現(xiàn)代控制第一章

現(xiàn)代控制第一章第一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期日第一節(jié)狀態(tài)空間表達(dá)式一、狀態(tài)、狀態(tài)變量組和狀態(tài)空間先看幾個例子！狀態(tài)變量組：一個動力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)變量組定義為能完全表征其時間域行為的一個最小內(nèi)部變量組，表為，其中為自變量時間。狀態(tài)：一個動力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)定義為由其狀態(tài)變量組所組成的一個列向量，并且，狀態(tài)的維數(shù)定義為其組成狀態(tài)變量的個數(shù)。狀態(tài)空間：狀態(tài)空間定義為狀態(tài)向量的一個集合，狀態(tài)空間的維數(shù)等同于狀態(tài)的維數(shù)。第二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期日二、狀態(tài)空間表達(dá)式描述系統(tǒng)輸入、輸出和狀態(tài)變量之間關(guān)系的方程組稱為系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。它由狀態(tài)方程和輸出方程組成。狀態(tài)方程描述了系統(tǒng)狀態(tài)變量和輸入量之間的關(guān)系，也就是說狀態(tài)方程是由狀態(tài)變量、輸入量和系統(tǒng)參數(shù)構(gòu)成的一階微分方程組，是矩陣微分方程，其一般式為

其中，輸出方程是描述系統(tǒng)輸出量和狀態(tài)變量之間的變換關(guān)系，是矩陣代數(shù)方程，其一般式為第三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期日其中，狀態(tài)空間表達(dá)式由于方程(1-5)是多輸入、多輸出(MIMO)系統(tǒng)，故為多變量系統(tǒng)；如果是單輸入、單輸出(SISO)系統(tǒng)，則稱為但變量系統(tǒng)，此時系統(tǒng)方程表達(dá)式為第四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期日線性定常系統(tǒng)（線性時不變系統(tǒng)）：若方程(1-5)或(1-6)中的矩陣的諸元素是實常數(shù)。線性時變系統(tǒng)：若方程(1-5)或(1-6)中的矩陣的諸元素中只要有一個元素是時間的函數(shù)。一般表達(dá)式滿足矩陣運算?？刂葡到y(tǒng)方程也可用圖形來標(biāo)示，稱為系統(tǒng)的狀態(tài)圖。也容易轉(zhuǎn)換為信號流圖。第五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期日對于非線性系統(tǒng)，狀態(tài)空間表達(dá)式，即狀態(tài)方程與輸出方程的一般描述是其中，。（注意向量函數(shù)與函數(shù)向量的區(qū)別！）如果非線性系統(tǒng)方程不顯含時間，則稱為非線性定常系統(tǒng)，其狀態(tài)空間表達(dá)式為第六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期日三、狀態(tài)變量的選取狀態(tài)變量的選取可以視所研究的問題性質(zhì)和輸入特性而定；狀態(tài)變量的選取的非唯一性；系統(tǒng)狀態(tài)變量的數(shù)目是唯一的；狀態(tài)變量組對系統(tǒng)行為的完全表征性；是指只要給定初始時刻的任意初始狀態(tài)變量組

和各時刻的任意輸入變量組那么系統(tǒng)的任何一個內(nèi)部變量在各時刻的運動第七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期日行為也就隨之而完全確定。狀態(tài)變量組最小性的物理特征狀態(tài)變量組最小是指減少其中的一個變量就會破壞它們對系統(tǒng)行為表征的完全性，而增加一個變量將不增加行為表征的信息量，即是完全表征系統(tǒng)行為所不需要的。狀態(tài)變量組最小性的數(shù)學(xué)特征狀態(tài)變量組為最小是指它們是系統(tǒng)所有內(nèi)部變量中線性無關(guān)的一個極大變量組，也即以外的系統(tǒng)內(nèi)部變量都必和它們線性相關(guān)。第八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期日系統(tǒng)任意兩個狀態(tài)變量組之間的關(guān)系系統(tǒng)任意選取的兩個狀態(tài)和之間為線性非奇異變換的關(guān)系。有窮維系統(tǒng)和無窮維系統(tǒng)動態(tài)系統(tǒng)的維數(shù)定義為其狀態(tài)的維數(shù)。用表系統(tǒng)，表示系統(tǒng)的狀態(tài)，為狀態(tài)的維數(shù)，則有。若維數(shù)為有窮正整數(shù)，稱相應(yīng)系統(tǒng)為有窮維系統(tǒng)，所有集總參數(shù)系統(tǒng)；若維數(shù)為無窮大，稱相應(yīng)系統(tǒng)為無窮維系統(tǒng)，所有分布參數(shù)系統(tǒng)；第九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期日四、狀態(tài)空間表達(dá)式建立的舉例一般步驟：選取狀態(tài)變量由機(jī)理法列原始動態(tài)方程化為規(guī)范形式導(dǎo)出狀態(tài)變量方程和輸出變量方程導(dǎo)出狀態(tài)方程和輸出方程例1例2例3第十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期日第二節(jié)由微分方程求狀態(tài)空間表達(dá)式一、微分方程中不含有輸入信號導(dǎo)數(shù)項先看一個簡單的例子狀態(tài)變量的選取！圖1－12再看一般化的階微分方程向量、矩陣形式為第十一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期日

圖1－13第十二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期日二、微分方程中含有輸入信號的導(dǎo)數(shù)項先看一個簡單的例子狀態(tài)變量選擇再引入中間變量其中為待定系數(shù)，反解出及其導(dǎo)數(shù)項，再帶入上式，等式兩邊同次冪項的系數(shù)應(yīng)該第十三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期日相等，解得待定系數(shù)為且得到系統(tǒng)狀態(tài)方程記成向量、矩陣形式圖1－14第十四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期日再看一般化的階微分方程選取個狀態(tài)變量

(1-33)

則系統(tǒng)方程為第十五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期日

其中第十六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期日

系統(tǒng)的狀態(tài)圖如圖圖1－15例1－4第十七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期日第三節(jié)傳遞函數(shù)矩陣一、傳遞函數(shù)定義，初始松弛系統(tǒng)，輸入量輸出量之間的關(guān)系，外部描述。SISO線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為其中，對上式取拉氏變換，系統(tǒng)輸出量對輸入量的傳遞函數(shù)為第十八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期日例1－5。二、傳遞函數(shù)陣MIMO線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為其中，系統(tǒng)輸出量對輸入量的傳遞函數(shù)陣為第十九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期日其中，表示只有第j輸入作用時第i個輸出量對第j個輸入量的傳遞函數(shù)。例1－7耦合與解耦第二十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期日三、正則（嚴(yán)格正則）有理傳遞函數(shù)（矩陣）傳遞函數(shù)未必是S的有理函數(shù)。如延遲系統(tǒng)的傳遞函數(shù)；有理函數(shù)是正則的，若當(dāng)S為時，是有限常量；有理函數(shù)是嚴(yán)格正則的，若當(dāng)S為時，；非正則傳函系統(tǒng)在實際工程中是不能應(yīng)用的。第二十一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期日四、閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣參考圖1－17前向通道的傳遞函數(shù)矩陣為，反饋通道的傳遞函數(shù)為，若誤差向量為，則開環(huán)傳遞函數(shù)矩陣從到的傳遞函數(shù)矩陣閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣從到的傳遞函數(shù)矩陣第二十二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期日五、傳遞函數(shù)矩陣描述與狀態(tài)空間描述的比較對于松弛與非松弛系統(tǒng)，狀態(tài)空間都可以描述；對于線性定常與時變系統(tǒng)，狀態(tài)空間都可以描述；對于機(jī)理不甚明確的復(fù)雜系統(tǒng)，可以建立傳函模型，但建狀態(tài)空間模型較難；反映的信息量不一樣；第二十三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期日第四節(jié)離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型連續(xù)系統(tǒng)：輸入和輸出都是時間的連續(xù)函數(shù)離散系統(tǒng)：系統(tǒng)的輸入、輸出以及狀態(tài)等僅定義在一些離散時間點上，假設(shè)離散時間是等間隔的并用T表示，稱時間T為采樣周期。用表示，用表示，。離散系統(tǒng)模型：狀態(tài)空間表達(dá)式；線性定常離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)；第二十四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期日一、狀態(tài)空間表達(dá)式1.差分方程中不含有輸入量差分項先看一個簡單例子如果選取連續(xù)的三個時刻輸出作為狀態(tài)變量，令第二十五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期日狀態(tài)方程：向量、矩陣形式：或系統(tǒng)的狀態(tài)圖：第二十六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期日

階線性定常差分方程選取作為狀態(tài)變量，則系統(tǒng)狀態(tài)方程為輸出方程第二十七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期日2.差分方程中含有輸入量差分項先看一個簡單例子類似于連續(xù)系統(tǒng)選取狀態(tài)變量的做法，即第二十八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期日其中，待定系數(shù)可按下列方程求得系統(tǒng)狀態(tài)方程輸出方程第二十九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期日可以寫為系統(tǒng)狀態(tài)圖如圖1－19。例1－8多輸入多輸出線性時變離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式第三十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期日二、脈沖傳遞函數(shù)（矩陣）對于線性定常離散系統(tǒng)的差分方程形式或狀態(tài)空間描述，通過變換，在初始松弛條件下，可求脈沖傳遞函數(shù)（矩陣），以方程(1-64)為例。第三十一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期日第三十二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期日例1－9如果系統(tǒng)為SISO線性定常離散系統(tǒng)，即系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為正則、嚴(yán)格正則第三十三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期日第五節(jié)線性變換一、等價系統(tǒng)方程1.線性定常系統(tǒng)某個基底下的系統(tǒng)方程引入型非奇異變換矩陣，對狀態(tài)變量進(jìn)行線性變換。第三十四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期日變換以后得到系統(tǒng)方程方程(1-70)經(jīng)過基底變換(1-71)得到方程(1-75)，稱這兩個方程描述的系統(tǒng)為互為等價系統(tǒng)方程。2.線性時變系統(tǒng)引入型非奇異變換矩陣，且對所有都是非奇異且連續(xù)的。第三十五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期日變換以后得到系統(tǒng)方程方程(1-76)經(jīng)過基底變換(1-77)得到方程(1-81)，稱這兩個方程描述的系統(tǒng)為互為等價系統(tǒng)方程。二、線性變換的基本特性（要求自己能證明）1.線性變換不改變系統(tǒng)特征值（乘積的行列式等于各行列式的乘積）2.線性變換不改變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)第三十六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期日二、化系數(shù)矩陣A為標(biāo)準(zhǔn)形指一般型的A陣化為對角型、約當(dāng)型、模態(tài)型特征向量：設(shè)是型矩陣A的特征值，若存在一個維非零向量使成立，則稱為A的對于于特征值的特征向量1.當(dāng)A陣的個特征值互異時，化A陣為對角陣對應(yīng)每個特征值，求出特征向量，得到例1－10第三十七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期日若A陣為如下形式范德蒙特(Vandermonde)矩陣。例1－11第三十八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期日2.化A陣為約當(dāng)（Jordan）形陣若矩陣A的n個特征值中有重特征值時，可分為雖有重特征值，但矩陣A仍有n個獨立的特征向量，即每個重特征值所對應(yīng)的獨立特征向量數(shù)恰好等于重特征值的重數(shù)；和沒有重特征值情況一樣；陣A若有m個重特征值，能化為對角陣的充要條件是A