數(shù)學(xué)思維導(dǎo)圖

勾股定理一、思維導(dǎo)圖二、易錯題1、滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù)，稱為＿＿＿，比如：5,12,＿＿＿。解：勾股數(shù)；√52+122=132、在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，則△ABC的周長是＿＿＿。解：應(yīng)分兩種情況說明：

（1）當(dāng)△ABC為銳角三角形時，在Rt△ABD中，BD=√（AB2-AD2）=√（152-122）=9，

在Rt△ACD中，CD=√（AC2-AD2）=√（132-122）=5，∴BC=5+9=14

∴△ABC的周長為：15+13+14=42；

（2）當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，高AD交BC延長線于D

在Rt△ABD中，BD=√（AB2-AD2）=√（152-122）=9．

在Rt△ACD中，CD=√（AC2-AD2）=√（132-122）=5

∴BC=9-5=4∴△ABC的周長為：15+13+4=32

綜上，當(dāng)△ABC為銳角三角形時，△ABC的周長為42；當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，△ABC的周長為32．3、在一個圓柱形燈罩側(cè)面上纏繞彩帶，如圖（燈罩的俯視圖），已知燈罩高108cm，底面周長為36cm，如果在燈罩側(cè)面纏繞彩帶4圈，最少需要彩紙多長？那么繞n圈呢？解：（1）∵纏繞燈罩4圈，且高108cm∴一圈高：108÷4=27cm∴一圈彩帶長：√272+√362=45cm∴四圈彩帶總長：45×4=180cm（2）∵繞n圈，且高108cm∴一圈高：108÷n（cm）∴一圈彩帶長：√（108÷n）2+362∴彩帶總長：n×√（108÷n）2+362=36×√n2+94、在正方形ABCD中，E是BC中點，F(xiàn)為CD上一點，且DF=3CF，判斷AE和EF的位置關(guān)系。證：連AF。設(shè)DF=3x，CF=x∴AD=AB=DC=BC=x+3x=4x∴BE=EC=2x∵∠B=∠C=∠D=90°∴AE2=（2x）2+（4x）2=20x2EF2=x2+（2x）2=5x2AF2=（3x）2+（4x）2=252∴AE2+EF2=AF2∴AE⊥EF5、如圖，在△ABC中，∠B=90°，兩直角邊AB=7，BC=24，在三角形內(nèi)有一點P，使P到各邊距離相等。與AC，CB，AB的交點為G，F(xiàn)，E。則這個距離為＿＿＿。解：∵∠B=90°∴AC=√AB2+BC2=√72+242=25連CP，PA，BP，設(shè)GA=x，則EA=xBE=7-x=EB，CF=CG=17+x∴17+x+x=25x=4∴這個距離為7-4=36、在△ABC中，∠B=22.5°，∠C=60°，AB的垂直平分線交BC于D，BD2=72，AE⊥BC于E，求EC2。解：∵AB的中垂線為FD∴∠B=22.5°=∠BAD，∴∠ADC=45°，∴DE=EABD2=AD2=72，∵AE⊥DC，∴AE2+DE2=72∴AE2=DE2=36∵∠C=60°，∴∠EAC=30°設(shè)EC2=x2，則AC2=(2EC)2=4x2X2+36=4x2X2=12∴EC2=127、正方形ABCD的邊長為8，M在AB上，BM=2，對角線AC上有一動點P，求PM+PB的最小值。解：連接MD。做M關(guān)于AC的對稱點E交AD于E?！進(jìn)B=2∴ED=2最小值為BE?！摺螦=90°∴BE=√（8-2）2+82=10∴PM+PB最小值為108、一個梯子AB長2.5m，頂端A靠在墻AC上。這時梯子下端B與墻角C距離為1.5m，梯子向右水平滑動0.5m停在DE位置上，求梯子頂端A向下滑動了多少米？解∵∠C=90°，

∴AB2=AC2+BC2，DE2=EC2+CD2

∴2.52=AC2+1.52，2.52=EC2+（1.5+0.5）2，∴AC=2m，EC=1.5m，∴AE=AC-EC=2-1.5=0.5（m），9、將一根長24cm的筷子置于底面直徑5cm，高12cm的圓柱形水杯中。設(shè)筷子露在杯子外的長度為h（cm），則h的取值范圍是＿＿＿。解：當(dāng)筷子與杯底垂直時h最大，h最大=24-12=12cm．

當(dāng)筷子與杯底及杯高構(gòu)成直角三角形時h最小，此時，杯內(nèi)筷子長=√52+122=13cm

∴h=24-13=11cm．

∴h的取值范圍是11cm≤h≤12cm10、一張矩形紙片ABCD的長AD=9cm，寬AB=3cm，折疊后，使得點D與點B重合，C與G重合，求折疊后BE的長和折痕EF的長。解：∵折疊后D與B重合∴ED=BECF=CG，AB=DC=3cm②積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：QUOTE錯誤!未找到引用源。(a≥0，b≥0)兩個非負(fù)數(shù)的積的算術(shù)平方根，等于這兩個因數(shù)的算術(shù)平方根的乘積．③二次根式的除法法則：QUOTE錯誤!未找到引用源。=QUOTE錯誤!未找到引用源。(a≥0，b＞0)兩個二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變．④商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：QUOTE錯誤!未找到引用源。=QUOTE錯誤!未找到引用源。(a≥0，b＞0)二、易錯題1.已知：y=x－+2，求－.解：∵x－2≥0,2－x≥0∴x=2,y=×2－0+0=1將x=2，y=1代入所求式，得原式==3-3=02、下列說法：①只有正數(shù)才有平方根；②－2是4的平方根；③5的平方根是；④±都是3的平方根；⑤的平方根是－2，其中正確的是（）A.①②③B.③④⑤C.③④D.②④解：錯誤原因①：0的平方根為0③：5的平方根為±⑤：的平方根是2（任何非負(fù)數(shù)的平方根為非負(fù)數(shù)）故選D3、若與互為相反數(shù)，求的值.解：∵≥0，≥0.又∵、互為相反數(shù)∴==0即a-b+2=0b=a+b-1=0解得a=-代入原式，得原式===-2答：所求式的值為-2已知0<x<1，化簡－解：原式可化為∵0<x<1，∴>1∴x-<0∴原式=x++x－=2x先化簡，再求值.－，其中x=4,y=27.解：原式=6=-6、已知，2m+1的平方根是±3，的算數(shù)平方根是2，求m+2n的平方根.解：由題意，得2m+1==解得，m=4，n=18∴m+2n=40故m+2n的平方根為.7、使＋有意義的x的取值范圍是（）x≥0 B.x≠2C.x>2D.x≥0且x≠2解：使有意義的x的取值范圍是x≥0，使有意義的x的取值范圍是x-2≠0，x-2>0.綜上，使＋有意義的x的取值范圍是x>2.已知，且，求x+y的值.解：∵≥0，≥0又∵∴=2，=1又∵，即x-y≤0∴或.∴x+y=－1或2下列各式計算正確的是（）（x>0，y≥0）解：錯因：A.應(yīng)為B.應(yīng)為C.應(yīng)為故選D是否存在正整數(shù)a、b（a<b），使其滿足？若存在，試求出a，b的值；若不存在，請說明理由。解：存在.，因為只有同類二次根式才能合并，所以是同類二次根式.設(shè)所以m+n=6，又a，b，a<b，所以m，n，且m<n.解得 即可得.三、思考題設(shè)x、y為正有理數(shù)，EQ，為無理數(shù)，求證：+為無理數(shù)。設(shè)x，y及+為整數(shù)，證明：EQ，為整數(shù)。若實數(shù)x，y滿足3+5︱y︱=7，求S=2-3︱y︱的取值范圍。有下列三個命題：若a，b是不相等的無理數(shù)，則ab+a-b是無理數(shù)。若a，b是不相等的無理數(shù)，則是無理數(shù)。若a，b是不相等的無理數(shù)，則+是無