數(shù)學(xué)建模數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)與分析

統(tǒng)計(jì)的基本概念參數(shù)估計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)描述和分析2023/5/261數(shù)學(xué)建模一、統(tǒng)計(jì)量2023/5/262數(shù)學(xué)建模2023/5/263數(shù)學(xué)建模二、分布函數(shù)的近似求法2023/5/264數(shù)學(xué)建模三、幾個(gè)在統(tǒng)計(jì)中常用的概率分布-4-2024600.050.10.150.20.250.30.350.41．正態(tài)分布),(2smN密度函數(shù)：222)(21)(smsp--=xexp分布函數(shù)：dyexFyx222)(21)(smsp--￥-ò=其中m為均值，2s為方差，+￥<<￥-x.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：N（0，1）密度函數(shù)2221)(xex-=pjdyexyx2221)(-￥-ò=Fp，

分布函數(shù)2023/5/265數(shù)學(xué)建模2023/5/266數(shù)學(xué)建模2023/5/267數(shù)學(xué)建模返回F分布F（10，50）的密度函數(shù)曲線2023/5/268數(shù)學(xué)建模參數(shù)估計(jì)2023/5/269數(shù)學(xué)建模一、點(diǎn)估計(jì)的求法(一）矩估計(jì)法2023/5/2610數(shù)學(xué)建模(二）極大似然估計(jì)法2023/5/2611數(shù)學(xué)建模二、區(qū)間估計(jì)的求法2023/5/2612數(shù)學(xué)建模1、已知DX，求EX的置信區(qū)間2．未知方差DX，求EX的置信區(qū)間(一)數(shù)學(xué)期望的置信區(qū)間（二）方差的區(qū)間估計(jì)返回2023/5/2613數(shù)學(xué)建模1.參數(shù)檢驗(yàn)：如果觀測的分布函數(shù)類型已知，這時(shí)構(gòu)造出的統(tǒng)計(jì)量依賴于總體的分布函數(shù)，這種檢驗(yàn)稱為參數(shù)檢驗(yàn).

參數(shù)檢驗(yàn)的目的往往是對總體的參數(shù)及其有關(guān)性質(zhì)作出明確的判斷.

對總體X的分布律或分布參數(shù)作某種假設(shè)，根據(jù)抽取的樣本觀察值，運(yùn)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的分析方法，檢驗(yàn)這種假設(shè)是否正確，從而決定接受假設(shè)或拒絕假設(shè).假設(shè)檢驗(yàn)2.非參數(shù)檢驗(yàn)：如果所檢驗(yàn)的假設(shè)并非是對某個(gè)參數(shù)作出明確的判斷，因而必須要求構(gòu)造出的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布函數(shù)不依賴于觀測值的分布函數(shù)類型，這種檢驗(yàn)叫非參數(shù)檢驗(yàn).

如要求判斷總體分布類型的檢驗(yàn)就是非參數(shù)檢驗(yàn).2023/5/2614數(shù)學(xué)建模假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟是：2023/5/2615數(shù)學(xué)建模（一）單個(gè)正態(tài)總體均值檢驗(yàn)一、參數(shù)檢驗(yàn)2023/5/2616數(shù)學(xué)建模2023/5/2617數(shù)學(xué)建模（二）單個(gè)正態(tài)總體方差檢驗(yàn)2023/5/2618數(shù)學(xué)建模（三）兩個(gè)正態(tài)總體均值檢驗(yàn)2023/5/2619數(shù)學(xué)建模（四）兩個(gè)正態(tài)總體方差檢驗(yàn)2023/5/2620數(shù)學(xué)建模二、非參數(shù)檢驗(yàn)（二）概率紙檢驗(yàn)法概率紙是一種判斷總體分布的簡便工具.使用它們，可以很快地判斷總體分布的類型.概率紙的種類很多.返回2023/5/2621數(shù)學(xué)建模統(tǒng)計(jì)工具箱中的基本統(tǒng)計(jì)命令1.數(shù)據(jù)的錄入、保存和調(diào)用2.基本統(tǒng)計(jì)量3.常見概率分布的函數(shù)4.頻數(shù)直方圖的描繪5.參數(shù)估計(jì)6.假設(shè)檢驗(yàn)7.綜合實(shí)例返回2023/5/2622數(shù)學(xué)建模一、數(shù)據(jù)的錄入、保存和調(diào)用例1

上海市區(qū)社會商品零售總額和全民所有制職工工資總額的數(shù)據(jù)如下統(tǒng)計(jì)工具箱中的基本統(tǒng)計(jì)命令2023/5/2623數(shù)學(xué)建模1、年份數(shù)據(jù)以1為增量，用產(chǎn)生向量的方法輸入。命令格式：x=a:h:bt=78:872、分別以x和y代表變量職工工資總額和商品零售總額。

x=[23.8,27.6,31.6,32.4,33.7,34.9,43.2,52.8,63.8,73.4]y=[41.4,51.8,61.7,67.9,68.7,77.5,95.9,137.4,155.0,175.0]3、將變量t、x、y的數(shù)據(jù)保存在文件data中。

savedatatxy

4、進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，調(diào)用數(shù)據(jù)文件data中的數(shù)據(jù)。

loaddataToMATLAB(txy)方法12023/5/2624數(shù)學(xué)建模1、輸入矩陣：data=[78,79,80,81,82,83,84,85,86,87,88;23.8,27.6,31.6,32.4,33.7,34.9,43.2,52.8,63.8,73.4;41.4,51.8,61.7,67.9,68.7,77.5,95.9,137.4,155.0,175.0]2、將矩陣data的數(shù)據(jù)保存在文件data1中：savedata1data3、進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，先用命令：loaddata1

調(diào)用數(shù)據(jù)文件data1中的數(shù)據(jù)，再用以下命令分別將矩陣data的第一、二、三行的數(shù)據(jù)賦給變量t、x、y：t=data(1,:)x=data(2,:)y=data(3,:)若要調(diào)用矩陣data的第j列的數(shù)據(jù)，可用命令：data(:,j)方法2ToMATLAB(data)返回2023/5/2625數(shù)學(xué)建模二、基本統(tǒng)計(jì)量對隨機(jī)變量x，計(jì)算其基本統(tǒng)計(jì)量的命令如下：均值：mean(x)中位數(shù)：median(x)標(biāo)準(zhǔn)差：std(x)

方差：var(x)偏度：skewness(x)

峰度：kurtosis(x)例對例1中的職工工資總額x，可計(jì)算上述基本統(tǒng)計(jì)量。ToMATLAB(tjl)返回2023/5/2626數(shù)學(xué)建模三、常見概率分布的函數(shù)Matlab工具箱對每一種分布都提供五類函數(shù)，其命令字符為：概率密度：pdf概率分布：cdf逆概率分布：inv均值與方差：stat隨機(jī)數(shù)生成：rnd（當(dāng)需要一種分布的某一類函數(shù)時(shí)，將以上所列的分布命令字符與函數(shù)命令字符接起來，并輸入自變量（可以是標(biāo)量、數(shù)組或矩陣）和參數(shù)即可.）2023/5/2627數(shù)學(xué)建模在Matlab中輸入以下命令：x=-6:0.01:6;y=normpdf(x);z=normpdf(x,0,2);plot(x,y,x,z)1、密度函數(shù)：p=normpdf(x,mu,sigma)(當(dāng)mu=0,sigma=1時(shí)可缺省)ToMATLAB(liti2)如對均值為mu、標(biāo)準(zhǔn)差為sigma的正態(tài)分布，舉例如下：2023/5/2628數(shù)學(xué)建模ToMATLAB(liti3)3、逆概率分布：x=norminv(P,mu,sigma).即求出x，使得P{X<x}=P.此命令可用來求分位數(shù).2、概率分布：P=normcdf(x,mu,sigma)ToMATLAB(liti4)2023/5/2629數(shù)學(xué)建模ToMATLAB(liti5)4、均值與方差：[m,v]=normstat(mu,sigma)例5求正態(tài)分布N(3,52)的均值與方差.

命令為：[m,v]=normstat(3,5)

結(jié)果為：m=3,v=255、隨機(jī)數(shù)生成：normrnd(mu,sigma,m,n).產(chǎn)生mn階的正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)矩陣.例6

命令：M=normrnd([123;456],0.1,2,3)

結(jié)果為：M=0.95672.01252.88543.83345.02886.1191ToMATLAB（liti6）此命令產(chǎn)生了23的正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)矩陣，各數(shù)分別服從N(1,0.12),N(2,22),N(3,32),N(4,0.12),N(5,22),N(6,32)返回2023/5/2630數(shù)學(xué)建模1、給出數(shù)組data的頻數(shù)表的命令為：

[N,X]=hist(data,k)

此命令將區(qū)間[min(data),max(data)]分為k個(gè)小區(qū)間（缺省為10），返回?cái)?shù)組data落在每一個(gè)小區(qū)間的頻數(shù)N和每一個(gè)小區(qū)間的中點(diǎn)X.2、描繪數(shù)組data的頻數(shù)直方圖的命令為：

hist(data,k)四、頻數(shù)直方圖的描繪返回2023/5/2631數(shù)學(xué)建模五、參數(shù)估計(jì)1、正態(tài)總體的參數(shù)估計(jì)設(shè)總體服從正態(tài)分布，則其點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)可同時(shí)由以下命令獲得：

[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(X,alpha)此命令在顯著性水平alpha下估計(jì)數(shù)據(jù)X的參數(shù)（alpha缺省時(shí)設(shè)定為0.05），返回值muhat是X的均值的點(diǎn)估計(jì)值，sigmahat是標(biāo)準(zhǔn)差的點(diǎn)估計(jì)值,muci是均值的區(qū)間估計(jì),sigmaci是標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)間估計(jì).2023/5/2632數(shù)學(xué)建模2、其它分布的參數(shù)估計(jì)有兩種處理辦法:一.取容量充分大的樣本（n>50），按中心極限定理，它近似地服從正態(tài)分布；二.使用Matlab工具箱中具有特定分布總體的估計(jì)命令.（1）[muhat,muci]=expfit(X,alpha)-----

在顯著性水平alpha下，求指數(shù)分布的數(shù)據(jù)X的均值的點(diǎn)估計(jì)及其區(qū)間估計(jì).（2）[lambdahat,lambdaci]=poissfit(X,alpha)-----

在顯著性水平alpha下，求泊松分布的數(shù)據(jù)X

的參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)及其區(qū)間估計(jì).（3）[phat,pci]=weibfit(X,alpha)-----

在顯著性水平alpha下，求Weibull分布的數(shù)據(jù)X

的參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)及其區(qū)間估計(jì).返回2023/5/2633數(shù)學(xué)建模六、假設(shè)檢驗(yàn)在總體服從正態(tài)分布的情況下，可用以下命令進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn).1、總體方差sigma2已知時(shí)，總體均值的檢驗(yàn)使用z-檢驗(yàn)

[h,sig,ci]=ztest(x,m,sigma,alpha,tail)檢驗(yàn)數(shù)據(jù)x的關(guān)于均值的某一假設(shè)是否成立，其中sigma為已知方差，alpha為顯著性水平，究竟檢驗(yàn)什么假設(shè)取決于tail的取值：tail=0，檢驗(yàn)假設(shè)“x的均值等于m”tail=1，檢驗(yàn)假設(shè)“x的均值大于m”tail=-1，檢驗(yàn)假設(shè)“x的均值小于m”tail的缺省值為0，alpha的缺省值為0.05.返回值h為一個(gè)布爾值，h=1表示可以拒絕假設(shè)，h=0表示不可以拒絕假設(shè)，sig為假設(shè)成立的概率，ci為均值的1-alpha置信區(qū)間.2023/5/2634數(shù)學(xué)建模

例7Matlab統(tǒng)計(jì)工具箱中的數(shù)據(jù)文件gas.mat.中提供了美國1993年一月份和二月份的汽油平均價(jià)格（price1,price2分別是一，二月份的油價(jià)，單位為美分），它是容量為20的雙樣本.假設(shè)一月份油價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)偏差是一加侖四分幣（=4），試檢驗(yàn)一月份油價(jià)的均值是否等于115.解作假設(shè)：m=115.首先取出數(shù)據(jù)，用以下命令：

loadgas然后用以下命令檢驗(yàn)

[h,sig,ci]=ztest(price1,115,4)返回：h=0，sig=0.8668，ci=[113.3970116.9030].檢驗(yàn)結(jié)果:1.布爾變量h=0,表示不拒絕零假設(shè).說明提出的假設(shè)均值115

是合理的.2.sig-值為0.8668,遠(yuǎn)超過0.5,不能拒絕零假設(shè)

3.95%的置信區(qū)間為[113.4,116.9],它完全包括115,且精度很高..

ToMATLAB（liti7）2023/5/2635數(shù)學(xué)建模2、總體方差sigma2未知時(shí)，總體均值的檢驗(yàn)使用t-檢驗(yàn)

[h,sig,ci]=ttest(x,m,alpha,tail)檢驗(yàn)數(shù)據(jù)x的關(guān)于均值的某一假設(shè)是否成立，其中alpha為顯著性水平，究竟檢驗(yàn)什么假設(shè)取決于tail的取值：tail=0，檢驗(yàn)假設(shè)“x的均值等于m”tail=1，檢驗(yàn)假設(shè)“x的均值大于m”tail=-1，檢驗(yàn)假設(shè)“x的均值小于m”tail的缺省值為0，alpha的缺省值為0.05.返回值h為一個(gè)布爾值，h=1表示可以拒絕假設(shè)，h=0表示不可以拒絕假設(shè)，sig為假設(shè)成立的概率，ci為均值的1-alpha置信區(qū)間.2023/5/2636數(shù)學(xué)建模返回：h=1，sig=4.9517e-004，ci=[116.8120.2].檢驗(yàn)結(jié)果:1.布爾變量h=1,表示拒絕零假設(shè).說明提出的假設(shè)油價(jià)均值115是不合理的.2.95%的置信區(qū)間為[116.8120.2],它不包括

115,故不能接受假設(shè).3.sig-值為4.9517e-004,遠(yuǎn)小于0.5,不能接受零假設(shè).

ToMATLAB（liti8）例8試檢驗(yàn)例8中二月份油價(jià)Price2的均值是否等于115.解作假設(shè)：m=115，price2為二月份的油價(jià)，不知其方差，故用以下命令檢驗(yàn)[h,sig,ci]=ttest(price2,115)2023/5/2637數(shù)學(xué)建模3、兩總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)使用t-檢驗(yàn)

[h,sig,ci]=ttest2(x,y,alpha,tail)檢驗(yàn)數(shù)據(jù)x，y的關(guān)于均值的某一假設(shè)是否成立，其中alpha為顯著性水平，究竟檢驗(yàn)什么假設(shè)取決于tail的取值：tail=0，檢驗(yàn)假設(shè)“x的均值等于y的均值”tail=1，檢驗(yàn)假設(shè)“x的均值大于y的均值”tail=-1，檢驗(yàn)假設(shè)“x的均值小于y的均值”tail的缺省值為0，alpha的缺省值為0.05.返回值h為一個(gè)布爾值，h=1表示可以拒絕假設(shè)，h=0表示不可以拒絕假設(shè)，sig為假設(shè)成立的概率，ci為與x與y均值差的的1-alpha置信區(qū)間.2023/5/2638數(shù)學(xué)建模返回：h=1，sig=0.0083，ci=[-5.8,-0.9].檢驗(yàn)結(jié)果:1.布爾變量h=1,表示拒絕零假設(shè).說明提出的假設(shè)“油價(jià)均值相同”是不合理的.2.95%的置信區(qū)間為[-5.8,-0.9],說明一月份油價(jià)比二月份油價(jià)約低1至6分.3.sig-值為0.0083,遠(yuǎn)小于0.5,不能接受“油價(jià)均相同”假設(shè).ToMATLAB（liti9）例9試檢驗(yàn)例8中一月份油價(jià)Price1與二月份的油價(jià)Price2均值是否相同.解用以下命令檢驗(yàn)[h,sig,ci]=ttest2(price1,price2)2023/5/2639數(shù)學(xué)建模4、非參數(shù)檢驗(yàn)：總體分布的檢驗(yàn)Matlab工具箱提供了兩個(gè)對總體分布進(jìn)行檢驗(yàn)的命令:（1）h=normplot(x)（2）h=weibplot(x)此命令顯示數(shù)據(jù)矩陣x的正態(tài)概率圖.如果數(shù)據(jù)來自于正態(tài)分布，則圖形顯示出直線性形態(tài).而其它概率分布函數(shù)顯示出曲線形態(tài).此命令顯示數(shù)據(jù)矩陣x的Weibull概率圖.如果數(shù)據(jù)來自于Weibull分布，則圖形將顯示出直線性形態(tài).而其它概率分布函數(shù)將顯示出曲線形態(tài).返回2023/5/2640數(shù)學(xué)建模例10

一道工序用自動化車床連續(xù)加工某種零件，由于刀具損壞等會出現(xiàn)故障.故障是完全隨機(jī)的，并假定生產(chǎn)任一零件時(shí)出現(xiàn)故障機(jī)會均相同.工作人員是通過檢查零件來確定工序是否出現(xiàn)故障的.現(xiàn)積累有100次故障紀(jì)錄，故障出現(xiàn)時(shí)該刀具完成的零件數(shù)如下：

459362624542509584433748815505612452434982640742565706593680926653164487734608428115359384452755251378147438882453886265977585975549697515628954771609402960885610292837473677358638699634555570844166061062484120447654564339280246687539790581621724531512577496468499544645764558378765666763217715310851試觀察該刀具出現(xiàn)故障時(shí)完成的零件數(shù)屬于哪種分布.2023/5/2641數(shù)學(xué)建模解1、數(shù)據(jù)輸入ToMATLAB（liti101）2、作頻數(shù)直方圖hist(x,10)

3、分布的正態(tài)性檢驗(yàn)

normplot(x)4、參數(shù)估計(jì)：

[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(x)（看起來刀具壽命服從正態(tài)分布）（刀具壽命近似服從正態(tài)分布）估計(jì)出該刀具的均值為594，方差204，均值的0.95置信區(qū)間為[553.4962，634.5038]，方差的0.95置信區(qū)間為[179.2276，237.1329].ToMATLAB（liti104）ToMATLAB（liti102）ToMATLAB（liti103）2023/5/2642數(shù)學(xué)建模5、假設(shè)檢驗(yàn)ToMATLAB（liti105）已知刀具的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)在方差未知的情況下，檢驗(yàn)其均值m是否等于594.結(jié)果：