必修一講義精練第一章121.21第二課時(shí)函數(shù)的概念

1．2函數(shù)的概念和性質(zhì)1．2.1對(duì)應(yīng)、映射和函數(shù)其次課時(shí)函數(shù)的概念函數(shù)的概念在現(xiàn)實(shí)生活中，我們可能會(huì)遇到以下問(wèn)題：(1)某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲(chǔ)蓄存款(年底余額)隨時(shí)間的變化如下表：年份20132014201520162017儲(chǔ)蓄存款y(千億元)5791012你能依據(jù)這個(gè)表說(shuō)出這個(gè)地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲(chǔ)蓄存款的規(guī)律嗎？(2)一物體從靜止開(kāi)頭下落，下落的距離y(m)與下落時(shí)間x(s)之間近似地滿意關(guān)系式y(tǒng)x2.假設(shè)一物體下落2s，你能求出它下落的距離嗎？(3)以下圖為某市一天24小時(shí)內(nèi)的氣溫變化圖．①上午6時(shí)的氣溫約是多少？全天的最高、最低氣溫分別是多少？②在什么時(shí)刻，氣溫為0℃？③在什么時(shí)段內(nèi)，氣溫在0℃以上？如何用集合語(yǔ)言來(lái)闡述上述3個(gè)問(wèn)題的共同特點(diǎn)？1．函數(shù)的定義設(shè)A，B是兩個(gè)非空的數(shù)集，假如依據(jù)某種對(duì)應(yīng)法那么f，對(duì)于集合A中的任何一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，這樣的對(duì)應(yīng)f叫作定義于A取值于B的函數(shù)，記作f：A→B或者y＝f(x)(x∈A，y∈B)．2．函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)的定義中，集合A叫作函數(shù)的定義域，與x∈A對(duì)應(yīng)的數(shù)y叫x的像，記作y＝f(x)，由全部x∈A的像組成的集合叫作函數(shù)的值域．3．函數(shù)的三要素為定義域，對(duì)應(yīng)法那么，值域．舉出幾個(gè)有關(guān)函數(shù)的例子，并用定義加以描述，指出函數(shù)的定義域和值域．[提示](1)下表記錄了幾個(gè)不同氣壓下水的沸點(diǎn).氣壓/(105Pa)10沸點(diǎn)/(℃)81100121152179這張表給出了沸點(diǎn)與氣壓之間的函數(shù)關(guān)系，定義域是{0.5,1.0,2.0,5.0,10}，值域是{81,100,121,152,179}．(2)如圖是勻速直線運(yùn)動(dòng)路程s隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系圖，它的定義域是{t|t≥0}，值域是{s|s≥0}．函數(shù)概念的理解[例1]以下對(duì)應(yīng)關(guān)系是否為A到B的函數(shù)．(1)A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|；(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；(3)A＝R，B＝Z，f：x→y＝eq\r(x)；(4)A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0.[思路點(diǎn)撥]可依據(jù)函數(shù)的定義直接推斷．[解](1)A中的元素0在B中沒(méi)有對(duì)應(yīng)元素，故不是A到B的函數(shù)；(2)對(duì)于集合A中的任意一個(gè)整數(shù)x，依據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一一個(gè)確定的整數(shù)x2與其對(duì)應(yīng)，故是集合A到集合B的函數(shù)；(3)A中元素負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，故在B中沒(méi)有對(duì)應(yīng)的元素且eq\r(x)不肯定為整數(shù)，故此對(duì)應(yīng)關(guān)系不是A到B的函數(shù)；(4)對(duì)于集合A中任意一個(gè)實(shí)數(shù)x，依據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一一個(gè)確定的數(shù)0與它對(duì)應(yīng)，故是集合A到集合B的函數(shù).借題發(fā)揮(1)A，B必需是非空數(shù)集．(2)A中任意一元素在B中有且只有一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)．對(duì)應(yīng)關(guān)系是“一對(duì)一〞或“多對(duì)一〞的是函數(shù)關(guān)系，“一對(duì)多〞的不是函數(shù)關(guān)系．(1)任取一條垂直于x軸的直線l.(2)在定義域內(nèi)平行移動(dòng)直線l.(3)假設(shè)l與圖形有且只有一個(gè)交點(diǎn)，那么是函數(shù)；假設(shè)在定義域內(nèi)沒(méi)有交點(diǎn)或有兩個(gè)或兩個(gè)以上的交點(diǎn)，那么不是函數(shù).1．假設(shè)集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤3}，那么以下圖形給出的對(duì)應(yīng)中能構(gòu)成從A到B的函數(shù)f：A→B的是()解析：選DA中的對(duì)應(yīng)不滿意函數(shù)的存在性，即存在x∈A，但B中無(wú)與之對(duì)應(yīng)的y；B、C均不滿意函數(shù)的唯一性，只有D正確．2．以下對(duì)應(yīng)或關(guān)系式中是A到B的函數(shù)的是()A．A＝R，B＝R，x2＋y2＝1B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖：C．A＝R，B＝R，f：x→y＝eq\f(1,x－2)D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝eq\r(2x－1)解析：選BA錯(cuò)誤，x2＋y2＝1可化為y＝±eq\r(1－x2)，明顯對(duì)任意x∈A，y值不唯一．B正確，符合函數(shù)的定義．C錯(cuò)誤，2∈A，在B中找不到與之相對(duì)應(yīng)的數(shù)．D錯(cuò)誤，－1∈A，在B中找不到與之相對(duì)應(yīng)的數(shù).“f〞的含義及函數(shù)值問(wèn)題[例2]f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)(x≠－1)．求：(1)f(0)及feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))的值；(2)f(1－x)及f(f(x))．[思路點(diǎn)撥]將f(x)中的x分別賦值或式子，代入eq\f(1－x,1＋x)中化簡(jiǎn)即得．[解](1)f(0)＝eq\f(1－0,1＋0)＝1，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1－\f(1,2),1＋\f(1,2))＝eq\f(1,3)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\f(1－\f(1,3),1＋\f(1,3))＝eq\f(1,2).(2)f(1－x)＝eq\f(1－1－x,1＋1－x)＝eq\f(x,2－x)(x≠2)．f(f(x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－x,1＋x)))＝eq\f(1－\f(1－x,1＋x),1＋\f(1－x,1＋x))＝x(x≠－1).借題發(fā)揮(1)在函數(shù)y＝f(x)中，x為自變量，f為對(duì)應(yīng)關(guān)系，f(x)是按“f〞與x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，所以求函數(shù)值時(shí)，只需將f(x)中的x用對(duì)應(yīng)的值(包括值在定義域內(nèi)的代數(shù)式)代入即可；(2)求f(f(x))時(shí)，一般應(yīng)遵循由里到外的原那么.3．函數(shù)f(x)＝x2－2x，求：(1)f(－2)；(2)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))(x≠0)；(3)假設(shè)f(x)＝3，求x的值．解：(1)f(－2)＝(－2)2－2·(－2)＝8.(2)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))2－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)－2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1))＝eq\f(1,x2)－1(x≠0)．(3)假設(shè)f(x)＝3，那么x2－2x＝3，x＝－1或x＝3.1．假設(shè)f(x)＝eq\r(\f(1,x))的定義域?yàn)镸，g(x)＝|x|的定義域?yàn)镹，令全集U＝R，那么M∩N＝()A．M B．NC．?RM D．?RN解析：選AM＝{x|x>0}，N＝R，∴M∩N＝M.2．以下圖形中，不行能是函數(shù)y＝f(x)的圖象的是()解析：選B依據(jù)函數(shù)的存在性和唯一性(定義)可知，B不正確．3．以下各對(duì)函數(shù)中，圖象完全相同的是()A．y＝x與y＝(eq\r(3,|x|))3 B．y＝(eq\r(x))2與y＝|x|C．y＝eq\f(x,x)與y＝x0 D．y＝eq\f(x＋1,x2－1)與y＝eq\f(1,x－1)解析：選C假設(shè)函數(shù)的圖象相同，那么是相同的函數(shù)．對(duì)于A，y＝(eq\r(3,|x|))3＝|x|，所以對(duì)應(yīng)關(guān)系不同；對(duì)于B，y＝(eq\r(x))2＝x(x≥0)，所以?xún)珊瘮?shù)定義域與對(duì)應(yīng)關(guān)系均不同；對(duì)于C，y＝eq\f(x,x)＝1(x≠0)，而y＝x0＝1(x≠0)，定義域與對(duì)應(yīng)關(guān)系均相同，是相同的函數(shù)；對(duì)于D，y＝eq\f(x＋1,x2－1)＝eq\f(x＋1,x＋1x－1)＝eq\f(1,x－1)，其中x2≠1，即x≠±1，而y＝eq\f(1,x－1)中x≠1，定義域不同，不是相同函數(shù)．4．f(x)＝eq\f(1,1＋x)，g(x)＝x2＋2，那么f(2)＝________，f[g(2)]＝________.解析：f(2)＝eq\f(1,1＋2)＝eq\f(1,3)，g(2)＝22＋2＝6，∴f[g(2)]＝f(6)＝eq\f(1,1＋6)＝eq\f(1,7).答案：eq\f(1,3)eq\f(1,7)5．函數(shù)f(x)＝x2－x，假設(shè)f(eq\r(a))＝2，那么a的值是________．解析：f(eq\r(a))＝(eq\r(a))2－eq\r(a)＝2.即(eq\r(a)－2)(eq\r(a)＋1)＝0，a＝4.答案：4通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對(duì)函數(shù)符號(hào)“y＝f(x)〞有了哪些新的熟悉？對(duì)應(yīng)關(guān)系f是表示定義域和值域的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，與所選擇的字母無(wú)關(guān)．符號(hào)y＝f(x)是“y是x的函數(shù)〞的數(shù)學(xué)表示，應(yīng)理解為：x是自變量，它是對(duì)應(yīng)關(guān)系所施加的對(duì)象；f是對(duì)應(yīng)關(guān)系，它既可以是解析式，也可以是圖象、表格或文字描述．y＝f(x)僅僅是函數(shù)符號(hào)，不能理解為“y等于f與x的乘積〞．f(x)與f(a)的區(qū)分與聯(lián)系：f(a)表示當(dāng)x＝a時(shí)函數(shù)f(x)的值，是一個(gè)常量，而f(x)是自變量x的函數(shù)，表示的是變量．雖然f(x)＝x2和f(x－1)＝x2等號(hào)右邊的表達(dá)式都是x2，但是，由于f施加的對(duì)象不同(一個(gè)為x，而另一個(gè)為x－1)，因此兩個(gè)函數(shù)的解析式是不同的．一、選擇題1．設(shè)集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，給出如下四個(gè)圖形，其中能表示從集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的是()解析：選D由函數(shù)的定義可以推斷只有D正確．2．函數(shù)f(x)定義在區(qū)間[－2,3]上，那么y＝f(x)的圖象與直線x＝2的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．不確定解析：選B∵2∈[－2,3]，由函數(shù)的定義可知，y＝f(x)的圖象與x＝2只能有一個(gè)交點(diǎn)．3．集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，以下不表示從A到B的函數(shù)是()A．f：x→y＝eq\f(1,2)x B．f：x→y＝eq\f(1,3)xC．f：x→y＝eq\f(2,3)x D．f：x→y＝eq\r(x)解析：選C對(duì)選項(xiàng)C，當(dāng)x＝4時(shí)，y＝eq\f(8,3)>2不合題意，應(yīng)選C.4．以下說(shuō)法錯(cuò)誤的選項(xiàng)是()A．函數(shù)定義域中的任一元素在其值域中都有它的對(duì)應(yīng)B．函數(shù)的定義域是無(wú)限集，那么值域也是無(wú)限集C．定義域與對(duì)應(yīng)關(guān)系確定后，函數(shù)值域也就確定了D．假設(shè)函數(shù)的定義域只有一個(gè)元素，那么值域也只有一個(gè)元素答案：B二、填空題5．函數(shù)f(x)＝x2＋|x－2|，那么f(1)＝________.解析：∵f(x)＝x2＋|x－2|，∴f(1)＝12＋|1－2|＝1＋1＝2.答案：26．假設(shè)f(2x)＝x3，那么f(1)＝________.解析：令2x＝1，那么x＝eq\f(1,2)，∴f(1)＝(eq\f(1,2))3＝eq\f(1,8).答案：eq\f(1,8)三、解答題7．函數(shù)f(x)＝x2＋x－1，求：(1)f(2)；(2)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋1))；(3)假設(shè)f(x)＝5，求x的值．解：(1)f(2)＝4＋2－1＝5.(2)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋1))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋1))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋1))－1＝eq\f(1,x2)＋eq\f(3,x)＋1.(3)f(x)＝5，即x2＋x－1＝5.由x2＋x－6＝0得x＝2或x＝－3.8．函數(shù)f(x)＝eq\f(x2,1＋x2).(1)求f(2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，f(3)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))的值；(2)求證：f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))是定值；(3)求f(2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋f(3)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＋…＋f(2019)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2019)))的值．解：(1)∵f(x)＝eq\f(x2,1＋x2)，∴f(2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(22,1＋22)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝1，f(3)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\f(32,1＋32)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2)＝