【2022屆新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)全案】《定積分與微積分基本定理》

1．求曲邊梯形面積的思想方法和步驟

；實(shí)施步驟：

．在每個(gè)局部小范圍內(nèi)“以直代曲”(化歸為計(jì)算矩形面積)和逼近的思想方法①分割；②近似代替；③求和；④取極限2．定積分的定義如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上圖象是連續(xù)曲線，用分點(diǎn)a＝x0＜x1＜x2＜…＜xi－1＜xi＜…＜xn＝b將區(qū)間[a，b]均分成n個(gè)小區(qū)間．在每個(gè)小區(qū)間[xi－1，xi]上任取一點(diǎn)ξi(i＝1,2，…，n)作和式

，定積分F′(x)＝f(x)[答案]

D2．用力把彈簧從平衡位置拉長(zhǎng)10cm，此時(shí)用的力是200N，變力F做的功W為(

)A．5J B．10JC．20J D．40J[解析]

設(shè)F(x)＝kx，則200＝k·0.1∴k＝2000，∴W＝∫20.12000xdx＝1000x2|00.1＝10(J)．[答案]

B[答案]

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求由y＝x3，x＝2，y＝0所圍成的區(qū)域的面積．[點(diǎn)評(píng)與警示]

用定義求定積分的步驟：①分割，②近似代替，③作和，④求極限，其中關(guān)鍵是第二步近似代替，近似值替代方式不同計(jì)算繁簡(jiǎn)也不同．學(xué)習(xí)這個(gè)例題，重點(diǎn)在于體驗(yàn)其中的數(shù)學(xué)思想．[分析]

利用微積分基本定理和定積分的性質(zhì)求定積分．[點(diǎn)評(píng)與警示]

利用微積分基本定理求積分，關(guān)健是求出函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)，由此可見(jiàn)，求導(dǎo)運(yùn)算與求原函數(shù)運(yùn)算互為逆運(yùn)算．計(jì)算下列定積分[答案]

A[點(diǎn)評(píng)與警示]

利用定積分求面積，應(yīng)先畫(huà)草圖，求曲線的交點(diǎn)，確定被積函數(shù)和積分上限、積分下限．設(shè)y＝f(x)是二次函數(shù)，方程f(x)＝0有兩個(gè)相等的實(shí)根，且f′(x)＝2x＋2.(1)求y＝f(x)的表達(dá)式；(2)求y＝f(x)的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積．[解]

(1)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c，(a≠0)，則f′(x)＝2ax＋b，又f′(x)＝2x＋2所以a＝1，b＝2.∴f(x)＝x2＋2x＋c.又方程f(x)＝0有兩個(gè)相等實(shí)根，即x2＋2x＋c＝0有兩個(gè)相等實(shí)根，而Δ＝4－4c＝0，c＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1. (人教A版選修2－2習(xí)題1.7第4題)物體A以速度v＝3t2＋1(t的單位：s，V的單位：m/s)在直線上運(yùn)動(dòng)，在此直線上與物體A出發(fā)的同時(shí)，物體B在物體A的正前方5m處以v＝10t(t的單位：s，V的單位：m/s)的速度運(yùn)動(dòng)，兩物體何時(shí)相遇？相遇地與物體A的出發(fā)地的距離是多少？[分析]

變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過(guò)的路程等于其速度函數(shù)v＝v(t)

(v(t)≥0)，在時(shí)間區(qū)間[a，b]上的定積分．[點(diǎn)評(píng)與警示]

正確地寫(xiě)出速度函數(shù)與時(shí)間區(qū)間是解題關(guān)鍵．一物體按規(guī)律x＝bt3作直線運(yùn)動(dòng)，式中x為時(shí)間t內(nèi)通過(guò)的路程，如果物體阻力與速度的平方成正比，試求物體由x＝0運(yùn)動(dòng)到x＝a時(shí)，阻力所做的功．[解]

物體的速度v＝(bt3)′＝3bt2，物體的阻力F阻＝kv2＝k(3bt2)2＝9kb2t4，(其中k為比例常數(shù)k>0