）變形類型：軸向變形、剪切變形、彎曲變形。（2）產(chǎn)生變形的因素：荷載、溫度改變、支座移動等。（3）結構類型：梁、剛架、拱、桁架等靜定、超靜定。（4）材料種類：彈性與非彈性，各種變形固體材料。1）適于小變形，可用疊加原理。目前三十二頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點位移計算公式也是變形體虛功原理的一種表達式。dsdsK1dsdsdsdsdsdsds外虛功：內虛功：目前三十三頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點三、結構位移計算的一般步驟

已知結構桿件各微段的應變κ、ε、γ0（根據(jù)引起變形的原因而定），支座移動ck，求結構某點沿某方向的位移⊿。1、沿欲求⊿方向設FP=1。2、根據(jù)平衡條件求出FP=1作用下的M、FN、FQ、FR。3、根據(jù)公式可求出⊿。注意正負號：②位移計算公式中各乘積表示，力與變形方向一致，乘積為正，反之為負。①求得⊿為正，表明位移⊿的實際方向與所設單位荷載方向一致。目前三十四頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點§9-4荷載作用下的位移計算一、荷載作用下的結構位移計算公式

根據(jù)公式

本節(jié)討論中，設材料是線彈性的。在此，微段應變

κ、

ε、

γ0

是由荷載引起的（實際位移狀態(tài)），由荷載—內力—應力—應變順序求出。（9-6）目前三十五頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點由材料力學公式可知：荷載作用下相應的彎曲、拉伸、剪切應變可表示為：彎曲應變：κ=MP/EI

軸向應變：

ε=NP/EA(9-13)

平均剪切應變：

γ0=kQP/GA目前三十六頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點式中：①

NP，QP

，

MP是荷載作用下，結構各截面上的軸力，剪力，彎矩。注意這是在實際狀態(tài)下的內力。②E，G材料的彈性模量和剪切彈性模量。③A，I桿件截面的面積和慣性矩。④EA，GA，EI桿件截面的抗拉，抗剪，抗彎剛度。⑤k是與截面形狀有關的系數(shù)（剪應力分布不均勻系數(shù)）計算公式

（9-14）目前三十七頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點

將（9-14）代入（9-6）可得荷載作用下平面桿件結構彈性位移計算的一般公式：（9-15）將位移計算問題轉化為兩種狀態(tài)下的內力計算問題。正負號規(guī)定：N、NP

拉力為正；Q、QP

同材料力學M、MP使桿件同側纖維受拉時，乘積為正。目前三十八頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點二、各類結構的位移計算公式（1）梁和剛架：位移主要由彎曲變形引起。

（2）桁架：各桿只有軸力，且各桿截面和各桿軸力沿桿長一般為常數(shù)。（9-16）（9-17）目前三十九頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點（3）組合結構：一些桿件主要受彎，一些桿件只有軸力。（4）拱：

①扁平拱及拱的合理軸線與拱軸相近時：②通常情況：

（9-18）（9-19）（9-20）目前四十頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點例:簡支梁的位移計算。求圖示簡支梁中點C的豎向位移⊿CV和截面B的轉角φB。解：求C點的豎向位移。

虛擬狀態(tài)如圖；FP=11/2

實際狀態(tài)

虛擬狀態(tài)MP=q(lx-x2)/2M=x/2QP=q(l-2x)/2Q=1/2

因對稱性，只計算一半。三、荷載作用下的位移計算舉例目前四十一頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點

討論剪切變形和彎曲變形對位移的影響：

設簡支梁為矩形截面，k=1.2,I/A=h2/12,

橫向變形系數(shù)μ=1/3,E/G=2(1+μ)=8/3。

⊿Q/⊿M=(kql2/8GA)/(5ql4/384EI)

=9.6/l2·k·E/G·I/A=2.56(h/l)2l/20目前四十二頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點當h/l=1/10時,則：⊿Q/⊿M=2.56﹪

對一般梁來說，可略去剪切變形對位移的影響。

但當梁h/l＞1/5時,則：⊿Q/⊿M=10.2﹪則對于深梁，剪切變形對位移的影響不可忽略。目前四十三頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點求截面B的轉角φB

。

虛擬狀態(tài)如圖所示。M=11/l實際狀態(tài)

虛擬狀態(tài)MP=q(lx-x2)/2M=-x/l

計算結果為負，說明實際位移與虛擬力方向相反。1/l目前四十四頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點例:

圖示一屋架，屋架的上弦桿和其他壓桿采用鋼筋混凝土桿，下弦桿和其他拉桿采用鋼桿。試求頂點C的豎向位移。解：

（1）求NP先將均布荷載q化為結點荷載FP=ql/4

。求結點荷載作用下的FNP

。目前四十五頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點0.278l0.263l0.263l0.088l0.278l0.444l1111/21/2FNP3.002.02.0-4.74-4.42-0.951.504.500.278l0.263l0.263l0.088l0.278l0.444l10.50.5FN（2）求-1.58-1.58001.51.5目前四十六頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點目前四十七頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點§9-5圖乘法一、圖乘法的適用條件

計算彎曲變形引起的位移時，要求下列積分：符合下列條件時，積分運算可轉化為圖乘運算，比較簡便。適用條件為：（1）桿軸為直線；（2）桿段

EI=常數(shù)；（3）M和MP中至少有一個是直線圖形。目前四十八頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點二、圖乘公式

圖示為AB桿的兩個彎矩圖。

M為直線圖形，MP

為任意圖形。

該桿截面抗彎剛度EI=常數(shù)。OO’MP圖α

M圖由M圖可知：M=y=xtanαdxdA=MPdxyxCxCyCAB目前四十九頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點⊿=xCtana=yC⊿=∫(MMP/EI)ds=

由此可見，當滿足上述三個條件時，積分式的值⊿就等于MP圖的面積A乘其形心所對應M圖上的豎標yC，再除以EI。

正負號規(guī)定：

A與yC在基線的同一側時為正，反之為負。A

xCtana1EI·A·yC1EI（9-21）目前五十頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點三、應用圖乘法計算位移時的幾點注意1、應用條件：桿段必須是分段等截面（直桿）；EI不能是x的函數(shù)；兩圖形中必有一個是直線圖形，yC取自直線圖形中。2、正負號規(guī)定：

A與yC同側，乘積A

yC取正；A與yC不同側，則乘積A

yC取負。3、幾種常用圖形的面積和形心位置：見書P.146,圖9.13，注意正面積和斜面積是相同的。曲線圖形要注意圖形頂點位置。目前五十一頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點

4、如果兩個圖形均為直線圖形，則標距yC可取自任何一個圖形。

5、當yC所屬圖形是由幾段直線組成的折線圖形，則圖乘應分段進行。在折點處分段圖乘，然后疊加。（為什么？）A1y1A2y2A3y3

當桿件為階段變化桿件時（各段EI=常數(shù)），應在突變處分段圖乘，然后疊加。（為什么？）目前五十二頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點6、把復雜圖形分為簡單圖形

（使其易于計算面積和判斷形心位置）

取作面積的圖形有時是不規(guī)則圖形，面積的大小或形心的位置不好確定?？煽紤]把圖形分解為簡單圖形（規(guī)則圖形）分別圖乘后再疊加。目前五十三頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點

（1）、如兩圖形均為梯形，不必求梯形形心，可將其分解為兩個標準三角形進行計算。ABCDabMPlcdMC1yC1C2yC2ACDMP’C1aADBbMP’’C2MP=MP’+MP’’⊿=(1/EI)∫MMPds=(1/EI)∫M(MP’+MP’’)ds⊿=(1/EI)[(al/2)yC1+(bl/2)yC2]⊿=l6EI(2ac+2bd+ab+bc)yC1=c+1/3(d-c)=1/3d+2/3cyC2=c+2/3(d-c)=2/3d+1/3c目前五十四頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點

(2)、左圖也可分為兩個標準三角形，進行圖乘運算。ABCDabMPcdMlC1yC1yC2C2C1abC2MP’MP’’⊿=(1/EI)[(al/2)yC1+(bl/2)yC2]其中:yC1=2c/3-d/3yC2=(2d/3-c/3)⊿=l6EI(2ac+2bd-ab-bc)O目前五十五頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點（3）、一般情況

右圖所示為某一段桿(AB)的MP圖。可將此圖分解為三個圖形，均為標準圖形，然后與M圖圖乘，圖乘后疊加。目前五十六頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點四、示例例1、求懸臂梁中點C的撓度⊿CV，EI=常數(shù)。解：

（1）、設虛擬力狀態(tài)如圖，作M和MP。由于均為直線圖形，故AP可任取。FPl/2l/2⊿CVFPMPFPl1l/2MA5FPl/6M:A=1/2×l/2×l/2=l2/8MP:yC=5/6×FPl⊿CV=A·yC/EI=(l2/8×5/6×FPl)/EI

=5FPl3/48EI(↓)

目前五十七頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點(2)、討論若：

AP=1/2×FPl×l=Pl2/2

yC=1/3×l/2=l/6⊿CV=AP·yC/EI

=(FPl2/2×l/6)/EI

=FPl3/12EI(↓)對否？錯在哪里？FPl/2l/2⊿CVFPMPFPlAP1l/2Ml/6目前五十八頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點FPl/2l/2⊿CVFPAP1l/23、正確的作法AP1=1/2×FPl×l/2=FPl2/4

y1=l/3AP2=1/2×FPl/2×l/2=FPl2/8

y2=l/6AP3=1/2×FPl/2×l/2=FPl2/8y3=0FPl⊿CV=∑AP·yC/EI=(FPl2/4×l/3+FPl2/8×l/6+FPl2/8×0)/EI=5FPl3/48EI(↓)目前五十九頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點60kN12kN例:

圖示剛架，用圖乘法求B端轉角θB;CB桿中點D的豎向線位移⊿DV。各桿EI=常數(shù)。EI=常數(shù)

解:1、作荷載作用下結構的彎矩圖。72kN72kN12kN目前六十頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點25245=1/8×10×6290MP圖(kN?m)2、作虛擬力狀態(tài)下的圖M。M=11M3、求θB。圖乘時注意圖形分塊。C1C2y1y2C3C4y3y412*6+1/2*10*62=25212*6+60*3=2521/4*60*6=901/2*90*1/2*6*2/3+1/2*90*1/2*6*1/3=1/2*90*6*(1/2)目前六十一頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點2524590MP圖(kN?m)14、作虛擬力狀態(tài)下的圖M。5、求⊿CV，圖乘時注意圖形分塊。3M(m)81C1C2C3C4C5y1y2y3y4y545/4=1/32ql2目前六十二頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點例：q=16kN/m64kN?m64kN?m16kN?m16kN?m

求鉸C左右截面相對轉角θC。各桿EI=5×104kN·m2

。解：作荷載作用下的彎矩圖；虛擬力作用下的彎矩圖。（注意：①斜桿彎矩圖的做法；②各彎矩圖的單位。）目前六十三頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點32=1/8×16×4232θC=2[(1/2·80·5)·(2/3·5/8)+(1/2·80·5)·(2/3·5/8+1/3·1)-(2/3·32·5)·(1/2·5/8+1/2·1)]/EI

kN·m

m

kN/m2=0.005867（弧度）

方向與虛擬力方向一致。目前六十四頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點§9-6靜定結構溫度變化時的位移計算

平面桿件結構位移計算的一般公式在此：ε，γ，

κ由溫度作用引起。注意靜定結構特征：

①組成：無多余約束的幾何不變體系；②靜力：溫度作用下靜定結構無反力、內力；桿件有變形，結構有位移。

溫度作用時由于材料熱脹冷縮，使結構產(chǎn)生變形和位移。目前六十五頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點1、溫度變化時靜定結構的特點：（1）有變形（熱脹冷縮）均勻溫度改變（軸向變形）；不均勻溫度改變（彎曲、軸向變形）；無剪切變形。（2）無反力、內力。目前六十六頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點2、微段由于溫度改變產(chǎn)生的變形計算設溫度沿截面厚度h直線變化。（1）軸向伸長（縮短）變形：設桿件上邊緣溫度升高t10，下邊緣升高t20。形心處軸線溫度：

t0=(h1t2+h2t1)/h

（截面不對稱于形心軸時）

t0=(t2+t1)/2

（截面對稱于形心軸時）

du=εds=α·t0ds

α——材料線膨脹系數(shù)。ds形心軸+t1

+t2

t0

h

h1

h2αt1dsαt2dsdudφ目前六十七頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點

(2)由上下邊緣溫差產(chǎn)生的彎曲變形：

上下邊緣溫差

⊿t=t2–t1dθ=κds=α(t2-t1)/hds=α⊿t/hds（3）溫度作用不產(chǎn)生剪切變形

γds=03、溫度作用時位移計算公式（9-22）目前六十八頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點如t0，⊿t和h沿每桿桿長為常數(shù)，則：（9-23）①正負號：軸力FN以拉力為正，t0以溫度升高為正。彎矩M和溫差Δt用其乘積定正負號，比較虛擬狀態(tài)的變形與實際狀態(tài)中由于溫度變化引起的變形，若使桿同側產(chǎn)生拉伸變形時，則取正號，反之，則取負號。②剛架（梁）中由溫度變化引起的軸向變形不可忽略。目前六十九頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點例：圖示剛架，施工時溫度為200C，試求冬季當外側溫度為-100C，內側溫度為00C時，點A的豎向位移⊿AV，已知α=10-5，h=40cm（矩形截面）。l=4ml=4mA00C-100C外側溫度改變：t1=-10–20=-300內側溫度改變：t2=0–20=-200-300C-200C目前七十頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點l=4ml=4mA-300C-200CFP=1FNFN=0FN=-1FP=1lMt0=(t1+t2)/2=（-30–20）/2=-250⊿t=t2-t1=-20-（-30）=100⊿AV=α×(-25)×(-1)×l+(-)α×10/h×(1/2×l×l+l×l)=-0.5cm(↑)目前七十一頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點提問：（1）、若當結構某些桿件發(fā)生尺寸制造誤差，要求結構的位移，應如何處理？

應根據(jù)位移計算的一般公式進行討論。特點：除有初應變（制造誤差）的桿件外，其余桿件不產(chǎn)生任何應變。在有初應變的桿件中找κ、ε、γ即可。目前七十二頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點（2）、靜定結構由荷載、溫度改變、支座移動、尺寸誤差、材料漲縮等因素共同作用下，產(chǎn)生的位移應如何計算？

可先分開計算，在進行疊加目前七十三頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點§9-7線性變形體系的互等定理狀態(tài)Ⅰ狀態(tài)Ⅱ一、功的互等定理

貝蒂（E.Betti意1823—1892）定理FP1FP1FR1FP2⊿21⊿12⊿12dsds

令狀態(tài)Ⅰ上的力系在狀態(tài)Ⅱ的位移上作虛功目前七十四頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點

令狀態(tài)Ⅱ上的力系在狀態(tài)Ⅰ的位移上作虛功

比較（a）、（b）兩式，知：W12=W21

（9-24）∑FP1⊿12=∑FP2⊿21或寫為：

虛功W有兩個下標，第一個下標表示做功的力系狀態(tài)，第二個下標表示相應的變形狀態(tài)。目前七十五頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點功的互等定理：

在任一線性變形體系中，第一狀態(tài)外力在第二狀態(tài)位移上作的虛功W12，等于第二狀態(tài)上的外力在第一狀態(tài)上作的虛功W21。功的互等定理應用條件：（1）材料彈性，應力與應變成正比。

（2）小變形，不影響力的作用。即為線性彈性體系。目前七十六頁\總數(shù)八十五頁\編于十二點應用時注意：

廣義力廣義位移對應

由：W12=FP1·⊿12，W21=FP2·⊿21

有：W12=W21，F(xiàn)P1·⊿12=FP2·⊿12FP1