【知識點(diǎn)解析】配套例題-函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)的單調(diào)性例1（1）f（x）＝x3＋3x；

（2）f（x）＝sinx－x，x∈（0，π）；（3）f（x）＝

．解：（1）因?yàn)閒（x）＝x3＋3x，所以f′（x）＝3x2＋3＝3（x2＋1）＞0．利用導(dǎo)數(shù)判斷下列函數(shù)的單調(diào)性：所以，函數(shù)f（x）＝x3＋3x在R上單調(diào)遞增，如圖所示．函數(shù)的單調(diào)性例1（1）f（x）＝x3＋3x；

（2）f（x）＝sinx－x，x∈（0，π）；（3）f（x）＝

．解：（2）因?yàn)閒（x）＝sinx－x，x∈（0，π），所以f′（x）＝cosx－1＜0．利用導(dǎo)數(shù)判斷下列函數(shù)的單調(diào)性：所以，函數(shù)f（x）＝sinx－x在（0，π）上單調(diào)遞減，如圖所示．函數(shù)的單調(diào)性例1（1）f（x）＝x3＋3x；

（2）f（x）＝sinx－x，x∈（0，π）；（3）f（x）＝

．解：（3）因?yàn)閒（x）＝1－

，x∈（－∞，0）∪（0，＋∞），所以f′（x）＝

＞0．利用導(dǎo)數(shù)判斷下列函數(shù)的單調(diào)性：所以，函數(shù)f（x）＝1－

在區(qū)間（－∞，0）和（0，＋∞）上單調(diào)遞增，如圖所示．函數(shù)的單調(diào)性例2已知導(dǎo)函數(shù)f′（x）的下列信息：當(dāng)1＜x＜4時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x＜1，或x＞4時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x＝1，或x＝4時(shí)，f′（x）＝0．試畫出函數(shù)f（x）圖象的大致形狀．解：當(dāng)1＜x＜4時(shí)，f′（x）＞0，可知f（x）在區(qū)間（1，4）上單調(diào)遞增；當(dāng)x＝1，或x＝4時(shí)，f′（x）＝0，這兩點(diǎn)比較特殊，我們稱它們?yōu)椤芭R界點(diǎn)”．當(dāng)x＜1，或x＞4時(shí)，f′（x）＜0，可知f（x）在區(qū)間（－∞，1）和（4，＋∞）上都單調(diào)遞減；綜上，函數(shù)f（x）圖象的大致形狀如圖所示．函數(shù)的單調(diào)性例3令f′（x）＝0，解得f′（x）＝x2－x－2＝（x＋1）（x－2）．解：函數(shù)f（x）＝

的定義域?yàn)镽．對f（x）求導(dǎo)數(shù)，得x＝－1，或x＝2．x＝－1和x＝2把函數(shù)定義域劃分成三個區(qū)間，f′（x）在各區(qū)間上的正負(fù)，以及f（x）的單調(diào)性如表所示．求函數(shù)f（x）＝

的單調(diào)區(qū)間．函數(shù)的單調(diào)性例3x（－∞，－1）－1（－1，2）2（2，＋∞）f′（x）＋0－0＋f（x）單調(diào)遞增f（－1）＝

單調(diào)遞減f（2）＝

單調(diào)遞增求函數(shù)f（x）＝

的單調(diào)區(qū)間．函數(shù)的單調(diào)性例3所以，f（x）在（－∞，－1）和（2，＋∞）上單調(diào)遞增，在（－1，2）上單調(diào)遞減，如圖所示．如果不用導(dǎo)數(shù)的方法，直接運(yùn)用單調(diào)性的定義，你如何求解本題？運(yùn)算過程麻煩嗎？你有什么體會？求函數(shù)f（x）＝

的單調(diào)區(qū)間．函數(shù)的單調(diào)性例4設(shè)x＞0，f（x）＝lnx，g（x）＝1－

，兩個函數(shù)的圖象如圖所示．判斷f（x），g（x）的圖象與C1，C2之間的對應(yīng)關(guān)系．當(dāng)x＝1時(shí)，f′（x）＝g′（x）＝1；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＞f（x）＞1；當(dāng)x＞1時(shí)，0＜g′（x）＜f′（x）＜1．解：因?yàn)閒（x）＝lnx，g（x）＝1－

，所以f′（x）＝

，g′（x）＝

．所以，f（x），g（x）在（0，＋∞）上都是增函數(shù)．函數(shù)的單調(diào)性例4設(shè)x＞0，f（x）＝lnx，g（x）＝1－

，兩個函數(shù)的圖象如圖所示．判斷f（x），g（x）的圖象與C1，C2之間的對應(yīng)關(guān)系．在區(qū)間（0，1）上，g（x）的圖象比