2022高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)52向量的數(shù)量積夯實(shí)基礎(chǔ)大綱人教版

向量的數(shù)量積穩(wěn)固·夯實(shí)基礎(chǔ)一、自主梳理數(shù)量積的觀(guān)點(diǎn)向量的夾角:如圖,已知兩個(gè)非零向量a和b,作=a,=b,則∠AOB=θ0°≤θ≤180°叫做向量a與b的夾角,記作〈a,b〉2數(shù)量積的定義:已知兩個(gè)非零向量a和b,它們的夾角為θ,則數(shù)量|a||b|coθ叫做a與b的數(shù)量積,記作a·b,即a·b=|a||b|coθ3數(shù)量積的幾何意義:數(shù)量積a·b等于a的模與b在a方向上的投影|b|coθ的乘積數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)e是單位向量,〈a,e〉=θ1e·a=a·e=|a|coθ2當(dāng)a與b同向時(shí),a·b=|a||b|;當(dāng)a與b反向時(shí),a·b=-|a||b|特別地,a·a=|a|2或|a|=3a⊥ba·b=04coθ=

a?b|a||b|5|a·b|≤|a||b|運(yùn)算律：1a·b=b·a;2λa·b=λa·b=a·λb;3ab·c=a·cb·c向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)a=1,1,b=2,2,則1a·b=1212;2|a|=x12y12;3co〈a,b〉=x1x2y1y2;4a⊥ba·b=0=0x12y12?x22y221212二、點(diǎn)擊雙基的夾角為60°,|b|=4,a2b·a-3b=-72,則向量a的模是解析：a2b·a-3b=|a|2-|a||b|co60°-6|b|2=|a|2-2|a|-96=-72,∴|a|2-2|a|-24=0∴|a|-6·|a|4=0∴|a|=6答案：C22022北京海淀模擬理已知|a|=1,|b|=2,c=ab,c⊥a,則a與b的夾角大小為AB5CD26363解析：c⊥a,則c·a=0,即ab·a=0,即a2=-a·b∴a·b=-a2=-1,即|a||b|coθ=-1∴coθ=-1=-1∴θ=21223答案：D文已知向量a、b知足|a|=2,|b|=1,a-b·b=0,那么向量a、b的夾角為°°°°解析：a-b·b=0,即a·b=b2∵|b|=1,∴a·b=1,即|b||a|coα=1∴coα=1=1∴α=60°應(yīng)選C|a||b|2答案：C上海高考理已知點(diǎn)A1，-2，若向量與a=2，3同向，||=2，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)____________________解析：設(shè)∵與

A點(diǎn)坐標(biāo)為A,A,B點(diǎn)坐標(biāo)為B,Ba同向，∴可設(shè)=λa=2λ,3λλ＞0∴||=

(2)2

(3

)2

=2∴λ=2則=B-A,B-A=4,6,xBxA4,∴xA6.yBxA1,xB5,∵∴yA2,xB4.∴B點(diǎn)坐標(biāo)為5，4答案：5，4文已知點(diǎn)A-1，-5和向量a=2，3，若=3a，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)________________解析：設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為B,B,則=B1,B5=3a=6,9,xB16,xB5,∴∴∴B5,4yB59.yB4.答案：5，44天津高考，文已知|a|=2,|b|=4,a與b的夾角為,以a、b為鄰邊作平行四邊形,則此平3行四邊形的兩條對(duì)角線(xiàn)中較短的一條的長(zhǎng)度為_(kāi)__________________________解析：繪圖可知，較短的一條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度為|a|2|b|22|a||b|cos=23答案：2誘思·實(shí)例點(diǎn)撥【例1】判斷下列各命題正確與否：若a≠0，a·b=a·c，則b=c；若a·b=a·c，則b≠c當(dāng)且僅當(dāng)a=0時(shí)建立；3a·bc=ab·c對(duì)隨意愿量a、b、c

都建立；4對(duì)任一向量a，有a2=|a|2解析：12可由數(shù)量積的定義判斷

3經(jīng)過(guò)計(jì)算判斷

4把

a2轉(zhuǎn)變成

a·a=|a|

2可判斷解：1a·b=a·c，∴|a||b|coα=|a||c|coβ其中α、β分別為a與b，a與c的夾角∵|a|≠0,∴|b|coα=|c|coβ∵coα與coβ不一定相等，∴|b|與|c|不一定相等∴b與c也不一定相等∴1不正確2若a·b=a·c，則|a||b|co∴|a||b|coα-|c|coβ=0∴|a|=0或|b|coα=|c|coβ

α=|a||c|co

βα、β為

a與

b，a與

c的夾角當(dāng)b≠c時(shí)，|b|coα與|c|coβ可能相等∴2不正確3a·bc=|a||b|coαc,ab·c=a|b||c|coθ其中α、θ分別為a與b，b與

c的夾角·bc是與c共線(xiàn)的向量,ab·c是與a共線(xiàn)的向量∴3不正確4正確講評(píng)：判斷上述問(wèn)題的重點(diǎn)是要掌握向量的數(shù)量積的含義，向量的數(shù)量積的運(yùn)算律不同于實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算律【例2】在直角坐標(biāo)系O中，已知點(diǎn)P2co1,2co22和點(diǎn)垂直，求的值解：由⊥，得co2co1-2co22==0，

Qco,-1，其中∈［

0,π］若向量與于是co=0或co=12又∵∈［0，π］，∴=或23鏈接·拓展此題把∈［0，π］改為∈R，求的值略解：=π或=2π±∈Z23定義f=·,∈［0，π］,求f的值域提示：f=-2co2co,令t=co,則t∈［-1,1］則=-2t2t=-2t-121∈