【人教數(shù)學(xué)A版-】《離散型隨機(jī)變量的均值》

2.3離散型隨機(jī)變量的均值與方差-1-2．3.1離散型隨機(jī)變量的均值-1--1-1．通過(guò)實(shí)例理解離散型隨機(jī)變量均值的概念，能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值．2．理解離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)．3．掌握兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布的均值．4．會(huì)利用離散型隨機(jī)變量的均值，反映離散型隨機(jī)變量取值水平，解決一些相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.-1-1．離散型隨機(jī)變量均值的概念與計(jì)算方法．(重點(diǎn))2．離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)及應(yīng)用．(重點(diǎn)、難點(diǎn))3．兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值．(易混點(diǎn))-1--1-某書(shū)店訂購(gòu)一新版圖書(shū)，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)預(yù)測(cè)，這種新書(shū)的銷(xiāo)售量為40,100,120本的概率分別為0.2,0.7,0.1，這種書(shū)每本的進(jìn)價(jià)為6元，銷(xiāo)售價(jià)為8元，如果售不出去，以后處理剩余書(shū)時(shí)每本為5元．試用盈利決定書(shū)店應(yīng)訂購(gòu)多少本新書(shū)？-1-1．離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望(1)定義：若離散型隨機(jī)變量X的分布列為：-1-Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則稱(chēng)E(X)＝

為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望．(2)意義：它反映了離散型隨機(jī)變量取值的

．(3)性質(zhì)：如果X為(離散型)隨機(jī)變量，則Y＝aX＋b(其中a，b為常數(shù))也是隨機(jī)變量，且

＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n.E(Y)＝

＝

.-1-x1p1＋x2p2＋…＋xnpn平均水平P(Y＝ax＋b)E(ax＋b)aEx＋b2．兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值-1-XX服從兩點(diǎn)分布X～B(n，p)E(X)p(p為成功概率)np1．若隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，已知E(X)＝1.6，則a－b＝(

)A.0.2

B．0.1C．－0.2 D．－0.4-1-X0123P0.1ab0.1解析：

由題意知，a＋b＝0.8，且E(X)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6.即a＋b＝0.8，且a＋2b＝1.3，∴a＝0.3，b＝0.5，a－b＝－0.2.答案：

C-1--1-答案：

D

-1-3．已知ξ的分布列為-1-4.如圖所示，A，B兩點(diǎn)之間有6條并聯(lián)網(wǎng)線(xiàn)，它們能通過(guò)的最大信息量分別為1,1,2,2,3,4，現(xiàn)從中取三條網(wǎng)線(xiàn)．(1)設(shè)從A到B可通過(guò)的信息總量為x，當(dāng)x≥6時(shí)，可保證使網(wǎng)線(xiàn)通過(guò)最大信息量信息暢通，求線(xiàn)路信息暢通的概率；(2)求通過(guò)的信息總量的數(shù)學(xué)期望．-1--1--1--1--1-(2011·重慶高考)某市公租房的房源位于A(yíng)、B、C三個(gè)片區(qū)．設(shè)每位申請(qǐng)人只申請(qǐng)其中一個(gè)片區(qū)的房源，且申請(qǐng)其中任一個(gè)片區(qū)的房源是等可能的．求該市的任4位申請(qǐng)人中：(1)恰有2人申請(qǐng)A片區(qū)房源的概率；(2)申請(qǐng)的房源所在片區(qū)的個(gè)數(shù)ξ的分布列與期望．-1--1--1--1-綜上知，ξ有分布列-1-

某學(xué)校為調(diào)查高一年級(jí)學(xué)生每天晚自習(xí)自主支配學(xué)習(xí)時(shí)間(指除了完成老師布置的作用后學(xué)生根據(jù)自己的需要進(jìn)行學(xué)習(xí)的時(shí)間)情況，學(xué)校采用隨機(jī)抽樣的方法從高一學(xué)生中抽取了50名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查．問(wèn)卷調(diào)查完成后，學(xué)校從學(xué)生每天晚自習(xí)自主支配學(xué)習(xí)時(shí)間在[20,30)和[30,40)分鐘的學(xué)生中分別抽取3人和4人，共7名學(xué)生進(jìn)行座談，了解各學(xué)科的作業(yè)布置情況，并從這7人中隨機(jī)抽取2名學(xué)生聘為學(xué)情調(diào)查聯(lián)系人，設(shè)[20,30)分鐘的學(xué)生被聘的人數(shù)為x，求x的分布列與數(shù)學(xué)期望．-1--1--1--1-[題后感悟]求離散型隨機(jī)變量ξ的均值步驟：其中第一、二兩條是解答此類(lèi)題目的關(guān)鍵，在求解過(guò)程中應(yīng)注重分析概率的相關(guān)知識(shí)．-1-1.某工廠(chǎng)為檢驗(yàn)產(chǎn)品質(zhì)量，從第一天生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取5件作為甲組樣品，從第二天生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10件作為乙組樣品．經(jīng)檢驗(yàn)兩組樣品中均有2件次品，其他均為正品．現(xiàn)采用分層抽樣從甲、乙兩組樣品中共抽取3件作為標(biāo)本進(jìn)行詳細(xì)的技術(shù)分析．設(shè)抽取的標(biāo)本中次品件數(shù)為ξ，求ξ的分布列和期望Eξ.-1--1--1-∴ξ的分布列為-1-

已知隨機(jī)變量X的分布列如下：-1--1--1--1-[題后感悟]求均值的關(guān)鍵是求出分布列，只要求出了隨機(jī)變量的分布列，就可以套用均值的公式求解，對(duì)于aX＋b型隨機(jī)變量的均值，可以利用E(aX＋b)＝aEX＋b求解，當(dāng)然也可以先求出aX＋b的分布列，再用定義求解．-1-2.已知X的概率分布列為-1--1-(2011·大綱全國(guó)卷)根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，某地車(chē)主購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)的概率為0.5，購(gòu)買(mǎi)乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)的概率為0.3，設(shè)各車(chē)主購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)相互獨(dú)立．(1)求該地1位車(chē)主至少購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種的概率；(2)X表示該地的100位車(chē)主中，甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買(mǎi)的車(chē)主數(shù)，求X的期望．-1-解析：

設(shè)A表示事件：該地的1位車(chē)主購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)；B表示事件：該地的1位車(chē)主購(gòu)買(mǎi)乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)；C表示事件：該地的1位車(chē)主至少購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種；D表示事件：該地的1位車(chē)主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買(mǎi)．(1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B，P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.-1--1-

某運(yùn)動(dòng)員投籃命中率為p＝0.6.(1)求投籃1次時(shí)命中次數(shù)ξ的期望；(2)求重復(fù)5次投籃時(shí)，命中次數(shù)η的期望．-1-[解題過(guò)程]

(1)投籃1次，命中次數(shù)ξ的分布列如下表：則E(ξ)＝p＝0.6.(2)由題意，重復(fù)5次投籃，命中的次數(shù)η服從二項(xiàng)分布，即η～B(5,0.6)．則E(η)＝np＝5×0.6＝3.-1-ξ01P0.40.6[題后感悟]此類(lèi)題的解法一般分兩步，一是先判斷隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布還是二項(xiàng)分布；二是代入兩點(diǎn)分布或二項(xiàng)分布的均值公式計(jì)算均值．-1--1--1-(2011·課標(biāo)全國(guó)卷)某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品．現(xiàn)用兩種新配方(分別稱(chēng)為A配方和B配方)做試驗(yàn)，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測(cè)量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到下面試驗(yàn)結(jié)果．-1-A配方的頻數(shù)分布表-1-指標(biāo)值分組[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]頻數(shù)82042228B配方的頻數(shù)分布表-1-指標(biāo)值分組[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]頻數(shù)412423210-1-從用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，其利潤(rùn)記為X(單位：元)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．(以試驗(yàn)結(jié)果中質(zhì)量指標(biāo)值落入各組的頻率作為一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落入相應(yīng)組的概率)解析：

(1)由試驗(yàn)結(jié)果知，用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為＝0.3，所以用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為0.3.-1--1-X－224P0.040.540.42

隨機(jī)抽取某廠(chǎng)的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤(rùn)分別為6萬(wàn)元、2萬(wàn)元、1萬(wàn)元，而1件次品虧損2萬(wàn)元，設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(rùn)(單位：萬(wàn)元)為ξ.(1)求ξ的分布列；(2)求1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)(即ξ的數(shù)學(xué)期望)；(3)經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個(gè)等級(jí)的產(chǎn)品，但次品率降為1%，一等品率提高為70%.如果此時(shí)要求1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)不小于4.73萬(wàn)元，則三等品率最多是多少？-1--1--1-ξ621－2P0.630.250.10.02…………4分(2)E(ξ)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34………………………8分(3)設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為x，則此時(shí)1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為E(x)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)………10分依題意，E(x)≥4.73，即4.76－x≥4.73.解得x≤0.03，所以三等品率最多為3%.………………12分-1-[題后感悟]解答此類(lèi)題目，應(yīng)首先把實(shí)際問(wèn)題概率模型化，然后利用有關(guān)概率的知識(shí)去分析相應(yīng)各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用有關(guān)的公式求出相應(yīng)的概率及數(shù)學(xué)期望．-1-4.某城市出租汽車(chē)的起步價(jià)為10元，行駛路不超出4km時(shí)租車(chē)費(fèi)為10元，若行駛路程超出4km，則按每超出1km加收2元計(jì)費(fèi)(超出不足1km的部分按1km計(jì))．從這個(gè)城市的民航機(jī)場(chǎng)到某賓館的路程為15km.某司機(jī)經(jīng)常駕車(chē)在機(jī)場(chǎng)與此賓館之間接送旅客，由于行車(chē)路線(xiàn)的不同以及途中停車(chē)時(shí)間要轉(zhuǎn)換成行車(chē)路程(這個(gè)城市規(guī)定，每停車(chē)5分鐘按1km路程計(jì)費(fèi)，不足5分鐘的部分不計(jì)費(fèi))，這個(gè)司機(jī)一次接送旅客的轉(zhuǎn)換后的行車(chē)路程ξ是一個(gè)隨機(jī)變量．設(shè)他所收租車(chē)費(fèi)為η.-1-(1)求租車(chē)費(fèi)η關(guān)于行車(chē)路程ξ的關(guān)系式；(2)若隨機(jī)變量ξ的分布列為求所收租車(chē)費(fèi)η的數(shù)學(xué)期望．(3)已知某旅客實(shí)付租車(chē)費(fèi)38元，而出租汽車(chē)實(shí)際行駛了15km，問(wèn)出租車(chē)在途中因故停車(chē)?yán)塾?jì)多長(zhǎng)時(shí)間？-1-ξ15161718P0.10.50.30.1解析：

(1)依題意得η＝2(ξ－4)＋10，即η＝2ξ＋2，ξ≥15，ξ∈N；(2)E(ξ)＝15×0.1＋16×0.5＋17×0.3＋18×0.1＝16.4.∵η＝2ξ＋2，∴E(η)＝E(2ξ＋2)＝2E(ξ)＋2＝34.8(元)，故所收租車(chē)費(fèi)η的數(shù)學(xué)期望為34.8元．

-1-(3)由38＝2ξ＋2，解得ξ＝18，故停車(chē)時(shí)間t轉(zhuǎn)換的行車(chē)路程為18－15＝3km，∴3×5＜t＜4×5，即出租車(chē)在途中因故停車(chē)?yán)塾?jì)時(shí)間t∈(15,20)．-1-1．如何理解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望？舉例說(shuō)明：在一次商業(yè)活動(dòng)中，某人獲利300元的概率為0.6，虧損100元的概率為0.4，求此人在這樣一次商業(yè)活動(dòng)中獲利的數(shù)學(xué)期望．由定義知E(X)＝300×0.6＋(－100)×0.4＝140(元)．這表明此人有希望獲利140元，但注意：對(duì)于一次商業(yè)活動(dòng)，此人不是賺300元，就是虧損100元，但如果他重復(fù)從事這類(lèi)商業(yè)活動(dòng)，那么，從平均意義上說(shuō)，每次可獲利的加權(quán)平均值為這個(gè)數(shù)學(xué)期望值，正如概率作為隨機(jī)事件發(fā)生的頻率一樣，要在大量現(xiàn)象中才能顯現(xiàn)出來(lái)．[提醒]

隨機(jī)變量的均值與隨機(jī)變量本身具有相同的單位．-1-2．隨機(jī)變量的均值與分布列有什么關(guān)系？(1)均值這一概念是建立在分布列的基礎(chǔ)之上的，分布列中隨機(jī)變量X的一切可能值xi與對(duì)應(yīng)的概率P(X＝xi)乘積的和就是隨機(jī)變量X的均值．(2)離散型隨機(jī)變量的分布