基本不等式精講解析版

2.2基本不等a、b是任意實(shí)數(shù)時(shí)，有a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成≤當(dāng)a>0，b>0時(shí)有 ≤2x、yx＋y＝s(和為定值)，則x＝y(tǒng)時(shí)xyxy＝p(積為定值)，則x＝y(tǒng)x＋y【典例精講考點(diǎn)一的直接運(yùn)【例1（1（2020 高 練習(xí)）若0a1，則a12a的最大值 11111842（2（2020

1x

的最小值 12a12a 【解析（1）0a2，故12a0，則a12a22a12a2 8，當(dāng)a4時(shí)取“=”，所以正確選項(xiàng)為 x

x1 x

1

x11xx11x“=”，所以正確選項(xiàng)為考考查基本不等式，采用構(gòu)造法，基本不等式需注意：“一正二定三?！就孓D(zhuǎn)1（2020 高 練習(xí)）若a1，則a

1a

的最小值 【答案】11a

a1 a

13a2時(shí)取“=”，所以正確選項(xiàng)42（2020 高一開學(xué)考試）x2，函y4x

x的最小值是（ 【答案】【解析】因?yàn)樵摵瘮?shù)的單調(diào)性較難求，所以可以考慮用不等式來(lái)求最小值，因?yàn)? ，本題正確選項(xiàng)為D.3（2020 x【答案】【解析】因?yàn)閒(x)4xa(x0,a0)，所 ，當(dāng)且僅 x，由題意，解得考點(diǎn)件（1（2020 練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x0,y0,x3y1，則11的最小值為 33A． B．2 C．4 D．433（2（2020·哈爾 學(xué)校高一期末已知實(shí)數(shù)a0，b0

a

b

1則a2b的最小值 22A． B． C． D．223【解析】（1）11x3y1143yx4 ，正確選項(xiàng)為3 y （2）∵a0，b0

a

b a2b(a1)2(b1)3[(a1)2(b1)]( 1)3[122(b1)a1 a b a b22 當(dāng)且僅當(dāng)2(b1)a1，即a ，b 2時(shí)取等號(hào).故選22a b 條條件型（乘K法：和為定值K，求倒數(shù)和的最小值，采用乘K【玩轉(zhuǎn)1（2020 高一開學(xué)考試）已知x0,y0,xy1,則11的最小值是 3 B． D．3【答案】【解析】1111xy2yx2 4（當(dāng)且僅當(dāng)yx，即xy時(shí)取等號(hào)

2（2020 金牛 外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一期末（文若正數(shù)x，y滿足135，則3x4y的最小 是 【答案】【解析】xy135

3x4y1(3x4y)(13)1

12y 1 x

3 x4y5x2y1 x 號(hào)．3x4y5．故選3（2020 練習(xí)）已知a0,b0，122，則ab的最小值 322 【解析】采用常數(shù)1的替換，ab112ab13b2a1 2 2

3 當(dāng)b2a即a 2,b2

2322 考點(diǎn)湊【例3（1（2020·衡水市第十三中學(xué)高一月考）已知fx

x23x x

f

的最小值． x92x4xx23xx4x

1

的最小值為 fx

x4

x2 x 1x x

15當(dāng)且僅x1

x

因此，函yfxx0的最小值為5.故答案5（2）xy1x1y2則2(14x1y1

4)4

4x1y59 5 1 1 1 1 11x

9 1 x當(dāng)且僅當(dāng)1y

，即當(dāng)y

313x

1

的最小值為B2【玩轉(zhuǎn) 高一專題練習(xí)）x1y

x5xx

的最大 【答案】【解析】x1x10x1x5x x27x x125x1 所以y x1 x x x1(x1)5245 當(dāng)且僅當(dāng)(x1)24x3x5x

x x

x

的最大值為2（2020 高 練習(xí)）函數(shù)y

x23xx

(x1)的最小值 D．【答案】x23x x12x1 【解析】x1，則x10，y x1 13，當(dāng)x0x x x取“=”，所以正確選項(xiàng)為

5，則fxx24x5有 3（2020高一練習(xí)）已知2

2x5最大4【答案】

最小4

最大值 D．最小值x24x5(x2)2 1 1 【解析】f(x)2x 2(x2)2(x2)x22 1

x

x3時(shí)取等號(hào)，故D考點(diǎn)元.【例4（2019·河.

一中高三期中（文已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，則x+2y的最小值是 【答案】

x2y【解析 均值不等式x2y8x(2y)8 ，整理得(x2y)24(x2y)320 (x2y4)(x2y8)0，又x+2y>0，x2y【玩轉(zhuǎn)1（2020 高一開學(xué)考試）若正數(shù)x,y滿足x2xy20，則3xy的最小值是 2A． B． C． D．2【答案】xyx2xy20y2xx2xx所以3xy2x2xxx

4，當(dāng)且僅當(dāng)2x 2x22（2020·江西高一期末）已知a，b0，且滿足a2ab1，則3ab的最小值為 323 C． D．323【答案】2aa【解析】∵a2ab1，∴b1a．即3ab3a1a2a12aa

222

3（x

的最大值 A． B． C． 【答案】x4yxy0x4yxyxy14 3求x

xyx

的最小

4 所以

y

3y3x33 3 3，當(dāng)且僅當(dāng)x4y時(shí)取等號(hào)所以

x 4（2020·浙江高三月考）已知實(shí)數(shù)x,y滿足x24xy5y25，則x22y2的最小值為

C． D．【答案】x22y2mx2m2y2x24xy5y25，4xyx25y25則16x2y2x25y252，16y2m2y2m57y2281y4(30m70)y2(m5)20y2t，則81t230m70)tm5)20(30m70)2481(m5)20，解得m103

2

的最小值為 .故選3

考點(diǎn)參 5（2020·浙江高一單元測(cè)試）已知不等式xy1a9對(duì)任意xy恒成立，則實(shí)數(shù)a 最小值為 A． B． C． D．【答案】【解析】xy1aaxya1 y xy0y0axya1 xy0y0x0 a0axya1 a0axya1y11，則xy1a9 a0xy1aaxya1 y

yaxy aaa1a 1axy aa

ax時(shí)，等號(hào)成立所以， 129，解得a4，因此，實(shí)數(shù)a的最小值為4.故選【玩轉(zhuǎn).1（2020·河.

一中高一期中若對(duì)于任意x x23x

a恒成立則a的取值范圍 1, B.[1, C.(0, D. 【答案】

【解析】因?yàn)閤0，所以x23x 3x1xx 則3x 3 5x 的最大值為1，故a1x23x

2a1恒成立則實(shí)數(shù)a的取值范圍（ （202 高三其他（理若對(duì)任意

x2 A．0, B．1, C．1, D．1, 【答案】【解析】依題意得x0xxx

2a12xx2

2x4x 又因?yàn)閤 x

4x2x42x2a11a1a的取值范圍為1. 3（2020· 恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 A．,24,C．4,

,42,D．2,【答案】x，y21 4yx x2yx2y2144yx4yx 4yxx4,y2

8x2ym22mm22m8，即(m4)(x20，解得4m2m的取值范圍是4,2考點(diǎn)用【例6（2020·浙江高一練習(xí)）某工廠擬建一個(gè)平面圖形為矩形，且總面積為400平方米的三級(jí)污水處理80元（池壁的厚度忽略不計(jì)，且污水處理池?zé)o蓋）.若使污水處理池的總造價(jià)最低，那么污水處理池的長(zhǎng)和寬分別為 A．40米，10 C．30米【答案】

3 D．50米，8【解析】設(shè)污水池的寬x米，則長(zhǎng)為400米，總造價(jià)為y，xy2002x24002250x80400900x160000 x 3200056000（元當(dāng)且僅當(dāng)900x160000x40 此時(shí)，污水池的【玩轉(zhuǎn)

3米，長(zhǎng)為30米.1（2019廂寬度為2，則車廂的最大容積是（ A（38－3 B．16 C．4 D．14【答案】【解析2?xmhm222?＋2?=32，即2??=2?2∴16 +2?+?≥2∴0<?≤

+?，即?+ ?16≤0，解得0 ≤2∴車廂的容積為=2?≤16(3)．當(dāng)且僅當(dāng)=2?且2??=16，即=4,2時(shí)等號(hào)成立．∴車廂容積的最大值為163．選B．2（2020高一練習(xí)）將一根鐵絲切割成三段，做一個(gè)面積為2m2，形狀為直角三角形的框架，在下列4種長(zhǎng)度的鐵絲中，選用最合理共用且浪費(fèi)最少的是( 【答案】(xy)2【解析】設(shè)直角三角形的