方程的近似解

方程的近似解第一頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束一、根的隔離與二分法(1)作圖法1.求隔根區(qū)間的一般方法第二頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(2)逐步收索法由圖可見(jiàn)只有一個(gè)實(shí)根可轉(zhuǎn)化為以定步長(zhǎng)h一步步向右搜索,若搜索過(guò)程也可從b開(kāi)始,取步長(zhǎng)h<0.第三頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六2.二分法取中點(diǎn)對(duì)新的隔根區(qū)間重復(fù)以上步驟,反復(fù)進(jìn)行,得則誤差滿(mǎn)足機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第四頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六例1.

用二分法求方程的近似實(shí)根時(shí),要使誤差不超過(guò)至少應(yīng)對(duì)分區(qū)間多少次?解:設(shè)故該方程只有一個(gè)實(shí)根

,欲使必需即可見(jiàn)只要對(duì)分區(qū)間9次,即可得滿(mǎn)足要求的實(shí)根近似值(計(jì)算結(jié)果見(jiàn)“高等數(shù)學(xué)”(上冊(cè))P177～178)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第五頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六二、牛頓切線法及其變形有如下四種情況:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第六頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六牛頓切線法的基本思想:程的近似根.記縱坐標(biāo)與同號(hào)的端點(diǎn)為用切線近似代替曲線弧求方在此點(diǎn)作切線,其方程為令y=0得它與x軸的交點(diǎn)其中再在點(diǎn)作切線,可得近似根如此繼續(xù)下去,可得求近似根的迭代公式:稱(chēng)為牛頓迭代公式

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第七頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六牛頓法的誤差估計(jì):由微分中值定理得則得說(shuō)明:用牛頓法時(shí),若過(guò)縱坐標(biāo)與異號(hào)的端點(diǎn)作切線,則切線與x軸焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)未必在機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第八頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六牛頓法的變形:(1)簡(jiǎn)化牛頓法若用一常數(shù)代替即用平行則得簡(jiǎn)化牛頓迭代公式.線代替切線,得優(yōu)點(diǎn):因而節(jié)省計(jì)算量.缺點(diǎn):逼近根的速度慢一些.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第九頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六(2)割線法為避免求導(dǎo)運(yùn)算,用割線代替切線,例如用差商代替從而得迭代公式:(雙點(diǎn)割線法)特點(diǎn):逼近根的速度快于簡(jiǎn)化牛頓法,但慢于牛頓法.說(shuō)明:若將上式中則為單點(diǎn)割線法,逼近根的速度與簡(jiǎn)化牛頓法相當(dāng).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六例2.用切線法求方程的近似解,使誤差不超過(guò)0.01.解:由草圖可見(jiàn)方程有唯一的正實(shí)根,且機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十一頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六得而再求因此得滿(mǎn)足精度要求的近似解機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十二頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六三.一般迭代法(補(bǔ)充)在隔根區(qū)按遞推公式則

即為原方程的根.①①稱(chēng)為迭代格式,初值.否則稱(chēng)為發(fā)散.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十三頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六例3.

用迭代法求方程解法1將方程變形為迭代格式為發(fā)散!解法2將方程變形為迭代格式為迭代收斂,1.32472為計(jì)算精度范圍內(nèi)的所求根.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十四頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六定理.(證明略)迭代法的斂散性與迭代函數(shù)的特性有關(guān).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束可以證明下述定理:第十五頁(yè)，共十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六內(nèi)容小結(jié)1.隔根方法作圖法二分法2.求近似根的方法二分法牛頓切線法簡(jiǎn)化牛頓法割線法一般迭代法思考與練習(xí)比較求方程近似根的方法之間的關(guān)系及優(yōu)缺點(diǎn).……習(xí)題課目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第