二次函數(shù)的性質

二次函數(shù):y=ax2+bx+c(a0)二次函數(shù)的圖象:一條拋物線拋物線的形狀,大小,開口方向完全由_____來決定.當a的絕對值相等時,其形狀完全相同,當a的絕對值越大,則開口越小,反之成立.0y=0.5x2y=-x2y=-0.5x2a

根據(jù)左邊已畫好的函數(shù)圖象填空：

拋物線y=-2x2的頂點坐標是

,

對稱軸是

，在

側，即x_____0時,y隨著x的增大而增大；在

側，即x_____0時,y隨著x的增大而減小.

當x=

時，函數(shù)y最大值是____.

當x____0時,y<0

(0,0)直線x=0Y軸右Y軸左000y=-2x2<>yx

根據(jù)左邊已畫好的函數(shù)圖象填空：

拋物線y=2x2的頂點坐標是

,

對稱軸是

，在

側，即x_____0時,y隨著x的增大而減少；在

側，即x_____0時,y隨著x的增大而增大.

當x=

時，函數(shù)y最小值是____.

當x____0時,y>0

(0,0)直線x=0Y軸右Y軸左00<>0y=2x2yx二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象和性質１.頂點坐標與對稱軸２.位置與開口方向３.增減性與最值拋物線頂點坐標對稱軸位置開口方向增減性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)由a,b和c的符號確定由a,b和c的符號確定向上向下,y隨著x的增大而減小.,y隨著x的增大而增大.

,y隨著x的增大而增大.,y隨著x的增大而減小.

根據(jù)圖形填表：求二次函數(shù)圖象y=x2-3x+2與x軸的交點A、B的坐標。解：∵A、B在x軸上，∴它們的縱坐標為0，∴令y=0，則x2-3x+2=0

解得：x1=1，x2=2；∴A（1，0），B（2，0）你發(fā)現(xiàn)方程的解x1、x2與A、B的坐標有什么聯(lián)系？x2-3x+2=0結論1：方程x2-3x+2=0的解就是拋物線y=x2-3x+2與x軸的兩個交點的橫坐標。因此，拋物線與一元二次方程是有密切聯(lián)系的。即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根是x1、x2，則拋物線y=ax2+bx+c與軸的兩個交點坐標分別是A（），B（）x1，0x2，0xOABx1x2y(1).每個圖象與x軸有幾個交點？(2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有幾個根?驗證一下一元二次方程x2-2x+2=0有根嗎?(3).二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點的坐標與一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么關系?二次函數(shù)與一元二次方程二次函數(shù)y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的圖象如圖所示.y=x2+2xy=x2-2x+1y=x2-2x+2(3).二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點有三種情況:

①有兩個交點,②有一個交點,③沒有交點.

當二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸有交點時,

交點的橫坐標就是當y=0時自變量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.(3).二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點的坐標與一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么關系?拋物線與X軸的交點個數(shù)能不能用一元二次方程的知識來說明呢？△＞0△=0△＜0OXY(3).二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點的坐標與一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么關系?二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點一元二次方程ax2+bx+c=0的根一元二次方程ax2+bx+c=0根的判別式Δ=b2-4ac有兩個交點有兩個相異的實數(shù)根b2-4ac>0有一個交點有兩個相等的實數(shù)根b2-4ac=0沒有交點沒有實數(shù)根b2-4ac<0例題教學已知函數(shù)⑴寫出函數(shù)圖像的頂點、圖像與坐標軸的交點，以及圖像與y軸的交點關于圖象對稱軸的對稱點。然后畫出函數(shù)圖像的草圖；(2)自變量x在什么范圍內時，y隨著x的增大而增大？何時y隨著x的增大而減少；并求出函數(shù)的最大值或最小值。(-15,0)(1,0)(0,7.5)(-7,32)(-14,7.5).0xyxoyxyo(0,c)(0,c)..y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c..

例２

已知函數(shù)y=x2-2x-3,

（１）寫出函數(shù)圖象的頂點、圖象與坐標軸的交點，以及圖象與y軸的交點關于圖象對稱軸的對稱點。然后畫出函數(shù)圖象的草圖；

(2)求圖象與坐標軸交點構成的三角形的面積：（3）根據(jù)第（１）題的圖象草圖，說出x取哪些值時，①y=0;②y<0;③y>0.課后練習：1、二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，則a、b、c的符號為__________.

yxo2、已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，下列結論：⑴a+b+c﹤0⑵a-b+c﹥0⑶abc﹥0⑷b=2a其中正確的結論的個數(shù)是（）A1個B2個C3個D4個Dx-110y3(1，4)-10xy直線x=1(2,)根據(jù)右邊的圖象,回答下列問題:2.說出這個函數(shù)的增減性.3.若在此圖象上有四點(0,y1),(0.5,y2),(1,y3),(2.5,y4),試比較y1、y2、y3,、y4的大?。?.何時函數(shù)值①大于零?②等于零?③小于零?當-1＜x＜3時,y＞0當x=-1或x=3時,y=0

當x＜-1或x＞3時,y＜0y４＜y１＜y２＜y３仔細觀察剛才兩個函數(shù)的圖象,試著從下表的角度歸納.二次函數(shù)y=ax2+bx+c有以下性質:對稱軸頂點坐標開口方向最值增減性與y軸的交點與x軸的交點直線x=-當a＜0時,開口向下當a＞0時,開口向上當x=-時,y達到最小值,無最大值.當x=-時,y達到最大值,無最小值.一個,坐標為(0，c)當b2-4ac＞0時，有2個交點；當b2-4ac=0時，只有1個交點；當b2-4ac＜

0時，沒有交點。體驗“學數(shù)學”1、如果拋物線y=x2+px+q的頂點坐標是（2，-1），則p=q=2、二次函數(shù)y=x2-４x+3

的對稱軸是3、拋物線y=x2-5x+4與坐標軸的交點個數(shù)為（）（A）0個（B）1個（C）2個（D）3個4、說出下列拋物線與x軸的交點的個數(shù)：⑴y=2x２-x-1⑵y=4x2+4x+1⑶y=3x2+2x+5c體驗“學數(shù)學”5、二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，則a、b、c的符號分別為

yxo嘗試成功：1、已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，下列結論：⑴a+b+c﹤0⑵a-b+c﹥0⑶abc﹥0⑷b=2a其中正確的結論的個數(shù)是（）A1個B2個C3個D4個x2、下列函數(shù)何時有最大值或最小值，并求出最大值或最小值⑴y=2x2-8x-3⑵y=-5x２＋３√２x-43、二次函數(shù)y=x2＋bx+8的圖像頂點在x軸的負半軸上，那么b等于多少？D-110y學習感想：1、你能正確地說出二次函數(shù)的性質嗎？2、你能用“五點法”快速地畫出二次函數(shù)的圖象嗎？你能利用函數(shù)圖象回答有關性質嗎？1,已知拋物線y=ax2經過點(-2,2).

(1)求這條拋物線的解析式.

(2)求出這個二次函數(shù)的最大值或最小值.

(3)在此拋物線上有兩點A(x1,y1),B(x2,y2),且x1>x2>0,試比較y1與y2的大小.2,若函數(shù)y=4x2,的圖像與平行x軸的直線y=1.5交于兩點,求這兩點間的距離.綜合練習3,如圖直線l經過點A(4,0)和B(0,4)兩點,它與二次函數(shù)y=ax2的圖像在第一象限內相交于P點,若△AOP的面積為4.5,求二次函數(shù)的解析式.ABPOxy4,將拋物線y=x2向下平移后,使它的頂點C與它在x軸上的兩個交點A,B組成等邊三角形ABC,求此拋物線的解析式.5,已知二次函數(shù)y=2x2+8mx+2m+3,如果它的圖像的頂點在x軸上,求m的值和頂點坐標.6,已知拋物線y=0.25x2,把它的頂點移到x軸上的點A,所得的拋物線與y軸交于點B,且線段OA,OB滿足關系OA-1=OB,試說明平移方法.練習二：一運動員推鉛球