【2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)】1古典概型與幾何概型

1第二課時(shí)古典概型與幾何概型第十三章概率與統(tǒng)計(jì)1.古典概型（1）具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型.（?。┰囼?yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件①

；（ⅱ）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性②

.（2）古典概型的概率的計(jì)算公式：P（A）=③

.2只有有限個(gè)相等A包含的基本事件的個(gè)數(shù)基本事件的總數(shù)2.幾何概型（1）定義：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的④

，則稱這樣的概率模型為幾何概型.（2）在幾何概型中，事件A的概率的計(jì)算公式：P（A）=⑤——————————————————————————.

3構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積）試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積）長(zhǎng)度（面積或體積）成比例41.從甲、乙、丙三人中任選兩名代表，甲被選中的概率為（

）因?yàn)槿吮贿x中的可能性是相同的，而且基本事件是有限的，故是古典概型.基本事件為“甲、乙”、“甲、丙”、“乙、丙”，故甲被選中的有“甲、乙”，“甲、丙”兩種情形，故故選C.52.同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，則出現(xiàn)兩個(gè)正面朝上的概率是

.3.在區(qū)間（0,1）中隨機(jī)地取出兩個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和小于的概率是

.64.向邊長(zhǎng)為1的正方形內(nèi)隨機(jī)投一粒豆子，則豆子到正方形的頂點(diǎn)A的距離不大于的概率是（）此概率為面積之比，

故選D.7D5.在區(qū)間（15，25］內(nèi)的所有實(shí)數(shù)中隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)a，則這個(gè)實(shí)數(shù)滿足17＜a＜20的概率是（）8C1.古典概型的特征及概率的計(jì)算袋中有3只白球和a只黑球，若從中任取1只球是白球的概率為，則a=①

.2.幾何概型的特征及概率的計(jì)算某人欲從某車站乘車出差，已知該站發(fā)往各站的客車均為每小時(shí)一班，則此人等車時(shí)間不多于10分鐘的概率是②

.96

3.隨機(jī)數(shù)與幾何概型用橡皮泥做成一個(gè)直徑為6cm的小球，假設(shè)橡皮泥中混入了一個(gè)很小的砂粒，則這個(gè)砂粒距離球心不小于1cm的概率是（③

）10D

1.依題意，袋中共有（3+a）只球，每個(gè)球被取到的可能性相同，是古典概型.基本事件總數(shù)是（3+a），而取出的是白球的基本事件數(shù)為3，故

所以a=6.2.設(shè)事件A={等車的時(shí)間不多于10分鐘}，則事件A恰好是到站等車的時(shí)刻位于［50，60）這個(gè)時(shí)間段內(nèi).因此，由幾何概型的概率公式得1112有100張外形完全一樣且已編號(hào)的卡片（從1號(hào)到100號(hào)），從中任取一張，計(jì)算：（1）卡片編號(hào)是偶數(shù)的概率；（2）卡片編號(hào)是13的倍數(shù)的概率；（3）卡片編號(hào)是質(zhì)數(shù)的概率.題型1：古典概型的概率求法基本事件總數(shù)為n=100.（1）事件“取出的卡片編號(hào)是偶數(shù)”所含基本事件：2，4，6，…，100，共50個(gè)，故卡片編號(hào)是偶數(shù)的概率為（2）事件“取出的卡片編號(hào)是13的倍數(shù)”所含基本事件：13，13×2，…，13×7，共有7個(gè)，故卡片編號(hào)是13的倍數(shù)的概率為13（3）事件“取出的卡片編號(hào)是質(zhì)數(shù)”所含基本事件：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，共25個(gè)，故所求概率為【評(píng)注】解決古典概型問題的關(guān)鍵是首先明確基本事件是什么，然后再分清基本事件總數(shù)n與所研究事件A包含的基本事件數(shù)m，再運(yùn)用公式

求解即可.14箱子中裝有十張卡片，卡片上分別寫有1到10的十個(gè)整數(shù).從箱子中任意取出一張卡片，記下它的讀數(shù)x，然后再放回箱子中；第二次從箱子中任意取出一張卡片，記下它的讀數(shù)y.每張卡片每一次被取出的機(jī)會(huì)是等可能的.求x+y是10的倍數(shù)的概率.15

先后兩次抽取卡片，每次都有1~10這十種結(jié)果，故形式是有序?qū)崝?shù)對(duì)（x,y），共有10×10=100個(gè).因?yàn)閤+y是10的倍數(shù)，故包含10個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)：（1，9）、（2，8）、（3，7）、（4，6）、（5，5）、（6，4）、（7，3）、（8，2）、（9，1）、（10，10）.故x+y是10的倍數(shù)的概率為16設(shè)有關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.若a是從區(qū)間［0,3］任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間［0,2］任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率.17

題型2：幾何概型的概率求法設(shè)事件A為“方程x2+2ax+b2=0有實(shí)根”.當(dāng)a>0，b>0時(shí)，方程x2+2ax+b2=0有實(shí)根的充要條件為a≥b.試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧（a,b）|0≤a≤3,0≤b≤2}.構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)閧（a,b）|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}.所以所求的概率為18【評(píng)注】幾何概型的解題關(guān)鍵是找出正確的幾何度量，如本例的幾何度量是面積.19在圓心角為90°的扇形中，以圓心O為起點(diǎn)作射線OC，求使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率.

如圖，設(shè)事件A是“作射線OC，使∠AOC和∠BOC都不小于30°”.由幾何概型的概率計(jì)算公式得201.古典概型的特征是試驗(yàn)的結(jié)果為有限個(gè)，每個(gè)試驗(yàn)出現(xiàn)的結(jié)果是等可能的，所以找出基本事件（所有結(jié)果）數(shù)，以及所求基本事件數(shù)是解題的關(guān)鍵.2.幾何概型的幾何度量主要包括長(zhǎng)度、角度、面積、體積等.例：有一個(gè)半徑為4的圓，現(xiàn)將一枚直徑為2的硬幣投向其中（硬幣完全落在圓外的不計(jì)），則硬幣完全落入圓內(nèi)的概率是

.21欲使硬幣與圓有交點(diǎn)，則硬幣的圓心到圓的圓心距離小于或等于兩半徑之和5，而硬幣完全落入圓內(nèi)，只需硬幣的圓心到圓的圓心距離小于或等于兩半徑之差3，所以所求概率為.注意：本題學(xué)生極易犯以面積為幾何度量的錯(cuò)誤.221.（2009·山東卷）在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，cosx的值介于0到之間的概率為（）23在區(qū)間

上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,即x∈時(shí),要使cosx的值介于0到

之間,需使區(qū)間長(zhǎng)度為.由幾何概型知cosx的值介于0到

之間的概率為答案：A242.（2009·遼寧卷）ABCD為長(zhǎng)方形，AB=2,BC=1,O為AB的中點(diǎn).在長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，取到的點(diǎn)到O的距離大于1的概率為（）25長(zhǎng)方形ABCD的面積為2×1=2，即試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的面積為2.符合題意的點(diǎn)在以O(shè)為圓心，1為半徑的半圓外部，該半圓的面積為故所求概率為答案：B263.（2009·浙江卷）有20張卡片，每張卡片上分別標(biāo)有兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)k，k+1，其中k=0,1,2,…，19.從這20張卡片中任取一張，記事件“該卡片上兩個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和（例如：若取到標(biāo)有9，10的卡片，則卡片上兩個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和為9+1+0=10）不小于14”為A，則P（A）=

.2720張卡片上的號(hào)碼依次為0，1；1，2；2，3；3，4；4，5；5，6；6，7；7，8；8，9；9，10；10，11；11，12；12，13；13，14；14，15；15，16；16，