多元函數(shù)微分學(xué)基礎(chǔ)

多元函數(shù)微分學(xué)基礎(chǔ)第一頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六一、二元函數(shù)的定義先看下面的例子.圖6-11例2示意圖第二頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六一般地，二元函數(shù)的定義如下.第三頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六解

對于一元函數(shù)，一般假定在某個(gè)區(qū)間上有定義進(jìn)行討論.對于二元函數(shù)，類似地假定它在某平面區(qū)域內(nèi)有定義進(jìn)行討論.

所謂區(qū)域（平面的）是指一條或幾條曲線圍成具有連通性的平面一部分（見圖6-35），所謂的連通性是指如果一塊部分平面內(nèi)任意兩點(diǎn)可用完全屬于此部分平面的折線連結(jié)起來.第四頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六圖6-12區(qū)域示意

若區(qū)域能延伸到無限遠(yuǎn)處，就稱這區(qū)域是無界的，如圖6-12(c)所示，否則，它總可以被包含在一個(gè)以原點(diǎn)O為中心，而半徑適當(dāng)大的圓內(nèi)，這樣的區(qū)域稱為有界的，如圖6-12(a)、(b)所示，圍成區(qū)域的曲線叫區(qū)域的邊界.第五頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六閉區(qū)域：連同邊界在內(nèi)的區(qū)域的曲線叫區(qū)域的邊界.開區(qū)域：不包括邊界內(nèi)的區(qū)域叫開區(qū)域.第六頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六

為方便使用，將開區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)稱為內(nèi)點(diǎn)，將區(qū)域邊界上的點(diǎn)稱為邊界點(diǎn).第七頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六第八頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六第九頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六第十頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六二、二元函數(shù)的幾何意義第十一頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六圖6-15例6示意圖第十二頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六三、二元函數(shù)的極限和連續(xù)性1.二元函數(shù)的極限

函數(shù)的極限是研究當(dāng)自變量變化時(shí)，函數(shù)的變化趨勢，但是二元函數(shù)的自變量有兩個(gè)，所以自變量的變化過程比一元函數(shù)要復(fù)雜得多.第十三頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六

二元函數(shù)的極限是一元函數(shù)極限的推廣，有關(guān)一元函數(shù)極限的運(yùn)算法則和定理,都可以推廣二元函數(shù)的極限，下面舉例說明.第十四頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六解第十五頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六2.二元函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)稱為函數(shù)的間斷點(diǎn).第十六頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六第十七頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六思考題答案答案答案第十八頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六課堂練習(xí)題答案答案答案第十九頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六第三節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及求法第二十頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六第二十一頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六第二十二頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六解第二十三頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六解證第二十四頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六解第二十五頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六第二十六頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六第二十七頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六例5.

求解法1:在點(diǎn)(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十八頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六例6.

設(shè)證:例7.

求的偏導(dǎo)數(shù).解:求證機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十九頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義:是曲線在點(diǎn)M0處的切線對x

軸的斜率.在點(diǎn)M0處的切線斜率.是曲線機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束對y軸的第三十頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六二、高階偏導(dǎo)數(shù)第三十一頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六第三十二頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六第三十三頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六第三十四頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六*二、全微分在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用應(yīng)用第三節(jié)一元函數(shù)y=f(x)的微分近似計(jì)算估計(jì)誤差本節(jié)內(nèi)容:一、全微分的定義全微分第三十五頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六

第三節(jié)全微分

一、全微分的定義第三十六頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六一、全微分的定義

定義:

如果函數(shù)z=f(x,y)在定義域D

的內(nèi)點(diǎn)(x,y)可表示成其中A,B不依賴于

x,

y,僅與x,y有關(guān)，稱為函數(shù)在點(diǎn)(x,y)的全微分,記作若函數(shù)在域D

內(nèi)各點(diǎn)都可微,則稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微，機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束處全增量則稱此函數(shù)在D

內(nèi)可微.第三十七頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六(2)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)下面兩個(gè)定理給出了可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:(1)函數(shù)可微函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微由微分定義:得函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)可微即第三十八頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六定理1(必要條件)若函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微,則該函數(shù)在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)同樣可證證:由全增量公式必存在,且有得到對x

的偏增量因此有機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十九頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六反例:函數(shù)易知

但因此,函數(shù)在點(diǎn)(0,0)不可微.注意:

定理1的逆定理不成立.偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)不一定可微!即:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六定理2(充分條件)證：若函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)則函數(shù)在該點(diǎn)可微分.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十一頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六推廣:

類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問題.例如,三元函數(shù)習(xí)慣上把自變量的增量用微分表示,的全微分為于是機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十二頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六例1.計(jì)算函數(shù)在點(diǎn)(2,1)處的全微分.解:例2.計(jì)算函數(shù)的全微分.解:

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十三頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六第四十四頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六可知當(dāng)*二、全微分在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用1.近似計(jì)算由全微分定義較小時(shí),及有近似等式:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(可用于近似計(jì)算;誤差分析)(可用于近似計(jì)算)第四十五頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六半徑由20cm增大解:

已知即受壓后圓柱體體積減少了

例4.有一圓柱體受壓后發(fā)生形變,到20.05cm

,則高度由100cm減少到99cm

,體積的近似改變量.

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束求此圓柱體第四十六頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六例5.計(jì)算的近似值.

解:設(shè),則取則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十七頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六內(nèi)容小結(jié)1.微分定義:2.重要關(guān)系:函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十八頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六思考題答案答案答案第四十九頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六課堂練習(xí)題答案答案第五十頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六第四節(jié)一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則本節(jié)內(nèi)容:一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分微分法則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則第五十一頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t定理.

若函數(shù)處偏導(dǎo)連續(xù),在點(diǎn)t可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)證:設(shè)t

取增量△t,則相應(yīng)中間變量且有鏈?zhǔn)椒▌t機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束有增量△u,△v,第五十二頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六(全導(dǎo)數(shù)公式)(△t＜0時(shí),根式前加“–”號)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第五十三頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六推廣:1)中間變量多于兩個(gè)的情形.例如,設(shè)下面所涉及的函數(shù)都可微.2)中間變量是多元函數(shù)的情形.例如,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第五十四頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六又如,當(dāng)它們都具有可微條件時(shí),有注意:這里表示固定y

對x

求導(dǎo),表示固定v

對x

求導(dǎo)口訣:分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)與不同,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第五十五頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六例1.設(shè)解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第五十六頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六例2.解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第五十七頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六例3.設(shè)

求全導(dǎo)數(shù)解:注意：多元抽象復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)在偏微分方程變形與機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束驗(yàn)證解的問題中經(jīng)常遇到,下列兩個(gè)例題有助于掌握這方面問題的求導(dǎo)技巧與常用導(dǎo)數(shù)符號.第五十八頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的求導(dǎo)方法第五十九頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)定理1.

設(shè)函數(shù)則方程單值連續(xù)函數(shù)y=f(x),并有連續(xù)(隱函數(shù)求導(dǎo)公式)定理證明從略，僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下：①具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);的某鄰域內(nèi)可唯一確定一個(gè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)滿足②③滿足條件機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束導(dǎo)數(shù)第六十頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六兩邊對x求導(dǎo)在的某鄰域內(nèi)則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第六十一頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六定理2.若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則方程在點(diǎn)并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)定一個(gè)單值連續(xù)函數(shù)z=f(x,y),定理證明從略,僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下:滿足①在點(diǎn)滿足:②③某一鄰域內(nèi)可唯一確機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第六十二頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六兩邊對x求偏導(dǎo)同樣可得則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第六十三頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六第六十四頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六第六十五頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六例2.設(shè)解法1利用隱函數(shù)求導(dǎo)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第六十六頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六解法2

利用公式設(shè)則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第六十七頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六思考題答案答案答案第六十八頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六課堂練習(xí)題答案答案第六十九頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六第八節(jié)一、多元函數(shù)的極值二、最值應(yīng)用問題三、條件極值機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束多元函數(shù)的極值及其求法第七十頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六一、多元函數(shù)的極值

定義:

若函數(shù)則稱函數(shù)在該點(diǎn)取得極大值(極小值).例如:在點(diǎn)(0,0)有極小值;在點(diǎn)(0,0)有極大值;在點(diǎn)(0,0)無極值.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).的某鄰域內(nèi)有機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第七十一頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六說明:

使偏導(dǎo)數(shù)都為0的點(diǎn)稱為駐點(diǎn)

.例如,定理1(必要條件)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.取得極值,取得極值取得極值

但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).有駐點(diǎn)(0,0),但在該點(diǎn)不取極值.且在該點(diǎn)取得極值,則有存在故機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第七十二頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六時(shí),具有極值定理2

(充分條件)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且令則:1)當(dāng)A<0時(shí)取極大值;A>0時(shí)取極小值.2)當(dāng)3)當(dāng)時(shí),沒有極值.時(shí),不能確定,需另行討論.若函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第七十三頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六第七十四頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六第七十五頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六例2.求函數(shù)解:

第一步求駐點(diǎn).得駐點(diǎn):(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判別.在點(diǎn)(1,0)處為極小值;解方程組的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第七十六頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六在點(diǎn)(3,0)處不是極值;在點(diǎn)(3,2)處為極大值.在點(diǎn)(1,2)處不是極值;機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第七十七頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六二、最值應(yīng)用問題函數(shù)f

在閉域上連續(xù)函數(shù)f

在閉域上可達(dá)到最值

最值可疑點(diǎn)駐點(diǎn)邊界上的最值點(diǎn)特別,當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在,且只有一個(gè)極值點(diǎn)P時(shí),為極小值為最小值(大)(大)依據(jù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第七十八頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六第七十九頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六第八十頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六第八十一頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六第八十二頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六第八十三頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六三、條件極值極值問題無條件極值:條件極值:條件極值的求法:方法1代入法.求一元函數(shù)的無條件極值問題對自變量只有定義域限制對自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如,轉(zhuǎn)化機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第八十四頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六方法2、拉格朗日函數(shù)法第八十五頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六第八十六頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六第八十七頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六第八十八頁，共一百一十五頁，編輯于2023年，星期六解第八十九頁，共一百一十五頁，編輯于2