2019-2020年初中數(shù)學(xué)競賽專題復(fù)習(xí)第二篇平面幾何第16章幾何變換試題新人教版

希望能幫助您，歡迎下載2019-2020年初中數(shù)學(xué)競賽專題復(fù)習(xí)第二篇平面幾何第16章幾何變換試題新人教版16．1．1★設(shè)是邊長為2的正三角形的邊的中點(diǎn)．是邊上的任意一點(diǎn)，求的最小值．A'CPM'AMB解析作正三角形關(guān)于的對稱圖形．是的對稱點(diǎn)，故是的中點(diǎn)．，如圖所示，則PAPMPAPM≥AM.連結(jié)，易知，所以AMAC2CM2437．所以，的最小值是．16．1．2★★已知中，．試在的邊、上分別找出一點(diǎn)、，使最?。馕鲎麝P(guān)于直線的對稱點(diǎn)，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連與、分別交于點(diǎn)、，則、即為所求，如圖所示．A'CPM'AMB事實(shí)上，對于、上的任意點(diǎn)，，BQQPPCBQQPPC．評注因?yàn)椋运骶€段必與線段、相交．16．1．3★★求證：直角三角形的內(nèi)接三角形的周長不小于斜邊上高的兩倍．解析如圖所示，設(shè)在直角三角形中，是斜邊上的高，是它的任一內(nèi)接三角形．BDSPQVEARCUTGF將以為對稱軸反射為，此時反射為，再將以為對稱軸反射為，此時反射為延長交于．可編輯修改希望能幫助您，歡迎下載易知，所以，即，且是兩平行線與之間的距離．所以PQQRRPPQQVVT≥GD2CD.16．1．4★★★在內(nèi)取一點(diǎn)使，．設(shè)，．求.CEMAHB解析本題中為等腰三角形，這就提示我們利用對稱性解題，先作一條對稱軸，作的高與直線交于點(diǎn)由對稱性知，，所以，從而，因?yàn)锳MEMABMBA40，又，所以≌，于是，1AMC所以70．18040216．1．5★★在中，是高，在邊上，已知，，，求的面積．解析作的關(guān)于的對稱圖形，作的關(guān)于的對稱圖形．分別延長和，它們相交于，如圖所示．AMNCBHL易知，且，．所以，四邊形是正方形．設(shè)正方形的邊長為，則，．在直角三角形中，由勾股定理知．．解方程，得，即．所以可編輯修改希望能幫助您，歡迎下載．16．1．6★★★如圖，凸四邊形的四個頂點(diǎn)分別在邊長為的正方形的四條邊上，求證：的周長不小于．解析作正方形關(guān)于的軸對稱圖形，得到正方形，再作正方形關(guān)于的軸對稱圖形，得到正方形，再作正方形關(guān)于的軸對稱圖形，得到正方形，而、、、四點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)如圖所示．ASDPRCQ2B2BQR1P2P1A2P3A1SD11S2R3C3Q3B3顯然，，，故，所以四邊形的周長．即四邊形的周長不小于．16．1．7★★★如圖，和是兩個不全等的等腰直角三角形，，現(xiàn)固定而將繞點(diǎn)在平面上旋轉(zhuǎn)，試證：不論旋轉(zhuǎn)到什么位置，線段上必存在點(diǎn)使力等腰直角三角形．BACA'EMD解析如圖，設(shè)為等腰直角三角形，下面證明點(diǎn)在線段上．作關(guān)于的對稱點(diǎn)，則．因?yàn)?，所以EDMADM45ADB，又．所以又是關(guān)于的對稱點(diǎn)．同理也是關(guān)于的對稱點(diǎn)，因此，，又因，所以．可編輯修改希望能幫助您，歡迎下載即在上（且為的中點(diǎn)）．16．1．8★★★如圖，矩形中，，，若在、上各取一點(diǎn)、，使的值最小，試求出這個最小值．EDACBGQFMPN解析作關(guān)于直線的對稱線段，即、關(guān)于對稱，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，則在上，且有于，于．由對稱變換可知，.欲使最小，必須共線，所以最小值為點(diǎn)到的距離.在中，，，所以，則．AQAB2BQ220245285．又，在在中，12BEAQ12AEBG中，S△ABE，則．從而的最小值為16．16．1．9★★凸四邊形中，，．求證：.DPCEAB解析將沿翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)．因?yàn)?，，所以必定在?nèi)部．延長線交于點(diǎn)，則ABADBEFDBPPDBCCD.16．1．10★★設(shè)表示凸四邊形的面積，證明．BlACDD'解析如圖，作點(diǎn)關(guān)于的垂直平分線的對稱點(diǎn)，顯然與關(guān)于成軸對稱圖形．所以，12ABADsinBAD12BCCDsinBCD.可編輯修改希望能幫助您，歡迎下載16．1．11★★在矩形內(nèi)取一點(diǎn)，使，試求的值．M'ADMBC解析如圖將沿平移至，顯然，．BCMDAMADM所以，由已知條件，即、、、四點(diǎn)共圓，從而DAM．16．1．12★★設(shè)是平行四邊形內(nèi)一點(diǎn)，使得，證明：．APDP'CB解析如圖，把平移至，則，及，，所以．又已知，故，從而、、、四點(diǎn)共圓．于是，又，所以．16．1．13★（1）如圖（a）所示，在梯形中，.已知：，，，求梯形的面積．（2）如圖（b），在梯形中，．是的中點(diǎn)，于．設(shè)，，求梯形的面積．解析（1）將平移到，連結(jié)，則，．所以ADEBCNMADEBFC(b)(a)AEADDEADBC3．．因此．因?yàn)椋?ACCE32．S△ACE所以S梯形ABCD22可編輯修改希望能幫助您，歡迎下載（2）將平移至，如圖（b）所示，過點(diǎn)．由于≌，所以S梯形ABCDS梯形ABFEABMNah．評注本題的兩種添平行線法是解梯形問題的常用方法．16．1．14★★如圖，在四邊形中，，、分別是及中點(diǎn)，的延長線與及的延長線分別交于點(diǎn)、．求證：．GHECDBAFB'(a)解析1如圖（a），將線段平移至．則四邊形為平行四邊形．由于是中點(diǎn)，故、、共線．現(xiàn)在是的中位線，故，所以，．又顯然．故．于是．GHECDMBFA(b)解析2如圖（b），連結(jié)，取中點(diǎn)為，連結(jié)、，則、分別為、的中位線，所以，．故，，且，故，所以．16．1．15★★如圖，，、、均垂直于，垂足為、、，，，，．求的值．可編輯修改希望能幫助您，歡迎下載BAPCEDB1A1P1解析將平移到，在線段上，延長交于，將平移到，在上．因?yàn)?、、均垂直于，所以四邊形和都是矩形．由，，得．又，所以，，．所以≌，，．于是，，．在中，，，也即?6．1．16★★在正三角形的三條邊上，有三條相等的線段、、．證明：直線、、所成的三角形中，三條線段、、與包含它們的邊成比例．CA2A3B3B1B2A1ABC1C2C3解析如圖，將平移到，連結(jié)、、．因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，，故為正三角形，．這樣所得四邊形為平行四邊形，．因此，由、、這三條線段構(gòu)成的三角形與全等，而≌，從而命題得證．16．1．17★★如圖所示，且共點(diǎn)于，AOBBOCCOA60，S△BOCS△COA3．求證：S△AOBQAC'RBOB'PA'C解析將沿方向平移長的距離，得，將沿方向平移長的距離，得．由于，，可編輯修改希望能幫助您，歡迎下載所以．QRRPOCOCCC'2，又因故與重合，且、、三點(diǎn)共線．在正三角形中，．16．1．18★★★如圖，由平行四邊形的頂點(diǎn)引它的高和，已知，，求點(diǎn)到的垂心的距離．BPCH1HaAKD解析令表示的垂心．考慮到，，有．同理有，因而四邊形，為平行四邊形，平移到位置，顯然為上一點(diǎn)，所求線段即，已與位于同一直角三角形中．由于四邊形為矩形，有，于是BHPHPK1KHba2．22216．1．19★★★已知的面積為，、、分別為、、上的點(diǎn)，且，試求以、、為邊的三角形的面積．GCEDAFB解析如圖，過點(diǎn)作平行且等于．連、、，則四邊形為平行四邊形，．CGAFAEAE1，又ABABABCAn1所以≌，，因此.又因，所以．于是四邊形在梯形中，S也為平行四邊形，從而，即為、、所構(gòu)成的三角形，它的面積為．1GCAB1GC1ABAB，梯形GABCSn1所以，而，CGCD1BABCn1n1所以n，S△ABC可編輯修改希望能幫助您，歡迎下載1n11nS因此1Sn1n12．§16.2旋轉(zhuǎn)16．2．1★★對于邊長為1的正內(nèi)任一點(diǎn)．求證：．APCBP'C'解析把繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到．則為正三角形，且，，因而PAPBPCPAPPPC≥AC3．16．2．2★★設(shè)是等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，，，．試求此等邊三角形的邊長．B54P3CAP'解析如圖，把繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，到達(dá)的位置，顯然，，，．PP252AP2，所以．34在中，AP2故22APCAPPPPC9060150.在中，由余弦定理，得AC2AP2PC22APPCcos150．所以，等邊三角形的邊長是．16．2．3★★設(shè)是正三角形內(nèi)一點(diǎn)，已知，，求以線段、、為邊構(gòu)成的三角形的各角．可編輯修改希望能幫助您，歡迎下載BDOAC解析以為旋轉(zhuǎn)中心，將按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至，如圖所示．連結(jié)．由于，，所以是正三角形，故．又，故是以、、為邊構(gòu)成的一個三角形．因此，，從而OCD180655560．所以，以線段、、為邊構(gòu)成的三角形的各角分別為、和．16．2．4★★如圖，兩個正方形與（頂點(diǎn)按順時針方向排列），求證：這兩個正方形的中心以及線段、的中點(diǎn)是某正方形的頂點(diǎn)．CDQKPLARBSM解析設(shè)、分別是正方形、的中心，、分別是線段、的中點(diǎn)，先證是以為斜邊的等腰直角三角形．連結(jié)、，將繞逆時針旋轉(zhuǎn)，則、分別到、位置，所以，．因?yàn)?、分別是、的中點(diǎn)，所以．同理．所以，且．即是以為斜邊的等腰直角三角形．同理可證也是以為斜邊的等腰直角三角形．故、、、是正方形的四個頂點(diǎn)．16．2．5★★正方形內(nèi)有一點(diǎn)，，．，求正方形的面積．P'ADPBC解析將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得．連結(jié)．易知，．于是．2279PD2在中，PP2．所以是直角三角形，從而．PD可編輯修改希望能幫助您，歡迎下載由余弦定理得AD2PA2PD22PAPD．16．2．6★★在正方形的邊和上分別取點(diǎn)和，使得，在線段上取點(diǎn)，使得．證明：是直角．AMBPKDLC解析如圖所示，在邊上取點(diǎn)，使，連結(jié)、、．由于，所以、、、四點(diǎn)共圓，作四邊形的外接圓和矩形的外接圓，因?yàn)檫@兩個外接圓均過、、三點(diǎn)，從而這兩圓是相同的，所以．易知≌.故以正方形的中心為旋轉(zhuǎn)中心，將以逆對針方向旋轉(zhuǎn)，則旋轉(zhuǎn)至，從而．又，故、、三點(diǎn)共線，所以．16．2．7★★★已知凸六邊形中，，，，AAAAAA．求證：135246（1）；（2），，．A2A3A'4A1A6A4A5解析（1）將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使與重合，得到，如圖所示．連結(jié)．因?yàn)?AAA)(AAA)135246，所以．AAA360AAAA412因此4161.可編輯修改希望能幫助您，歡迎下載從而≌，≌，112S2S所以S．△AAAA2A4A6A4A1A2A3A4A5A6246（2）由（AAAAAAAAAAAA41）可知62462412632，所以．同理可證：，．評注本題通過旋轉(zhuǎn)，把、、拼成一個與全等的新三角形.也可以采取向內(nèi)部旋轉(zhuǎn)的方法，把、、放在的內(nèi)部，使之恰好“拼成”．16．2．8★★★如圖所示，、是邊長為1的正方形內(nèi)，求的兩點(diǎn)，使得值．ADADQQPPQ'BCBCQ''(b)(a)解析將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)至，繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)至，連結(jié)、，則≌，≌．又ABQCBQADQCDQ90，所以、、三點(diǎn)共線，且，故，所以．16．2．9★★在中，，點(diǎn)不與重合．求證.解析如圖，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至的位置，使與共線．于是ABACABACPCPB．B'AP'BCP又因?yàn)镻ABPACBAPPACBAC≥120，所以PAP180BAC≤60．故在等腰中，可編輯修改希望能幫助您，歡迎下載．因此PB≤PPPB≤PAPBPAPB，從而.評注此題似乎依賴于圖形，在內(nèi)，事實(shí)上在其他位置照樣成立，方法完全一樣．16．2．10★★★凸四邊形中，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，且（是常數(shù)），求證：．ECNDFMAB解析如圖所示，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得，連，于是E