競賽專題11概率原卷版

【高中數(shù)學(xué)競賽專題大全】競賽專題11概率（50題競賽真題強(qiáng)化訓(xùn)練）一、填空題1．（2018·安徽·高三競賽）從1，2，…，10中隨機(jī)抽取三個(gè)各不相同的數(shù)字，其樣本方差的概率=_________.2．（2018·廣東·高三競賽）袋中裝有m個(gè)紅球和n個(gè)白球，m＞n≥4.現(xiàn)從中任取兩球，若取出的兩個(gè)球是同色的概率等于取出的兩個(gè)球是異色的概率，則滿足關(guān)系的數(shù)組（m，n）的個(gè)數(shù)為_______.3．（2018·廣東·高三競賽）已知點(diǎn)A（1，1），B（），C（）經(jīng)過點(diǎn)A、B的直線和經(jīng)過點(diǎn)A、C的直線與直線所圍成的平面區(qū)域?yàn)镚.已知平面矩形區(qū)域中任意一點(diǎn)進(jìn)入?yún)^(qū)域G的可能性為，則a=__________.4．（2019·全國·高三競賽）已知甲、乙兩人進(jìn)行一種博弈游戲，甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為.若其中一人比另一人多贏兩局，則游戲結(jié)束那么，需要進(jìn)行的游戲局?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為_______.5．（2019·全國·高三競賽）兩人約定：在某天一同去地，早上7點(diǎn)到8點(diǎn)之間在地會(huì)合，但先到達(dá)地者最多在原地等待5min分鐘，如果沒有見到對(duì)方則自己先行.設(shè)兩人到達(dá)地的時(shí)間是隨機(jī)的、獨(dú)立的、等可能的.那么，兩人能夠在當(dāng)天一同去地的概率是______.6．（2019·全國·高三競賽）在面積為1的正方形中任取一點(diǎn)，則、、、的面積均大于的概率是____．7．（2019·全國·高三競賽）圓周上有10個(gè)等分點(diǎn).則以這10個(gè)等分點(diǎn)中的4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的凸四邊形中，梯形所占的個(gè)數(shù)比為______.8．（2019·全國·高三競賽）記．現(xiàn)拋擲硬幣從A、B中無放回地取出數(shù)字組成九位數(shù)，規(guī)則是：若硬幣出現(xiàn)正面時(shí)，就從集合A中取出一個(gè)最小的數(shù)；若硬幣出現(xiàn)反面時(shí)，就從集合B中取出一個(gè)最小的數(shù)．當(dāng)一個(gè)集合的數(shù)字被取完而另一個(gè)集合還有數(shù)字時(shí)，另一集合剩下的數(shù)字就按從小到大的順序添在后面按此規(guī)則，取出的數(shù)字恰好為123456789的概率為________．9．（2021·全國·高三競賽）在1，2，3，…，10這10個(gè)正整數(shù)中任取4個(gè)，記為這四個(gè)數(shù)中兩數(shù)相鄰的組數(shù)，則的數(shù)學(xué)期望__________．10．（2018·全國·高三競賽）甲、乙、丙、丁各拿一個(gè)足球同時(shí)進(jìn)行一次傳球，要求每個(gè)人可以將球傳給另外三人中的任何一人．一次傳球后，每個(gè)人仍各有一個(gè)球的概率為______．11．（2018·全國·高三競賽）袋內(nèi)有8只白球和2只紅球，每次從中隨機(jī)取出一只球，然后放回1只白球．則第四次恰取完所有紅球的概率為______．12．（2019·全國·高三競賽）從中任取5個(gè)數(shù)（可以相同）．則取到合數(shù)的個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望是______．13．（2018·全國·高三競賽）甲有一個(gè)箱子，里面有紅球和白球共4個(gè)；乙有一個(gè)箱子，里面有2個(gè)紅球、1個(gè)白球、1個(gè)黃球.現(xiàn)在，甲從他的箱子中任取2個(gè)球，乙從他的箱子中任取1個(gè)球，如果取出的3個(gè)球顏色全不同，則甲獲勝.為了保證甲獲勝的概率最大，則甲的箱子中的紅球個(gè)數(shù)為____.14．（2019·全國·高三競賽）兩人作一種游戲:連續(xù)旋轉(zhuǎn)一枚硬幣若干次,當(dāng)正(或反)面向上的次數(shù)累計(jì)達(dá)到5次時(shí)游戲結(jié)束.游戲結(jié)束時(shí),如果正面向上的次數(shù)累計(jì)達(dá)到5次,則勝;否則勝.那么,旋轉(zhuǎn)不足9次就決出勝負(fù)的概率為______.15．（2019·全國·高三競賽）設(shè)是的一個(gè)排列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為．則排列滿足“都不是3的倍數(shù)”的概率為______.16．（2019·全國·高三競賽）一副撲克牌除去大、小王共52張.洗好后，四個(gè)人順次每人抓13張.則兩個(gè)紅（即紅桃、方塊）在同一個(gè)人手中的概率為________.17．（2018·湖北·高三競賽）一枚骰子連貫投擲四次，從第二次起每次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)都不小于前一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的概率為______.18．（2019·上?！じ呷傎悾┠硞刹彀嘤?2名戰(zhàn)士，其中報(bào)務(wù)員有3名.現(xiàn)要將這12名戰(zhàn)士隨機(jī)分成3組，分別有3名戰(zhàn)士、4名戰(zhàn)士、5名戰(zhàn)士，那么每一組都有1名報(bào)務(wù)員的概率是________.19．（2019·貴州·高三競賽）已知m∈{11，13，15，17，19}，n∈{2000，2001，…，2019}，則mn的個(gè)位數(shù)是1的概率為____________.20．（2021·全國·高三競賽）有甲乙兩個(gè)盒子，甲盒中有5個(gè)球，乙盒中有6個(gè)球（所有球都是一樣的）.每次隨機(jī)選擇一個(gè)盒子，并從中取出一個(gè)球，直到某個(gè)盒子中不再有球時(shí)結(jié)束.則結(jié)束時(shí)是甲盒中沒有球的概率為______.21．（2021·全國·高三競賽）先后三次擲一顆骰子，則其中某兩次的點(diǎn)數(shù)和為10的概率為___________．22．（2018·福建·高三競賽）從如圖所示的，由9個(gè)單位小方格組成的，方格表的16個(gè)頂點(diǎn)中任取三個(gè)頂點(diǎn)，則這三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的概率為______．23．（2018·全國·高三競賽）從集合中隨機(jī)地、不放回地取出三個(gè)數(shù)，然后再從剩下的2011個(gè)數(shù)中同樣隨機(jī)地、不放回地取出三個(gè)數(shù).則將為長、寬、高的磚能放進(jìn)以為長、寬、高的盒子中的概率為__________．24．（2018·全國·高三競賽）小明、小紅分別獨(dú)立重復(fù)投擲均勻的色子，直到第-次出現(xiàn)6點(diǎn)為止．則小明和小紅投擲的次數(shù)相差不超過1的概率為________．25．（2018·全國·高三競賽）設(shè)n為正整數(shù).從集合中任取一個(gè)正整數(shù)n恰為方程的解的概率為_______（表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)）.26．（2018·全國·高三競賽）拋一顆色子三次，所得點(diǎn)數(shù)分別為、、.則函數(shù)在上為增函數(shù)的概率為______.27．（2019·全國·高三競賽）將編號(hào)為1，2，…，9的幾顆珍珠隨機(jī)固定在一串項(xiàng)鏈上，假設(shè)每顆珍珠的距離相等，記項(xiàng)鏈上所有相鄰珍珠編號(hào)之差的絕對(duì)值之和為則取得最小值的放法的概率為______.28．（2018·全國·高三競賽）小張、小李、小華、小明四人玩輪流投擲一枚標(biāo)準(zhǔn)色子的游戲.若有一人投到的數(shù)最小，且無人與他并列，則判他獲勝；若投出最小數(shù)的人多于一個(gè)，則將沒投出最小數(shù)的人先淘汰，再讓剩下的人重新做一輪游戲，這樣不斷地進(jìn)行下去，直到某個(gè)人勝出為止.已知第一個(gè)投擲色子的小張投到了數(shù)3.則他獲勝的概率是______.29．（2018·全國·高三競賽）從集合中任意選取兩個(gè)不同的數(shù)、，使得（為某正整數(shù)）的概率為．則的最小值為______．30．（2018·全國·高三競賽）兩隊(duì)進(jìn)行乒乓球團(tuán)體對(duì)抗賽,每隊(duì)各三名隊(duì)員,每名隊(duì)員出場一次.兩隊(duì)的三名隊(duì)員分別是,,且對(duì)的勝率為.則隊(duì)得分期望的最大可能值是______.31．（2018·全國·高三競賽）將這16個(gè)正整數(shù)隨機(jī)地填入棋盤的16個(gè)格子中（每格填寫一數(shù)），則使每行、每列填數(shù)之和皆為偶數(shù)的概率為______．32．（2019·全國·高三競賽）某人練習(xí)打靶，開始時(shí)，他距靶，此時(shí)，進(jìn)行第一次射擊.若此次射擊不中，則后退進(jìn)行第二次射擊，一直進(jìn)行下去.每次射擊前都后退，直到命中為止，已知他第一次的命中率為，且命中率與距離的平方成反比.則他能夠命中的概率等于_________.33．（2019·全國·高三競賽）如圖，給定由個(gè)點(diǎn)組成的正三角形點(diǎn)陣．在其中任意取三個(gè)點(diǎn)，以這三點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的正三角形的概率為__________．34．（2019·全國·高三競賽）有7名運(yùn)動(dòng)員分別獲得某項(xiàng)比賽的一、二、三等獎(jiǎng)，已知一等獎(jiǎng)的人數(shù)不少于1人，二等獎(jiǎng)的人數(shù)不少于2人，三等獎(jiǎng)的人數(shù)不少于3人.則恰有2人獲一等獎(jiǎng)的概率為______.35．（2019·全國·高三競賽）某校進(jìn)行投籃比賽，共有64人參加.已知每名參賽者每次投籃的命中率為.規(guī)定：只有連續(xù)命中兩次才能被錄取，一旦錄取就停止投籃，否則一直投滿4次.設(shè)表示錄取人數(shù).則______.36．（2019·全國·高三競賽）數(shù)字鐘分別用兩個(gè)數(shù)字顯示小時(shí)、分、秒（如10:03:18）.在同一天的05:00:00~23:00:00（按小時(shí)計(jì)算）之間，鐘面上的六個(gè)數(shù)字都不相同的概率是______.37．（2021·浙江金華第一中學(xué)高三競賽）甲，乙兩人進(jìn)行一場七局四勝制的游戲，任何一人累計(jì)獲勝四局即為勝方，同時(shí)游戲結(jié)束，另一人為負(fù)方．若在每局中，雙方各有的概率獲勝，則游戲結(jié)束時(shí)勝方比負(fù)方多獲勝的局?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為______．38．（2019·四川·高三競賽）設(shè)一個(gè)袋子里有紅、黃、藍(lán)色小球各一個(gè)現(xiàn)每次從袋子里取出一個(gè)球(取出某色球的概率均相同)，確定顏色后放回，直到連續(xù)兩次均取出紅色球時(shí)為止，記此時(shí)取出球的次數(shù)為ξ，則ξ的數(shù)學(xué)期望為_____.39．（2019·廣西·高三競賽）從1，2，…，20中任取3個(gè)不同的數(shù)，這3個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列的概率為____________.二、解答題(共0分)40．（2018·黑龍江·高三競賽）為響應(yīng)國家“精準(zhǔn)扶貧，產(chǎn)業(yè)扶貧”的戰(zhàn)略，哈市面向全市征如《扶貧政策》義務(wù)宣傳志愿者，從年齡在[20，45]的500名志愿者中隨機(jī)抽取100名，其年齡頻率分布直方圖如圖所示.（1）求圖中x的值；（2）在抽出的100名志愿者中按年齡采用分層抽樣的方法抽取10名參加中心廣場的宣傳活動(dòng)，再從這10名志愿者中選取3名擔(dān)任主要負(fù)責(zé)人.記這3名志愿者中“年齡低35歲”的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.41．（2018·湖南·高三競賽）棋盤上標(biāo)有第0，1，2，，100站，棋子開始時(shí)位于第0站，棋手拋擲均勻硬幣走跳棋游戲.若擲出正面，棋子向前跳出一站；若擲出反面，棋子向前跳出兩站，直到跳到第99站（勝利大本營）或第100站（失敗集中營）是，游戲結(jié)束.設(shè)棋子跳到第n站的概率為.（1）求的值；（2）證明：；（3）求的值.42．（2018·全國·高三競賽）已知數(shù)列滿足，并且對(duì)任意的的概率均為．（1）設(shè)的值為隨機(jī)變量X，試求X的概率分布；（2）求X的絕對(duì)值的數(shù)學(xué)期望E|X|．43．（2018·全國·高三競賽）擲骰子（為均勻的正方體，六個(gè)面分別標(biāo)有1、2、3、4、5、6）游戲規(guī)則如下：第一次擲9枚骰子，將其中顯示為1的骰子拿出放到一邊；第二次擲剩下的骰子，再將顯示為1的骰子拿出；……，直到未擲出顯示為1的骰子或骰子全部拿出，游戲結(jié)束.已知恰好擲9次結(jié)束游戲的概率為（、、、為不同的質(zhì)數(shù)，）.求.44．（2018·全國·高三競賽）從集合的子集中先后取出兩個(gè)不同的子集、，求以下事件發(fā)生的概率：（1），且；（2）Card45．（2019·全國·高三競賽）甲乙兩人參加競選，結(jié)果是甲得票，乙得票.試求：唱票中甲累計(jì)的票數(shù)始終超過乙累計(jì)的票數(shù)的概率.46．（2019·全國·高三競賽）如圖，正六邊形的中心為，對(duì)、、、、、、這七個(gè)點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)，以其中一點(diǎn)為起點(diǎn)、另一點(diǎn)為終點(diǎn)作向量.任取其中兩個(gè)向量，以它們的數(shù)量積的絕對(duì)值作為隨機(jī)變量.試求的概率分布列及其數(shù)學(xué)期望.47．（2019·全國·高三競賽）某鎮(zhèn)有、、三處茶樓，新來的鎮(zhèn)長每天只去三處之一喝茶．已知第一天他去三處的概率同為，且若某天去了處，則下一天分別以、、的概率去、、三處；若某天去了處，則下一天分別以、、的概率去、、三處；若某天去了處，則下一天分別以、、的概率去、、三處．求第天鎮(zhèn)長去、、三處的概率．48．（2019·全國·高三競賽）一個(gè)袋子中裝有個(gè)紅球和個(gè)白球，它