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3.1曲線上一點(diǎn)處的切線蘇教版數(shù)學(xué)選修1-1)aT)aT
求曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線的斜率。f(x0+x)x0+xQx0Py=f(x)Oxyf(x0)β))Q)QMΔxΔy設(shè)曲線C是函數(shù)y=f(x)的圖象,在曲線C上取一點(diǎn)及鄰近的一點(diǎn),過P、Q兩點(diǎn)作割線,并過P點(diǎn)作x軸的平行線MP、過Q點(diǎn)作y軸的平行線MQ,那么)aTy=f(x)Oxy))QΔy建構(gòu)數(shù)學(xué)PQoxyy=f(x)割線切線T我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線無限接近點(diǎn)P,即Δx無限趨近于0時(shí),若割線PQ有一個(gè)極限位置PT.則我們把直線PT稱為曲線在點(diǎn)P處的切線.βy=f(x)PQMΔxΔyOxyPy=f(x)QMOxy
如圖,曲線C是函數(shù)的圖象,是曲線C上的任意一點(diǎn),為P鄰近一點(diǎn),PQ為C的割線,則割線PQ的的斜率為即:當(dāng)Δx無限趨近于0時(shí)ΔxΔyPy=f(x)QMOxy當(dāng)點(diǎn)Q沿曲線C向點(diǎn)P運(yùn)動(dòng),并無限靠近點(diǎn)P時(shí),割線PQ逼近點(diǎn)P的切線L,從而割線的斜率逼近切線的斜率.無限趨近于點(diǎn)P處的切線的斜率.這個(gè)概念:①提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一種方法;②切線斜率的本質(zhì)——函數(shù)平均變化率的極限.注:(1)切線是割線的極限位置,切線的斜率是割線斜率一個(gè)極限.(2)若割線在P點(diǎn)有極限位置,則在此點(diǎn)有切線,且切線是唯一的;如不存在,則在此點(diǎn)處無切線;例1:求曲線y=f(x)=x2+1在點(diǎn)P(1,2)處的切線的斜率.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx解:設(shè)當(dāng)無限趨近于0時(shí),無限趨近于常數(shù)2,從而曲線在點(diǎn)P處的切線斜率為2數(shù)學(xué)運(yùn)用隨堂練習(xí)1.2.隨堂練習(xí)1.()3.-1D4.如圖,已知曲線,求:
(1)點(diǎn)P處的切線的斜率;(2)點(diǎn)P處的切線方程.
yx-2-112-2-11234OP5.解:(1)能從極限的角度理解曲線在點(diǎn)P處切線的定義;課堂小結(jié)(2)能求曲線在點(diǎn)P處切線的斜率及方程;課外作業(yè)1、課本P65習(xí)題42、新課標(biāo)P108-P109
備用:已知曲線上一點(diǎn)P(1,2),用斜率的定義求過點(diǎn)P的切線的傾斜角和切線方程.故過點(diǎn)P的切線方程為:y-2=1?(x-1),即y=x+1.練習(xí):求曲線上一點(diǎn)P(1,-1)處的切線方程.答案:y=3x
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