第二時間序列分析的基本概念演示文稿

第二時間序列分析的基本概念演示文稿當前第1頁\共有76頁\編于星期三\9點優(yōu)選第二時間序列分析的基本概念當前第2頁\共有76頁\編于星期三\9點1.引：事物的變化過程可分為兩類：對于每一個固定的時刻t，變化的結果，一類是確定的，這個結果可用t的某個確定性函數(shù)來描述；另一類結果是隨機的，即以某種可能性出現(xiàn)多個（有限多個或無限多個）結果之一。一、隨機過程下一頁返回本節(jié)首頁上一頁當前第3頁\共有76頁\編于星期三\9點2.定義：設E是隨機試驗，S是它的樣本空間，如果對于每一個e，我們總可以依某種規(guī)則確定一時間t的函數(shù)與之對應（T是時間t的變化范圍），于是，對于所有的的e來說，就得到這族時間t的函數(shù)為隨機過程，而族中每一個函數(shù)為這個隨機過程的樣本函數(shù)（或一次實現(xiàn)）?！峨S機過程導論》周萌清當前第4頁\共有76頁\編于星期三\9點該定義蘊涵的四種情況：

1、當e和t都是變量時，x(t)是一族時間的函數(shù)，它表示一個隨機過程；2、當e給定，t為變量時，x(t)是一個時間t的函數(shù)，稱它為樣本函數(shù)，有時也稱為一次實現(xiàn)。3、當t給定，e為變量時，x(t)是一個隨機變量。4、當e、t均給定時，x(t)是一個標量或者矢量。X(t)t當前第5頁\共有76頁\編于星期三\9點《經(jīng)濟時間序列》王耀東當前第6頁\共有76頁\編于星期三\9點我們所要討論的時間序列分析，只是對平穩(wěn)序序列及其有關的隨機序列進行統(tǒng)計分析，而不是對所有的隨機序列進行統(tǒng)計分析。此類隨機過程又稱隨機序列（randomsequence)或時間序列（timeseries)。對于一個連續(xù)時間的隨機過程，通過等間隔采樣，也是一個隨機序列。當前第7頁\共有76頁\編于星期三\9點區(qū)別：1、隨機變量是定義在樣本空間上的一個單值實函數(shù)，隨機過程是一族時間t的函數(shù)。2、對應于一定隨機試驗和樣本空間的隨機變量與時間t無關，而隨機過程與時間密切相關。3、隨機變量描述事物在某一特定時點上的靜態(tài)，隨機過程描述事物發(fā)展變化的動態(tài)。二、隨機過程與隨機變量之間的關系下一頁返回本節(jié)首頁上一頁當前第8頁\共有76頁\編于星期三\9點聯(lián)系：1、隨機過程具有隨機變量的特性，同時還具有普通函數(shù)的特性。2、隨機變量是隨機過程的特例。一元隨機變量可視為參數(shù)集為單元素集的隨機過程。3、當隨機過程固定某一個時刻時，就得到一個隨機變量。4、隨機過程是N維隨機向量、隨機變量列的一般化，它是隨機變量X(t)的集當前第9頁\共有76頁\編于星期三\9點第二節(jié)平穩(wěn)時間序列一、兩種不同的平穩(wěn)性定義二、時間序列的分布、均值和協(xié)方差函數(shù)三、平穩(wěn)序列的自協(xié)方差和自相關函數(shù)四、白噪聲序列和獨立同分布序列五、獨立增量隨機過程、二階矩過程六、線性平穩(wěn)序列七、偏自相關函數(shù)下一頁返回本節(jié)首頁上一頁當前第10頁\共有76頁\編于星期三\9點一、兩種不同的平穩(wěn)性定義1.嚴平穩(wěn)過程：若對于時間t的任意n個值t1<t2<…<tn，此序列中的隨機變量Xt1+s,Xt2+s,…,Xtn+s聯(lián)合分布與整數(shù)s無關，即有：Ft1,t2,…tn(Xt1,Xt2…,Xtn)=Ft1+s,t2+s…+tn+s(Xt1+s,Xt2+s,…,Xtn+s)則稱{Xt}為嚴平穩(wěn)過程。有些參考書也稱為狹義平穩(wěn)或強平穩(wěn)過程。下一頁返回本節(jié)首頁上一頁當前第11頁\共有76頁\編于星期三\9點此定義表明，嚴平穩(wěn)的概率分布與時間的平移無關。一般來說，若所研究的隨機過程，前后的環(huán)境和主要條件都不隨時間變化，就可以認為它是平穩(wěn)隨機過程。平穩(wěn)隨機過程的一維概率密度函數(shù)與時間無關。二維概率密度函數(shù)只與時間間隔S有關，而與時間的起點和終點無關。當前第12頁\共有76頁\編于星期三\9點2.寬平穩(wěn)過程：若時間序列有有窮的二階矩，且Xt滿足如下兩個條件：則稱該時間序列為寬平穩(wěn)過程。此定義表明，寬平穩(wěn)過程各隨機變量的均值為常數(shù)，且任意兩個變量的協(xié)方差僅與時間間隔(t-s)有關。（寬平穩(wěn)過程只涉及一階和二階矩）當前第13頁\共有76頁\編于星期三\9點3.嚴平穩(wěn)過程和寬平穩(wěn)過程的聯(lián)系和區(qū)別區(qū)別：（1）嚴平穩(wěn)的概率分布隨時間的平移而不變，寬平穩(wěn)序列的均值和自協(xié)方差隨時間的平移而不變。（2）一個嚴平穩(wěn)序列，不一定是寬平穩(wěn)序列；一個寬平穩(wěn)序列也不一定是嚴平穩(wěn)序列。當前第14頁\共有76頁\編于星期三\9點聯(lián)系：（1）若一個序列為嚴平穩(wěn)序列，且有有窮的二階矩，那么該序列也必為寬平穩(wěn)序列。（2）若時間序列為正態(tài)序列（即它的任何有限維分布都是正態(tài)分布），那么該序列為嚴平穩(wěn)序列和寬平穩(wěn)序列是相互等價的。當前第15頁\共有76頁\編于星期三\9點注：由于在實際中嚴平穩(wěn)序列的條件非常難以滿足，我們研究的通常是寬平穩(wěn)序列，在以后討論中，若不作特別說明，平穩(wěn)序列即指寬平穩(wěn)序列。當前第16頁\共有76頁\編于星期三\9點例1、設隨機過程X（t）=At，A為均勻分布于[0，1]上的隨機變量。試問X（t）是否平穩(wěn)？例2、設隨機過程Z（t）=Xcost+Ysint,

其中X，Y為相互獨立的隨機變量，且分別以概率2/3、1/3取值-1和2。試討論隨機過程Z（t）的平穩(wěn)性。當前第17頁\共有76頁\編于星期三\9點二、時間序列的分布、均值和協(xié)方差函數(shù)1.時間序列的概率分布隨機過程是一族隨機變量，類似于隨機變量，可以定義隨機過程的概率分布函數(shù)和概率密度函數(shù)。它們都是兩個變量t,x的函數(shù)。下一頁返回本節(jié)首頁上一頁當前第18頁\共有76頁\編于星期三\9點如：時間序列的所有一維分布是：若給定時刻ti，隨機過程就是一維隨機變量X（ti)。事件x(ti)<=x的概率為F-1(X-1)，F(xiàn)-2(X-2)，F(xiàn)0(X0)，F(xiàn)1(X1)，F(xiàn)2(X2)……其中Fi(Xi)表示Xi的分布函數(shù)。對其關于x求偏導，即X（t）的一維概率密度函數(shù)f(x,ti).時間序列的所有二維分布是：Fij(Xi,Xj)，i,j=0,±1,±2,±3……其中Fij(Xi,Xj)是二元隨機變量(Xi,Xj)的聯(lián)合概率分布?！?/p>

……當前第19頁\共有76頁\編于星期三\9點如果我們能確定出時間序列的概率分布，我們就可以對時間序列構造模型，并描述時間序列的全部隨機特征，但由于確定時間序列的分布函數(shù)一般不可能，人們更加注意使用時間序列的各種特征量的描述，如均值函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)、自相關函數(shù)、偏自相關函數(shù)等，這些特征量往往能代表隨機變量的主要特征。當前第20頁\共有76頁\編于星期三\9點2.均值函數(shù)一個時間序列{Xt，t=0,±1,±2……}的均值函數(shù)指：即為{Xt}的均值函數(shù)。它實質(zhì)上是一個實數(shù)列，被{Xt}的一維分布族所決定。均值u(t)表示隨機過程在各個時刻的擺動中心。當前第21頁\共有76頁\編于星期三\9點3.時間序列的自協(xié)方差函數(shù)由此可見，時間序列的自協(xié)方差函數(shù)是隨機變量間協(xié)方差推廣差時間序列自協(xié)方差函數(shù)具有對稱性：當前第22頁\共有76頁\編于星期三\9點4.時間序列的自相關函數(shù)自相關函數(shù)描述了時間序列的{Xt}自身的相關結構。時間序列的自相關函數(shù)具有對稱性，且有當前第23頁\共有76頁\編于星期三\9點三、平穩(wěn)序列的自協(xié)方差和自相關函數(shù)1.平穩(wěn)序列的自協(xié)方差函數(shù)和自相關函數(shù)若{Xt}為平穩(wěn)序列，假定EXt=0，由于令s=t-k，于是我們就可以用以下記號表示平穩(wěn)序列的自協(xié)方差函數(shù)，即：下一頁返回本節(jié)首頁上一頁當前第24頁\共有76頁\編于星期三\9點相應的，嚴平穩(wěn)序列的自相關函數(shù)記為：當前第25頁\共有76頁\編于星期三\9點2.平穩(wěn)序列的自協(xié)方差序列和自相關函數(shù)列的性質(zhì)當前第26頁\共有76頁\編于星期三\9點四、白噪聲序列和獨立同分布序列1.白噪聲（Whitenoise）序列定義：若時間序列{Xt}滿足下列性質(zhì)：則稱此序列為白噪聲序列。下一頁返回本節(jié)首頁上一頁當前第27頁\共有76頁\編于星期三\9點白噪聲序列是一種特殊的寬平穩(wěn)序列，也是一種最簡單的平穩(wěn)序列，它在時間序列分析中占有非常重要的地位。當前第28頁\共有76頁\編于星期三\9點2.獨立同分布（iid）序列定義：如果時間序列{Xt}中的隨機變量Xt，t=0,±1,±2……是相互獨立的隨機變量，且Xt具有相同的分布（當Xt有一階矩時，往往還假定EXt=0）,則稱{Xt}為獨立同分布序列?？梢姫毩⑼植夹蛄衶Xt}是一個嚴平穩(wěn)序列。當前第29頁\共有76頁\編于星期三\9點一般來說，白噪聲序列與獨立同分布序列是不同的兩種序列，但是當白噪聲序列為正態(tài)序列時，它也是獨立同分布序列，此時我們稱其為正態(tài)白噪聲序列（NID）。當前第30頁\共有76頁\編于星期三\9點-4-2024808284868890929496正態(tài)白噪聲序列當前第31頁\共有76頁\編于星期三\9點五、獨立增量隨機過程、二階矩過程獨立增量隨機過程獨立增量過程是物理上重要的馬氏過程。隨機過程X（t），t〉=0，用X（t1,t2)表示隨機變量X(t2)-X(t1),并稱為X（t）在（t1,t2)上的增量，如果對一切t1<t2<……<tn，增量是相互獨立的，則稱[X（t），t〉=0]是一個獨立增量過程。馬氏過程：從對過去記憶性角度來考慮的，簡單的說，一階馬氏過程表示：將來時刻tn的狀態(tài)xn的統(tǒng)計特性僅取決于現(xiàn)在時刻tn-1時刻的值xn-1。下一頁返回本節(jié)首頁上一頁當前第32頁\共有76頁\編于星期三\9點二階矩過程定義：若一個隨機過程X(t)，，如果對于一切,總有則稱此過程為二階矩過程。廣義平穩(wěn)過程是二階矩過程中的一類。高斯過程也是二階矩過程。高斯分布是指隨機過程的各有限維分布都是高斯分布，高斯分布的各階矩都存在，故也屬于二階矩過程。當前第33頁\共有76頁\編于星期三\9點六、線性平穩(wěn)序列1.時間序列的線性運算設{Xt}與{Yt}為兩個時間序列，a，b為兩個實數(shù)，那么，zt=axt+bytt=0,±1,±2……為序列{Xt}與{Yt}的一種線性運算。2.時間序列的遲運算設{Xt}為一時間序列，d為一正整數(shù)，那么，yt=xt-dt=0,±1,±2……為Xt的d步延遲運算。下一頁返回本節(jié)首頁上一頁當前第34頁\共有76頁\編于星期三\9點3.時間序列的線性與延遲聯(lián)合運算yt=a0xt+a1xt-1+…+apXt-pt=0,1,2…為時間序列線性與延遲聯(lián)合運算。當ai=1/p，i=0,1,2,…時，{Yt}即為對序列{Xt}的移動平均序列。4.時間序列的非線性運算非線性運算的形式是多種多樣的：如yt=xt2+axt，yt=xt-1/(1+xt-2)2等。當前第35頁\共有76頁\編于星期三\9點5.平穩(wěn)線性序列設{at}為正態(tài)白噪聲序列，則稱序列：注：可以證明，{Xt}為一寬平穩(wěn)序列。為線性平穩(wěn)序列。當前第36頁\共有76頁\編于星期三\9點七、偏自相關函數(shù)偏自相關函數(shù)：指扣除Xt和Xt+k之間的隨機變量Xt+1,Xt+2,

…Xt+k-1等影響之后的Xt和Xt+k之間的相關性。偏自相關函數(shù)一般用表示。偏自相關其實就是如下的條件相關：cov(Xt,Xt+k|Xt+1,Xt+2…Xt+k-1)下一頁返回本節(jié)首頁上一頁當前第37頁\共有76頁\編于星期三\9點第三節(jié)隨機過程的特征描述一、樣本均值二、樣本自協(xié)方差函數(shù)三、樣本自相關函數(shù)（SACF）四、樣本偏自相關函數(shù)下一頁返回本節(jié)首頁上一頁當前第38頁\共有76頁\編于星期三\9點一、樣本均值對時間序列的一次樣本實現(xiàn)，需要用樣本均值代替總體均值可以證明，是的無偏、一致估計。下一頁返回本節(jié)首頁上一頁當前第39頁\共有76頁\編于星期三\9點對于時間序列的一次樣本現(xiàn)，我們也需要通過樣本自協(xié)方差函數(shù)估計總體自協(xié)方差函數(shù)。這里有兩種形式：書P73二、樣本自協(xié)方差函數(shù)下一頁返回本節(jié)首頁上一頁當前第40頁\共有76頁\編于星期三\9點通過證明有如下結論：上述樣本自協(xié)方差函數(shù)都是總體自協(xié)方差函數(shù)的漸近無偏估計，且比的偏要大。但是，比的方差小，且在大樣本情況下（n很大），二者差別不大，因此我們通常用作為樣本自協(xié)方差函數(shù)。當前第41頁\共有76頁\編于星期三\9點由于當k相對于n而言較大時，的偏比更大，因此，在時間序列分析時，一般滯后期k最多取至n/4當前第42頁\共有76頁\編于星期三\9點三、樣本自相關函數(shù)（SACF）1.對給定的序列x1,x2,…xn，樣本自相關函數(shù)定義為：下一頁返回本節(jié)首頁上一頁當前第43頁\共有76頁\編于星期三\9點四、樣本偏自相關函數(shù)（SPACF）P771.樣本偏自相關函數(shù)有如下遞推公式：下一頁返回本節(jié)首頁上一頁當前第44頁\共有76頁\編于星期三\9點例如，根據(jù)上述遞推公式，我們有：當前第45頁\共有76頁\編于星期三\9點在過程是一個白噪聲序列的假設下，所以，能作為檢驗白噪聲過程假設的準則區(qū)限。當前第46頁\共有76頁\編于星期三\9點Tzt

zt+1Zt+2Zt+3……Zt-1Zt-211381528154133154481344412158541211415612117447117141248714121112914127111012147計算樣本自相關函數(shù)（SACF）當前第47頁\共有76頁\編于星期三\9點1.時間序列的平穩(wěn)性檢驗對k的圖稱為樣本自相關圖，我們可以通過樣本自相關函數(shù)判斷時間序列是否為平穩(wěn)序列。檢驗原理：如果一個時間序列為白噪聲序列，那么近似地服從N(0,1/n)。于是根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，對任一的95%的置信區(qū)間為：當前第48頁\共有76頁\編于星期三\9點檢驗一：檢驗序列是否為平穩(wěn)序列若在k>3時都落入置信區(qū)間，并逐漸趨于零，則該時間序列具有平穩(wěn)性；若有更多的落在置信區(qū)間以外，則該時間序列不具有平穩(wěn)性。Eviews3.1顯示的自相關圖（correlogram)中的兩條虛線即為的95%置信區(qū)間。見圖示當前第49頁\共有76頁\編于星期三\9點檢驗二：檢驗序列是否為白噪聲序列原假設：全部同時為0（k>1）檢驗統(tǒng)計量：Q統(tǒng)計量（Qstatistic）其中，n為樣本容量，m為滯后長度。Q近似地服從。當前第50頁\共有76頁\編于星期三\9點檢驗：對于給定的顯著性水平，若則拒絕原假設，此時，序列不是白噪聲序列；若，則不能拒絕原假設，此時不能拒絕序列為白噪聲序列。當前第51頁\共有76頁\編于星期三\9點在Eviews3.1顯示的自相關圖中，同時給出了Q統(tǒng)計量值和它的相伴概率（P值），若,則接受原假設，即可認為序列為白噪聲序列；否則拒絕原假設。當前第52頁\共有76頁\編于星期三\9點0100200300400500600700808284868890929496美國S&P500指數(shù)非平穩(wěn)序列當前第53頁\共有76頁\編于星期三\9點非平穩(wěn)序列自相關圖當前第54頁\共有76頁\編于星期三\9點-4-2024808284868890929496平穩(wěn)序列正態(tài)白噪聲生成序列當前第55頁\共有76頁\編于星期三\9點平穩(wěn)序列自相關圖當前第56頁\共有76頁\編于星期三\9點第四節(jié)線性差分方程引：線性差分方程在我們討論的時間序列分析中占有重要作用，事實上，我們后面將要建立的時間序列模型就是線性差分方程，這些模型的性質(zhì)往往取決于差分方程根的性質(zhì)。下一頁返回本節(jié)首頁上一頁當前第57頁\共有76頁\編于星期三\9點第四節(jié)線性差分方程一、線性差分方程二、關于線性差分方程基本定理三、n階常系數(shù)線性差分方程的解下一頁返回本節(jié)首頁上一頁當前第58頁\共有76頁\編于星期三\9點一、線性差分方程1.n階非齊次線性差分方程2.n階齊次線性差分方程（1），（2）式中，ai(t)、f(t)為t的已知函數(shù)，且an(t)、f(t)不同時為零，若

ai(t)為常數(shù)，則上述兩式即為常系數(shù)差分方程。下一頁返回本節(jié)首頁上一頁當前第59頁\共有76頁\編于星期三\9點二、關于線性差分方程基本定理定理1.若y1(t)，y2(t)，…ym(t)是n階齊次線性差分方程（2）的m個特解，則如下的線性組合也是該差分方程的的特解：y(t)=c1y1(t)+c2y2(t)+…+cmym(t)式中c1、c2…cm為任意常數(shù)。下一頁返回本節(jié)首頁上一頁當前第60頁\共有76頁\編于星期三\9點定理2.n階齊線性齊次差分方程一定存在n個線性無關的特解，若y1(t)，y2(t)，…yn(t)為式（2）的n個線性無關的特解，則（2）式的通解為：yc(t)=c1y1(t)+c2y2(t)+…+cnyn(t)式中c1、c2…cn為n個任意常數(shù)。當前第61頁\共有76頁\編于星期三\9點定理3.N階非齊次線性差分方程