五年級最大與最小教師版

知識要 ① 最（2008年4月13日第六屆小學“希望杯”數學邀請賽五年級第2試第4題）有一排椅子有27個 【分析】將27個座位從左到右每3個一組分成9都將與該組中間座位上的那個人相鄰，所以先坐9人符合條件。如果先坐的人數小于9，那么在剛才的分組中，必定有一組的320039222LL5，所以滿足條件的最小自然數為523222個1234，所以已就坐的最少有4【分析】至少有4排如果10排人數各不相同，那么最多坐 87115人如果最多有2(16151413122140如果最多有3(161514313148如果最多有4(16154142152由于148150152150，所以，只有3排人數一樣的話將不可能坐下150（2007年第十一屆小學數學世界邀請賽個人賽第6題商店里銷售的鉛筆有兩種包裝五支包裝的每包售價6元七支包裝的每包售價7元某校至少要鉛筆111支請問至少要花 元【分析】由條件5支包裝的售價6元，平均每支651.2（元7支包裝的每包7元，平均每支77（元。7支包裝的比5支包裝的每支筆要便宜，為了花費盡量少，應多買7支包裝的。嘗試可知買111支鉛筆最多買7支包裝的可買13包，共13791（支，剩下的買5支包裝的4包共5420（支，這樣至少要花費911201.2115（元。但是，若買7支包裝的買16包，共可買鉛筆167112（支，需花費1121112（元，比115元少。因此至少要花費112老師共有22人，家長比老師多，比多，女老師比多2人，至少有1名男老師，那么在這22人中，有多少人？【分析】家長比老師多，所以老師少于22211（人10人；相應的，家長就不少于12在至少12個家長中，比多，所以要多于1226（人，即不少于7人。因為女老師比多2人，所以女老師不少于9人。但老師最多就10個，并且還至少有1個男老師，所以老師必定是9個女老師和1個男老師，共那么，在12個家長中，就有7個是。所以，有1275（人（2007年“我愛數學夏令營”綜合測試題第7題）一個小公司有5個職工，月平均工資為2700元。已知最高工資是最低工資的2倍，那么最高月工資最少為 【分析】已知5人平均工資2700元，即5人工資總和為2700513500（元。由于條件沒有限定55人中41則可求最低工資最少為135002411500（元。最高工資最少為150023000（元（1999年第八屆小學數學大賽決賽第7題）有一批貨物，它們的總重量是19500千克不知道每一件貨物的重量，但沒有一件貨物的重量超過350【分析】如果把19500千克的貨物按1500千克裝一輛車 3(輛)，所以至少要用13輛卡車克，也就是說，這些貨物的總重量比000（千克）多，那么剩下的貨物會比19500180001500（千克）少，即把這些剩下的貨物裝進第13輛卡車是裝得下的。然后再把12車最少可裝4個，所以這12件貨物分別裝上3輛卡車就可以了。因此要把所有的貨物一次運走要121316（輛）卡車。若總重量為19500千克的貨物中，有6個3千克和1個2千克重的貨物，1輛卡車最多能裝4個3千克的貨物，所以需要16輛卡車。綜上所述，不管每一件貨物的重量是多少，為了必須一次運完所有的貨物，至少需要16輛大卡車。（2001年第十屆小學數學大賽決賽第2題某年的算術決賽所有參加者的分數都是整數，合計是8640分。80分以上的高分者只有三人，分別是92、85和8125分。這次決賽中得相同分數的最多只有三人。那么在這次決賽中包分的三人在內得60分以上的至少【分析】得25~79分的人合計分數是8640928581838225~79分的各分數在全部是以三人為一組時的總分數是125795538580多出的分數是85808382198

這198分要調整（減少）25~79我們先考慮減少得60分以上的19860 18，也就是說，得60（例如減去得68分的兩人，得62分的一人所以在這次決賽中包分的三人在內得60分以上的至少有2033360人（2005年第十四屆小學數學大賽預賽第8題）有100人參加算術測驗，從第1題到第題共有5道題。答對每道題的人數分別是：第1題92人；第2題86人；第3題614題875題575道題中只要做對3【分析】答對題數的合計是9286618757383為使及格人數最少，設全員答對題數不少于2道余下的答對題數合計不多于3832100183，把這183盡可能少分給一些人。首先從5道題都答對的最多的人數來考慮，答對第5題的的人數最少，答對5道題的最多有57人，余下答對題數合計是183525712再從4道題都答對的最多的人數來考慮，答對第3題的的人數次少答對4道題的最多有61574人，余下答對題數合計是124244答對34324所以最少有574465（2007年第五屆“走進美妙的數學花園”中國青少年數學趣味數學解題技能展示大賽五年級賽第8題）一個偶數的數字和是40，這個偶數最小 4094LL449999為奇數，那么這個偶數最小為59998有一類自然數，它的各個數位上的數字之和為2003由于各數位上的數之和固定為2003，要想數位最少，各數位上的數就要盡可能多地取92003÷9=222……5，因此最小的是5222個（2001年第十屆小學數學大賽預賽第3題有六個不同的整數這六個整數的和是365六個整數中最大數為65。求其中的最小數是多少365-（65+64+63+62+61）=50。給算式“1098765432”添上若干個括號，使算式的計算結果是自然數。問：這個結果【分析】對于除法算式添加括號，以abc 面abc，則不影響計算結果abcabcabc9個數的乘 67891028 其中質因數2、3、5的指數都是偶數，只有質因數7的指數是奇數，所以只有7；因為10只能作為被除數出現，要使10中的質因數5被約掉，只有5；因為9的前面只有一個除號，所以只有9；要想約掉9中的兩個質因數3，只有3、6；因為2分解質因數有124分解質因數有228分解質因數有3個2，要使2約掉，只有2、48；所以10987654327，所以添加括號為10987654327，這個結果最小是7用1~8這八個數字組成四個兩位數，并使這四個數的和等于144。這四個數中最小數與最大數的乘積【分析】設八個數字依次為ah10（a+b+c+d）+e+f+g+h=144，abcdmefghn，則10mn144，mn12345678 對比可知m12n24，所以abcd12efgh24所以e、fgh對應4、5、7、8a、b、cd對應1、2、3、6，此時最大數與最小數的乘積最小是6514910，若e、fgh對應3、6、7、8，則a、b、c、d對應12、4、5，此時最大數與最小數的乘積最小是1356728。綜上所述，最大數與最小數的乘積最小是728（2000年第九屆小學數學大賽預賽第7題有大于等于1的47個不同的整數它們的200047【分析】因為2000是偶數，所以這47若有46個奇數，則這47個數的和最少是135 9122116 若有44個奇數，則這47個數的和最少是135 872 所以最多有44個奇數，最少有3個偶數707這樣只含數字7和02222227【分析】222222731756，即2222227000037000 而70000、7000、700、70、7均只用按一次7所以為了顯示出2222227”鍵3174621 232343232232343232【分析】①如圖1所示為一個33的方格網，每個小方格的中心都放一枚棋子，以棋子為頂點的正方形共有6個。如圖2所示每個小方格中的整數表示以此方格的棋子為1個頂點和其余3枚棋子為頂點構成的方形的個數；標有3和4的方格有2個公共的正方形所以如果從圖1的網格中只取2枚棋子，則網格中必定仍然有4枚棋子可以構成一個正方形②如原圖所示，如果只抽出3枚棋子，由于①，不能從第1列和第4列中抽出棋子只能從第2列和第3列中，且不能從同一列中抽出這3枚棋子其中有2枚從同一列中抽出，除對稱情況外，這兩枚棋子只能如圖3和圖4的兩種抽出方式；經過嘗試，無論以什么方式只抽出1枚棋子，仍然有4枚棋子可以構成一個正方形。③如圖5所示，去掉4枚棋子，留下的任意4枚棋子都不能構成正方形的4總上所示，最少需要抽出4枚棋子，方可使網格中任意4枚棋子不能構成一個正方形（2008年3月22日第八屆“杯”小學生思維能力訓練活動四年級決賽第二（3）題）圖1中以黑點為頂點的正方形共有14個要是這個圖中任意四點都不能組成正方形至少要拿走 請你在圖2中的相應位置畫出留下的黑點。 【分析】①如圖3所示為一個33的方格網，以黑點為頂點的正方形共有6如圖4所示每個黑點旁邊整數表示以此方格的黑點為1個頂點和其余3個黑點為頂點構成的正形的個數；標有3和4的方格有2個公共的正方形所以如果從圖3的網格中只取2個黑點，則網格中必定仍然有4枚棋子可以構成一個正方形3423 342332 ②如圖5所示，如果只抽出3個黑點，由于①，不能從第1列和第4只能從第2列和第3列中，且不能從同一列中抽出這3個黑點其中有2枚從同一列中抽出，除對稱情況外，這兩個黑點只能如圖6和圖7的兩種抽出方式；經過嘗試，無論以什么方式只抽出1枚棋子，仍然有4個黑點可以構成一個正方形?？偵纤觯钌傩枰米?個黑點，方可使圖5中任意4 圖③如圖8所示，要破壞這三個正方形（粗線，則至少要3個黑點，情況如圖9~24由②可知圖9~14，16~17，19~24粗線中至少要拿走4個黑點，即共至少要拿走6個黑點；經嘗試，圖15、18除了圖上已經拿走的3個黑點，還需要拿走3個黑點；總上所述，最少需要拿走6個黑點，方可使圖1中任意4如圖25~31所示，為去掉6圖圖最313 1，男生最多有10（2001年第八屆“金杯”少年數學邀請賽小學組初賽第11題）自行車輪胎安裝輪上行5000千米后報廢，若安裝在后輪上只能行駛3000千米。為行駛盡可能多的路，如果采用當自行車行150001500050003（個1500030005（個35（個；所以一對輪胎（2個）最多可以行 即當行駛了375021875千米時，將前后輪調換，則恰好在3750米時，這對輪胎同廢數字和為40的最大的五位奇數為幾【分析要使一個數盡可能大數位要盡量多其次要求的數值盡可能地大所以盡量盡量為9409 257，1459則按規(guī)則構造的數的位數較少，所以最前面兩個數字盡可能地小，最小可取1與0。 n有下列性質：從1、2、…、n中任取50個不同的數，其中必有兩數之差等于7，這樣的最大過多少【分析】由題可知：這題至多只能分成50149組，所以n至多為98n98時，將12、…、98按每組中兩數的差為7（18（29（7、14（1522（1623（90、97（91、98一共有49組，所以當任取50個數時，必有兩個數在同一組，它們的差等于7n99時，取上面每組中的前一個數，即1、2、…、7、15、…、21、29、…、35、43、…、49、57、…、63、71…、77、8591和99，一共50個數，而它們中任兩個數的差不為7。因此n最大過98。（2007年第五屆“走進美妙的數學花園”中國青少年數學趣味數學解題技能展示大賽六年級賽第8題）從12342007N個不同的數，取出的數中任意三個的和能被15N最大 N個不同的數中，任意三個的和能被15整除，則其中任意兩個數除以15的余數相同，且這個余數的3倍能被15整除，所以這個余數只能是05或者10。在1:2007中，除以15的余數為0的有151，152，…，15133，共有133除以15的余數為5的有1505，1515，…，151335，共有134除以15的余數為10的有15010，15110，…，1513310，共有134個。所以N最大為134。從149中取出若干個數圍成一圈，使得任意兩個相鄰的數乘積均小于100，則最多可以取出多少個【分析】乘積小于100，則相鄰的兩個數不能都大于10，小于10的數一共有9所以最多可以取出9218最多可以寫出多少個各不相同的正整數，使得其中任何3個的和都是質【分析】最多可以寫出4因為如果這些數中有3個除以3的余數各不相同或者完全相同則這3個數之和必然是3的倍數，不可能是質數所以這些數除以3的余數最多有兩類而且每類的數最多有2個所以，最多可以寫出2245、7、1125就是滿足條件的4所以最多可以寫出4個各不相同的正整數，使得其中任何3個的和都是質數257，1459則按規(guī)則構造的數的位數較少，所以最前面兩個數字盡可能地小，最小可取1與0。 200分拆成10【分析】2001020，即這10個質數的平均數為20，那么其中最大的數不小于20又要為質數，所以至少應為23而由200238115可知，將200分拆成8個23與1個11和1個5所以符合題意的最大質數為23N11NN為這條龍的長度。比如12328就是一條龍，它的長度是28。問：龍的長度最長可以為【分析】龍的長度最長可以為38。例如：999981，999982 就是一條長度為38的龍如果存在長度大于38的龍，根據題意，必然存在連續(xù)39個自然數，每個自然數的數字和都不是11的倍數。由于任意連續(xù)39個自然數的前20個中，總可以找到兩個數的末位是0而且其中至少有1個在0的前一位不是9，令這個自然數為Nn是N的數字和。NN1N2N9N1仍是這連續(xù)39個自然數中的11它們的數字和分別是nn1n2n9n10。這是11個連續(xù)自然數，其中必有一個是11的倍數。所以，龍的長度不可能大于38，即龍的長度最長可以為38（1998年小學數學“我愛數學”夏令營第11題）在如圖所示的28方格表中，第一的8個方格內依次寫著12345678。如果再把12345678當順序分別填入第二行的8個方格內，使得每列兩數之差（大減?。┑?個差數兩兩不同，那么第二12345678【分析】要使8個差兩兩不同，推知這8個差數是0~7，差是0若前三個數是87、67、5、3，后四個數將由12、34、5若差為第四列，則第四數是4，差為1在第六列，則第六個數為5，若差為第五列，則第五數是5，差為1在第四列，則第四個數為31只能填在第七列，第七列的差為62只能填在第六列，第利用列的差為4而第八列填4，第八列的差為4，差重復出現所以前三個數不可能是8、7、6若前三個數是8、7、5，為使第四個數最大，可以填4第八列的差只能是6第八個數是2第六個數只能是3第五個數只能是1第七個數只能是6； （1997年第六屆“金杯”少年數學邀請賽小學組決賽一試第3題）將1，2，3，…，49，任意分成10組，每組510個中位數之和的最【分析】設10個“居中數”從小到大是a1a2a3a9a10a1比第一組中兩個數大，所以a13a2比第二組中兩個數大，又比第一組的前3個數大，所以a26依次類推，a10比第十組中兩個數大，又比前九組中，每一組的前3個數大，所以a10≥30。因此，居中和S≥36 30165。（1（（（13（16（19，20，21，37，38（22，23，24，35，36（25，26，27，33，34；10a10比第十組中兩個數小，所以a1048a9比第九組中兩個數小，又比第十組的后3個數小，所以a945依次類推，a1比第十組中兩個數大，又比后九組中，每一組的前3個數大，所以a1≤21因此，居中和S≤4845 21345例如（12484950（34454647（56424344（（11，12（15（17；1026125212324226最多能表示為3個互不相等的正整數的平方和。問：255能否表【分析】122232425262 1222324252 所以若255255最多可以表示成8因為25520451，考慮用某個平方數m2代替一個小于82的平方數n2m2n2mnmn51317，mn3，m10mn n所以42526282102255（1996年小學數學決賽B卷第4題）10位小學生的平均身高是1.5米。其中有一些低1.5米的，他們的平均身高是1.2米；另一些高于1.5米的平均身高是1.7身高恰好是1.5【分析】用十字交叉法，低于1.5米的小學生與高于1.5米的小學生的人數比為23m 所以低于1.5米的小學生至少有2人，高于1.5米的小學生至少有3人；所以最多有10235位同學的身高恰好是1.5米。有一種商品，買2個要1角錢，買5個要2角錢，買11個要4角錢，和都有整數角錢，的錢最多能買這種商品51個，要是他們的錢合在一起，則最多能買115個這種商品，那么的錢最多能買這種商品個?！痉治觥咳?、的錢數多于4角，應先用4角買11個，當錢數不足4角又多于2角時，應用2角買5個，只有當錢數不足2角時，才用1角買2個，這樣買到的商品就最多5111452，所以的錢數為：442119角11511105，所以與共有：410242角，所以的錢數為421923角234521，所以的錢最多能買這種商品的個數為1155262個一個口袋中放了相同大小的紅黃藍三種顏色的球若干個閉著眼睛從口袋中任意取出7個球7【分析】設紅、黃、藍三種顏色的球的個數分別為a、b、c由于不管怎么取，取出的7ab≤所以任兩種顏色的球的個數之和都不超過6，即bc6ca≤相加得2abc≤18abc9，且當abc3時等號成立，所以口袋中最多可能有9個球。一課一練，一排椅子只有15個座位，部分座位已有人就座來后一看，他無論坐在哪個座位，都將與已就座的人相鄰。問：在之前已就座的最少有幾人？，【分析】將15個座位從左到右每3個一組分成5都將與該組中間座位上的那個人相鄰，所以先坐9人符合條件。如果先坐的人數小于5，那么在剛才的分組中，必定有一組的3個座位上都沒有人，所以在之前已就座的最少有5人知每排均有1919個位子可以分成6組3個相鄰的位子和13個位子的中間一個各坐一個人，11升，小貨車運一趟耗油7升，問：運完這批貨物最少耗 升7654321001357872345012從圖表中可以看出，用大貨車6輛，小貨車1輛，耗油最少，此時耗油73331031再從前3輛各卸下一箱貨放在最后第五輛車上，總重小于313下面說明只有4如把10噸貨平均放在13個箱子中，即每箱10噸，則3103410 所以每輛3箱，4車只能裝上12箱，余下一箱不能運有四袋糖塊，其中任意三袋的總和都超過60塊，那么這四袋糖塊的總和至少有多少塊【分析】最多的一袋糖數不小于另三袋糖的平均數，而另三袋糖的總數超過60塊所以超過60320，即它不小于21塊。從而四袋糖的總和不小于216182另外，當四袋糖的塊數分別為21，21，20，20時，總和恰好為82塊。所以至少有82塊N的各個位上的數字和是1996【分析】19969221LL7N最小為73（2008年初小小學算術大賽初賽第4題）現將0到9這十個數字分成兩部分，每個部分 1，0123，較小的五位數的后四位最大為6還剩下4和5兩個數，所以較大的數是50123，較小的數是49876它們的差為5012349876247從1100中取出若干個數圍成一圈，使得任意兩個相鄰的數字乘積均小于200，則最多可以取出多少【分析】1414196200，所以相鄰的兩個數至少有一個小于14，所以最多取出13226從1 個數中最多能取出多少個數，使得其中任意的兩數都不連續(xù)且差不等于4【分析】為使取出的數盡量多且不連續(xù)，取出的數之間的差應該為2，又要保證差不能等于4則可使相鄰兩數之差以23交替，即取1368，11，13199353983，最多可以取39821797個數將前100個自然數依次無間隔地寫成一個192位數 12LL9899100從中劃去100個字，那么剩下的92【分析】要得到最大的數，左邊應盡量多地保留9。因為1~59中有109個數碼，其中有6個9要想左邊保留6個9，必須劃掉1:59中的1096103所以左邊只能保留5個9，即保留1

49中的5個9，劃掉1

49中其余的8495所以所求最大數是9999978596061LL99100同理，要得到最小的數，左邊第一個數是1，之后應盡量保留0250中有90其中有5個09058515505所以所求最小數是99100已知兩位數ab，滿足ab4ab，滿足此條件的最大兩位數 【分析】由題知ab10ab4(ab，即10ab4a4b，得b2a，由于b最大為8，所以a最大為4ab最大為48。公園里有一排彩旗，按3面黃旗、2面、4面粉旗的順序排列，看到這排旗的盡頭是一面旗。已知這排旗不超過200【分析】旗子排列是9200922LL2，所以最多可以出現2002198面旗子，共2222576【分析】由于插入的是與前面的數碼相同的數碼，只有在7的后面插入7得到的2257764個數，每次取其中兩個相加，和分別是15、18、19212225?！痉治觥吭O這4個數分別為a、b、c、d，不妨設abcd根據題意ab15ac18bd22cd25ad ad由于無法判斷ad和bc的大小，所以可能有bc21或bc19 abc

a或b或c11所以，這四個數中最大的數是13或14從1100中最多可以選擇多少個自然數，使得其中任意兩個數的和都不是3【分析】自然數除以30，121003 1，為使任意兩個數的和都不是3的倍數，最多可以取34