第06講函數(shù)及其表示（原卷版）

第6講函數(shù)及其表示1．函數(shù)的概念一般地，設(shè)A，B是非空的，如果對于集合A中的一個數(shù)x，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y＝f(x)，x∈A.2．函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的．3．函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有、圖像法和．4．分段函數(shù)(1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．(2)分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù)．分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，值域等于各段函數(shù)的值域的并集．考點1函數(shù)的概念[名師點睛]（1）函數(shù)的定義要求非空數(shù)集A中的任何一個元素在非空數(shù)集B中有且只有一個元素與之對應(yīng)，即可以“多對一”，不能“一對多”，而B中有可能存在與A中元素不對應(yīng)的元素.（2）構(gòu)成函數(shù)的三要素中，定義域和對應(yīng)關(guān)系相同，則值域一定相同[典例]1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列四個圖像中，是函數(shù)圖像的是（

）A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4）2．（2021·湖南·雅禮中學(xué)高三階段練習(xí)）下列各組函數(shù)中，，是同一函數(shù)的是（

）A．，B．，C．，D．，[舉一反三]1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)y=f(x)的圖象與直線的交點個數(shù)（

）A．至少1個 B．至多1個 C．僅有1個 D．有0個、1個或多個2．（2022·天津市西青區(qū)張家窩中學(xué)高三階段練習(xí)）下列各組函數(shù)中，表示同一個函數(shù)的是（

）A．y=x-1和y= B．y=x0和y=1C．f(x)=x2和g(x)=(x+1)2 D．f(x)=和g(x)=3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列各組函數(shù)中，表示同一個函數(shù)的是（

）A．與 B．與C．與 D．與考點2函數(shù)的定義域[名師點睛]1．根據(jù)具體的函數(shù)解析式求定義域的策略已知解析式的函數(shù)，其定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合，求解時只要根據(jù)函數(shù)解析式列出自變量滿足的不等式(組)，得出不等式(組)的解集即可．2．求抽象函數(shù)的定義域的策略(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域為[a，b]，則復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域由不等式a≤g(x)≤b求出；(2)若已知函數(shù)f(g(x))的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a，b]上的值域．3．求函數(shù)定義域應(yīng)注意的問題(1)不要對解析式進行化簡變形，以免定義域發(fā)生變化；(2)定義域是一個集合，要用集合或區(qū)間表示，若用區(qū)間表示數(shù)集，不能用“或”連接，而應(yīng)該用并集符號“∪”連接．4.已知函數(shù)的定義域求參數(shù)問題的解題步驟(1)調(diào)整思維方向，根據(jù)已知函數(shù)，將給出的定義域問題轉(zhuǎn)化為方程或不等式的解集問題；(2)根據(jù)方程或不等式的解集情況確定參數(shù)的取值或范圍．[典例]1．（2022·北京·模擬預(yù)測）函數(shù)的定義域是_______．2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為(－2,0)，則的定義域為（

）A．(－1,0) B．(－2,0) C．(0,1) D．4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．[舉一反三]1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)＋的定義域為（

）A． B．(－∞，3)∪(3，＋∞)C．(3，＋∞) D．(3，＋∞)2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)()的定義域是（

）A． B． C． D．3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（）A． B． C． D．4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）定義域是一個函數(shù)的三要素之一，已知函數(shù)定義域為，則函數(shù)的定義域為（

）A． B．C． D．5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2022·上海市奉賢中學(xué)高三階段練習(xí)）函數(shù)的定義域為___________.7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域是，則的取值范圍是_________．8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為R，則a的范圍是________．考點3函數(shù)解析式[名師點睛]函數(shù)解析式的求法(1)配湊法：由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表達式．(2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù)等)，則可用待定系數(shù)法．(3)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍．(4)聯(lián)立方程組法：已知關(guān)于f(x)與feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)等的表達式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)．[典例]1.(1)已知f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)，則f(x)的解析式為________________．(2)若f(x)為二次函數(shù)且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，則f(x)的解析式為________．(3)已知函數(shù)f(x)滿足2f(x)＋f(－x)＝2x，則f(x)的解析式為________．2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）根據(jù)下列條件，求函數(shù)f(x)的解析式．（1）f(x)是一次函數(shù)，且滿足f(f(x))=4x－3；（2）已知f(x)滿足2f(x)+f()=3x，求f(x)的函數(shù)解析式．（3）已知f(0)＝1，對任意的實數(shù)x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)．[舉一反三]1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則的解析式為（

）A． B．C． D．2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f（x﹣1）＝x2+2x﹣3，則f（x）＝（）A．x2+4x B．x2+4 C．x2+4x﹣6 D．x2﹣4x﹣13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，且，則（

）A． B． C． D．4．（多選）（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是一次函數(shù)，滿足，則的解析式可能為（

）A． B．C． D．5．（2022·山東濟南·二模）已知函數(shù)，則______．6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，且為一次函數(shù)，求_________7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則的解析式為_______8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)f(x)對x≠0的一切實數(shù)都有f(x)＋2f()＝3x，則f(x)＝_________.9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知定義域為R的函數(shù)滿足，則___________.10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）（1）已知是二次函數(shù)且，，求；（2）已知，求.考點4分段函數(shù)[名師點睛]1．分段函數(shù)的求值問題的解題思路(1)求函數(shù)值：當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．(2)求自變量的值：先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗．2．分段函數(shù)與方程、不等式問題的求解思路依據(jù)不同范圍的不同段分類討論求解，最后對討論結(jié)果求并集．[典例]1．（2022·廣東梅州·二模）設(shè)函數(shù)，則（

）A．2 B．6 C．8 D．102．（2022·山東濰坊·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，則（

）A． B． C． D．3．（2022·浙江省江山中學(xué)高三期中）已知，函數(shù)若，則_______.4．（2022·湖南湘潭·三模）已知，且，函數(shù)，若，則___________，的解集為___________.[舉一反三]1．（2022·山東·濟南一中高三階段練習(xí)）已知函數(shù),則（

）A．2 B．9 C．65 D．5132．（2022·重慶八中模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則（

）A． B． C． D．3．（2022·安徽安慶·二模）已知函數(shù)且，則（

）A． B． C． D．4．（2022·福建三明·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則___________.5．（2022·遼寧·建平縣實驗中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則不等