自考復(fù)習(xí)專題：線性代數(shù)第5章

第五部分特征值與特征向量本章討論方陣的特征值和特征向量，進(jìn)而討論方陣能與對(duì)角陣相似的充分必要條件以及實(shí)對(duì)稱陣與對(duì)角陣相似的問題。5.1特征值與特征向量5.1.1特征值與特征向量的定義定義5.1.1設(shè)A是一個(gè)n階方陣，入是一個(gè)數(shù)。如果存在一個(gè)非零的n維列向量p,使得Ap=Xpo則稱入為方陣A的一個(gè)特征值，稱p為A的屬于特征值入的特征向量。由以上定義容易看出，D為A的屬于特征值入的特征向量—p是齊次方程組（入E-A）=0的非零解。:星手,板圖示0501-01由此可見，入為方陣a的一個(gè)特征值°|厲定義5.1.2稱帶參數(shù)入的方陣XE-A為方陣A的特征方陣，稱，皿）=I?&為A的特征多項(xiàng)式,稱|紀(jì)-牛。為A的特征方程。愁=2,愁=2,■=為A的特征多項(xiàng)式？看“11"12a2\a22/一國［十叮卩慶十們今2叩2囹2為二次多項(xiàng)式。對(duì)n階方陣為二次多項(xiàng)式。對(duì)n階方陣是一個(gè)n次多項(xiàng)式。所以n階方陣A的特征方程是一元n次方程，容易知道，n階方陣A在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，有n個(gè)根（重根按重?cái)?shù)進(jìn)行計(jì)算）。所以n階方陣A在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)必有n個(gè)特征值（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）。

手寫板圖示0501-02^+1=0例（叫-1糜-2）'（工-3）‘=0=1,X.=X/2孤=毛=瓦=31+2+3=6而當(dāng)入是A的特征值時(shí)，齊次方程組（入E-A）X=0的所有非零解都是A的屬于特征值X的特征向量。。=的所有特征值和所有特征向量。【答疑編號(hào)12050101]卩E一O=月兌=0<=>項(xiàng)］=A這說明，n階0矩陣的n個(gè)特征值都是0。對(duì)于任給的n維非零向量p,都有Ap=0=0p,所以p都是0矩陣的屬于特征值0的特征向量。例2當(dāng)陟-?！銜r(shí)，2是A的特征值。當(dāng)韻+御=0時(shí)，入二 是A的特征值?！敬鹨删幪?hào)12050102]建靈手寫板圖示0501-03|A￡—j4|=0則;I為|A￡—j4|=0則;I為k的特征值. 3 _--■—--4=02二人=一:為A的一個(gè)特征值-例3設(shè)A例3設(shè)A是一個(gè)n階方陣，且滿足出=時(shí)辦證明：T是矩陣A的特征值。【答疑編號(hào)12050103]”關(guān)手寫板圖示0501-04|^-J4|=OnX是|^-J4|=OnX是A的特征值=緋4了5=風(fēng)"『十”=仇I5十電丁=|』俾+』| '-■|j4|<0[1+(-國b]|甘+，|=0 1+(-跳>0■■■俾十圳=。 .??T是A的-個(gè)恃征值例4設(shè)A是一個(gè)n階方陣，且ANE。如果廣以+妙)+廣3一電)小，證明：-1是矩陣A的特征值?！敬鹨删幪?hào)12050104].?雋手寫板圖示0501-05■要證\A+E\=d要證\A+E\=d只要證心+町')<”?.?心_恥）手1又心+EJ+r（AfQ=Hr（N+尻）Wn-L5.1.2關(guān)于特征值和特征向量的若干結(jié)論命題1方陣的特征值未必是實(shí)數(shù)?！?11,日-1 .A= ，|兒占―= =兒'+1聞k火_]Q [只例5設(shè)L」顯然，=士"即特征值都是復(fù)數(shù)。命題2三角形矩陣的特征值就是它主對(duì)角線上的所有元素。_r§手寫板圖示0501-06 一一-一一 如-"=3-旬1）3-相…annann是由的全體特征值命題3設(shè)巧是矩陣A的一個(gè)特征值，均'巧是矩陣A屬于特征值用的特征向量，外柘是兩個(gè)任意數(shù)，則當(dāng)M口必葺時(shí)，Wl+q巧也是矩陣a屬于特征值為的特征向量?！鰧懓鍒D示。5Q1FT證:納二爲(wèi)占=爲(wèi)W.'.A[kyP十珞g）=十k^AF^—R爲(wèi)坦+灼A）孔=爲(wèi)（咼*+電潟、）■.■尤擊+灼w孟0.'.上嗇+灼w是』表示特征值爲(wèi)的特征向重定理5.1.1n階方陣A與它的轉(zhuǎn)置有相同的特征值。這只要看心-A這只要看心-AT值得注意的是刃「與A未必有相同的特征向量。X所以=n卬」不是建的特征向量。（此題給出了判斷向量是否是AX所以=n卬」不是建的特征向量。（此題給出了判斷向量是否是A的特征向量的方法）?！敬鹨删幪?hào)12050105］定理5.1.2設(shè)々'叱定理5.1.2設(shè)々'叱■^是n階方陣力的全體特征值。則￡4=切&="[]中山？2+■,,+口浴j,n勾=1引。1=1 1=1，舞手寫板圖示0501-08-A=2?_（司］+Q錦）見十代］母紀(jì)-

二人_（缶1十勺J兀+14

十為=佝J十晚22制2=怛|、 、r, ?、亠f國=-電方4-a 1必一'+■.?+口1工+In定理5.1.3設(shè)A為n階萬陣,『、'部 職-1 1 0八A）=%來十%］缽T十…十時(shí)十氣E為對(duì)應(yīng)的方陣多項(xiàng)式。如果非零向量p滿足Ap=Xp, f（A）p=f（入）p。這表明，如果入是A的特征值，則f（入）就是方陣f（A）的特征值，且如果p是方陣A屬于特征值入的特征向量，則p也是方陣f（A）屬于特征值f（入）的特征向量。..善手寫板圖示0502-01A?是A的特征值卩攔。Ap=XpA2p=A（Ap）=A（X.p）=A（Ap）=A-（Ap）v2二A-p（A￡+2A+3E）p=A￡p+2Ap+3p=経p+2Xp+Sp=（X2十汴十3）p f（A）p=f（X）pr^B=^?-2A+3E的所有特征值。【答疑編號(hào)12050201].■丟手寫?圖示0502-02~12_解；"= 廢司為A的所有L。3」特征值，E=f(A)=V-韭+3E二B的特征值為心槌(3)即2,6二毗恃征值為涌例8已知n階方陣A2-A-6^=。，求A的所有特征值?！敬鹨删幪?hào)12050202],寧手寫板圖示0502-03te：'.'fU)=a2-a-se=o以心的結(jié)征值為。設(shè)&的特征值為卜則X2-X-6=0即(入■一3)(A+2)=0丄1=3j標(biāo)=~2.■-A的特征值為3或點(diǎn)定理5.1.4設(shè)A是可逆方陣，入是A的一個(gè)特征值,p是方陣A屬于特征值入的特征向量，則入NO,且p是方陣A」屬于特征值元的特征向量。

?，手寫,圖示0502-04uE：---x是由的一個(gè)特征值.■/成可逆陣IaI^o又I止為M■■■MiXHO.q是a的特征值,二存在pho,使得Ap=A.p用左乘兩邊得p=XA-1p■_■丄壬o..?虹七二土口???￡＜『'的一個(gè)特征值P是「屬于特征值％的特征向量定理5.1.5設(shè)外叱'…濕止是矩陣A的k個(gè)兩兩不相同的特征值，且旳分別是關(guān)于■V*&的特征向量。則，/W母線性無關(guān)。.,共手,板圖示05只對(duì)k=2證明證Pijp2是也屬于M 的特征向童,M王晟考慮k1P1+k2p2=0①用醫(yī)乘得 A_Ck]P[+蛉電)=0即0丄[口[十處易p廣Q②*1①得k1婦卩]Hz丄1P2=0 ③②-③得k2(^2_^1)P￡=0.??改產(chǎn)口A-?p—Ji]LJ.■.：&有蜓=0同理知ki=0■■■%,改線性無關(guān)5.1.3關(guān)于求特征值和特征向量的一般方法A=24例9求出盧4A=24例9求出盧226」的特征值和線性無關(guān)的特征向量?！敬鹨删幪?hào)12050203]聲手寫■圖示聲手寫■圖示0502-06（丄E一山）k=0（丄E一山）k=02E-A=-4-2-4_2120o0jF000X-2-2X+40①HT)②(k-2)-2A■-3-2-1011-20=(A-2)2-2X-3-2-101?矣手寫?圖示0502-07=d/di）得X]-\<2.=2jM3二U是A的全部特征值.當(dāng)X[二M駕時(shí)，取為相，氣為自由未知藐.?■手寫,圖示0502-08■■-山的屬于特征值2的線性無關(guān)的特征向重-1-1-1Pl=當(dāng)^3=11時(shí)(11E-A)k=0是瀉于11的持征向量是瀉于11的持征向量5-2~4~1-41-2S-2F；-9-4-4-25-4-251-411-41018-902-10-18900011E-A=212L?矣手寫板圖示0502-10是誦三個(gè)線性無關(guān)的特征的向重.解（1）寫出特征多項(xiàng)式A-6-2-4A-6-2-4A-6-2-4-22-3-2—-2見一3-2=0f-2見-3-2-4-2A-62-A01-2-101厲一副=3_2)-2^+401-20100(』-2)-2A-3-2-2A-3-2=牛2)“-2-2-10-101-1-21二（貝-2）氣』—11）得兀=4=2,&=11為的全部特征值。卜面求A的特征向量。當(dāng)&===2時(shí),A的屬于該特征值的線性無關(guān)的特征向量就是齊次方程組心=0的基礎(chǔ)解2E-A='-4-22E-A='-4-2_4一_212_-2-1-2T000_-4-2_4__000_P1=取的，電為自由未知數(shù)，得A的屬于特征值2的線性無關(guān)的特征向量-12，刃=_0_當(dāng)4=11時(shí)，則A的屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量就是齊次方程組P1=取的，電為自由未知數(shù)，得A的屬于特征值2的線性無關(guān)的特征向量-12，刃=_0_當(dāng)4=11時(shí)，則A的屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量就是齊次方程組（11丹-旦）I-101：0的基礎(chǔ)解系。而_5-2-4"_1-4'1-4I-1迅-如-28-2TQ18_9->02-1-4-25Q-189000取沔自由未知數(shù)，得的屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為所以'-I-'-I-~22，刃=0，實(shí)＞=1_0__1_2Pi=2是矩陣A的三個(gè)線性無關(guān)的特征向量。例10求矩陣的特征值和特征向量?！敬鹨删幪?hào)12050204](X—2)(X—4)X-4.,晶的全部特征值為M=處=幻丄3=4Oi-1211當(dāng)A-]=A9—2jE—A=0-11T01-1-2-1-1000————110101二（舄一2）‘（X—4）小結(jié)：（1） 求特征值特征向量的方法步驟。（2） 對(duì)于A的二重特征值，可能有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，也可能只有一個(gè)線性無關(guān)的特征向量。一般，若入二a是A的k重特征值，A至多有k個(gè)屬于入二a的線性無關(guān)的特征向量。（可能少于k個(gè)?。╆P(guān)手寫板圖示0502-13 r-r牛111■■r21-inp1-r為=4時(shí);招=01】T0】】L-2-11 0001 J ■■11 ri'0莉）為A屬于情征值[1J[1』的全部特征同置丄睥是網(wǎng)的全部建性無關(guān)的特征向宣例11設(shè)n階方陣"斃了）的每一行中元素之和同為a,證明：a是矩陣"=%了）的特征值，并求出它屬于該特征值的一個(gè)特征向量?！敬鹨删幪?hào)12050205]手寫板圖示-an+*口+…+#加a丁Ax—a21+尊22+，'二at二aI61+%"?+%」a11—w?,-必為』的一個(gè)特征值（LL…，1/為a感干持征值C3的恃征向重~r_2ira=是j4二121例12求出k的值，使得_i__112_的逆矩陣的特征向量?！敬鹨删幪?hào)12050206]手寫■圖示0502-15解）也是丄的特征向量即存在丄， 1使得Aa=AaF211_「1一「1一即121k=4k112■.1■■1-■2+4+1=X2+2Jt=2it即，3十此=A?ftA②得2十2止二（先十3）先即尸+存-2=。

（上+2）（女一1）二。'?k=-2或k=1小結(jié)特征值和特征向量的定義；入是n階矩陣A的特征值的充分必要條件是|悲-』=0,而齊次方程組R用-4）陣0的所有非零解都是A屬于特征值入的特征向量；3?關(guān)于特征值和特征向量的若干重要結(jié)論；如

*4-X,+■■■+^=trA=廿]]■*■廿2n 1-。演;碼…凡T別A屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān)等4.求矩陣的特征值和特征向量的方法。作業(yè)P135習(xí)題5.12,3,4,5,6,7,8,9,10,115.2方陣的相似變換對(duì)于方陣A,要求』"七**一般來說，這是一個(gè)十分困難的問題。有兩種情況我們會(huì)處理。建袞手寫板圖示而。'-，，雲(yún)J手寫板圖示0503-02而對(duì)一般的方陣A,要求四七十分困難。于是思考能否把求由*的問題轉(zhuǎn)化為求一個(gè)對(duì)角陣的k次冪的問題呢？這首先希望找到A與對(duì)角陣的聯(lián)系。這一節(jié)就討論這個(gè)問題。5.2.1相似矩陣的概念一、定義定義5.2.1設(shè)A,B都是n階方陣。如果存在一個(gè)可逆矩陣P,使得6=尸皿則稱A與B相似，記為A?B。'00__-21", 1_2-r伊二，P—?jiǎng)tP~l=~-05取125-1-2故A與B相似?！敬鹨删幪?hào)12050301]例2設(shè)A,B都是n階方陣。A可逆，則AB與BA相似?！敬鹨删幪?hào)12050302]Vb-寫板圖示-證：二』可逆要證=AB與E白相似BA=^_1|如以存在可逆陣P，使得二AB與昉相似BA=戶一氣航）盧證因?yàn)槎剩ㄑ郏〢=3小）曲二曲，故ab與BA相似。例3設(shè)B是n階方陣，若n階單位陣電與B相似，則~=電?！敬鹨删幪?hào)12050303]/?云手寫?圖示0503-04證'也與％相候 存在可逆陣日使得B=r1EnP=^1P=En、相似矩陣的性質(zhì):（1）反身性；（2）對(duì)稱性；（3）傳遞性。:■手寫，圖示0503-05證⑴任給11階方陣火有A與A相似只要看丄=供"丄與⑵若A與E相似，則E與A也相似???食與日相俱..?存在可逆陣F使得B=FrlAP:.A=務(wù)T=(尸T)1B(廣]二日與A也相似_?宛手寫板圖示0503-06⑶若A與B相似，B與C相以，則A與C相似-.0與E相似，...存在可逆陣P,使得&=P_LAP同理存在可逆陣Q,使得C=Q_1EQ?C=Q_1BQ=Q_1P_1APQ■■=(PQf1A(PQ).■-A與C也相似定理5.2.1設(shè)n階方陣A與B相似，則A與B的特征多項(xiàng)式相同，從而特征值完全相同。從而有圳=固和hA=irB.需注意的是A與B不一定有相同的特征向量。?貝手寫?圖示050307證：..是與E相似.??存在可逆陣F.使得B=F】AP

又下一￡|=卩pi砂一卩一】妒|二"T[XE-A)P二俱-1睥"|f|= —利即H與日有相同的特祉多哽式..畐與E有相同的特征值

只要看例1中,-2_-2_12_■-2_-。一,四=241—0-24」的一個(gè)屬于特征值o的特征向量，但_0Q-_-2_Bp=051—5r-2iroonB=L1」不是矩陣05所以屬于特征值0的特征向量。推論若n階方陣A與三角陣相似，則該三角陣的主對(duì)角元素就是A的所有特征值。推論oo-'10o-0010y0_01A__00-1_且A與B相似。求參數(shù)x,y?！敬鹨删幪?hào)12050304]?關(guān)手寫，圖示0503-08fe---A與B相供二fe---A與B相供二I副二I外；trA.=trB-1=-Vi+"_y"=1/M=.E陽-例5設(shè)n階方陣A與B相似，證明：方陣多項(xiàng)式f(A)與f(B)相似，其中【答疑編號(hào)12050305]手寫■圖示0503-09證L.F與B相似...存在可逆陣F,使得B=P~lAP:.B1=尸頊Pp-1]AF=P~lAiP=P-^Pk二LW,…，in/邙)=￡財(cái)斗心PNT ET=2X(5"=*頃A-l5.2.2方陣與對(duì)角陣相似

pplP2曷pplP2曷P~^AP使得0 0^設(shè)三階方陣A與對(duì)角陣相似。存在可逆陣即％如電是矩陣A的三個(gè)特征值，如P*依次為矩陣A屬于特征值車知也的特征向量。上面的討論對(duì)n階方陣可類似注意尸=[凡P2曷可逆的充分必要條上面的討論對(duì)n階方陣可類似的進(jìn)行。于是有下面的重要定理定理5.2.2n定理5.2.2n階方陣A與對(duì)角陣貳界」相似的充分必要條件是A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。設(shè)“項(xiàng)是A的n個(gè)特征值，和‘旳‘…’為依次是A屬于特征值％ …，項(xiàng)孫的線性無關(guān)的特征向量,巧-如的特征向量,巧-如推論設(shè)n階方陣A有n個(gè)不同的特征值（即特征方程無重根），則A必能和對(duì)角陣相似。（這是充分條件，不是必要條件）分析矩陣不能與對(duì)角陣相似的原因。例6不能與對(duì)角陣相似。例6不能與對(duì)角陣相似。【答疑編號(hào)12050401]_t類;手寫，圖示0504-01xE-A=E-A=0100得_t類;手寫，圖示0504-01xE-A=E-A=0100得CAE-A）^0的基礎(chǔ)解系P=■■■AH有一個(gè)線性無關(guān)的特征向童二A■不能與時(shí)角陣相供2例7判斷L4能否與對(duì)角陣相似？若能，求出變換矩陣P?！敬鹨删幪?hào)12050402]在上一節(jié)例9已求出A的全部特征值&=”2=丄電=11當(dāng)咼=&=2時(shí),A有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量:-1孔二當(dāng)咼=&=2時(shí),A有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量:-1孔二20-10,-1-對(duì)吃一11—，A有一個(gè)線性無關(guān)的特征向量Pi所以是矩陣Pi所以是矩陣A的三個(gè)線性無關(guān)的特征向量。F=IPiP2故A能與對(duì)角陣相似，取變換矩陣2。0尸所二020o必有I。。11-例8判斷矩陣_2-11一.4=03-1-21 能否與對(duì)角陣相似，若相似，求出變換矩陣?！敬鹨删幪?hào)12050403]解在上一節(jié)例10已求出A的全部特征值得A的全部特征值為*2=2例=4Pi=A只有一個(gè)屬于特征值為=13=3'的線性無關(guān)的特征向量所以A沒有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量，故A不能與對(duì)角陣相似。-1-20-2例9設(shè)問A是否相似于對(duì)角陣？若是，則求出其相似標(biāo)準(zhǔn)形?！敬鹨删幪?hào)12050404】

:蒙手寫板圖示0504-02 221一XX—10I-A?-KD=(i-A-fX-3=(1-A?1?-KD=(i-A-fX-3=(1-A?11■7'12-100-1X-31X-201022-1-2122-1~2當(dāng)x{= =[時(shí)XE-A=-212——?000-212■_000"(11)3的全部特征值為扃=猗』痍F，黒■寫板圖示0504-03、取*為約東未知數(shù)，改旳為自由未知數(shù)了了Pi=2F廣0，黒■寫板圖示0504-03、取*為約東未知數(shù)，改旳為自由未知數(shù)了了Pi=2F廣001當(dāng)X3二口時(shí)為j底于、二為土二1的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向重-31~20-21XE-A=-A=漏于匕二口的特征

卩_向量電=11L■手寫板圖示0504-04取P=PiP2P3為山的相似標(biāo)準(zhǔn)形例10已知三階方陣A的三個(gè)特征值為*=L叱="向=T與它們對(duì)應(yīng)的特征向量分別為:3廠【23廠【2—21]=【―N_]N求矩陣A。【答疑編號(hào)12050405]【答疑編號(hào)12050405]C第手寫板圖示0504-05F=PiP如2-2-2-112AC第手寫板圖示0504-05F=PiP如2-2-2-112A二例11設(shè)1」，求砂。10-10-1P_122-21-2-12-102【答疑編號(hào)12050406］?關(guān)手寫板圖示0504-06、■A=21IM土巳二*1.mx+i）得a的特征值xL=3,a2=-i當(dāng)W3時(shí)皿修扣叩二的二［；］是山屬于L二3的特征向重當(dāng)丄2=-1時(shí)*E-A=［；?.?「2七］是源于特征值A(chǔ)L的特征向量，手寫板圖示-M11111-1-1-1~-11P_1AP=300-1A=P300-1P_1AnP_1AP=300-1A=P300-1P_1An=P0-10-1TlF_1=F-1—]tp)—pP~L300-1n.,nn『_時(shí)L3+(-1) 3+(-1)n,_\口+1n,ji3十(一1) 3 +(-1)小結(jié)主要概念：相似的定義和性質(zhì)。n階方陣能與對(duì)角陣相似的充分必要條件；及充分條件(特征方程無重根)。主要習(xí)題類型：判斷n階方陣能否與角陣相似，相似時(shí)，求出變換矩陣。已知方陣的全部特征值和n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，求矩陣A利用相似矩陣的性質(zhì)求矩陣中的未知參數(shù)。作業(yè)P144習(xí)題5.21.(1),(2),(5),2,3,4(2),55.3向量內(nèi)積和正交矩陣5.3.1向量的內(nèi)積、定義定義5.3.1設(shè)定義5.3.1設(shè)都是n維實(shí)向量。皿#)=氣杵+】尹A+…十%^3=&為句=女貝定義 為CL與B的內(nèi)積。顯然，江與B的內(nèi)積的內(nèi)積是一個(gè)實(shí)數(shù)，所以內(nèi)積也稱數(shù)量積。例］設(shè)冥=(-，-3,-2,7)危=(4,-電0)求它們的內(nèi)積。【答疑編號(hào)12050501］解(A用=一4+6-2=。二、性質(zhì)交換律(a,B)=(B,a)

（1）線性性質(zhì)（如1十知％卽=岷乳⑶十碩約頊;=0的充分必要條件是a=0o正定性對(duì)任意的CL，總有（CL,CL）巳0,且（CL,=0的充分必要條件是a=0o（叫①=%+%中…+獨(dú)=NG只要看 1』 『1（4）許瓦茲不等式K心劍亀ese用（*）而且式（*）中等式成立的充分必要條件是a與B線性相關(guān)。（證明從略）三、向量的長度定義5.3.2設(shè)十…十為向量CL的長度。當(dāng)間1=1時(shí)，稱向量a為單位向量。抑22^7=1-顯然，CL為單位向量1=1向量長度的性質(zhì)：（1）非負(fù)性：同河且||圳=口0出.（2）齊次性：恤IH那時(shí),關(guān)手寫板圖示?5.5-01l|m||=、（m業(yè)口）=、詳（口』口）=回小叮）=|"|冋I只要看||如||=虹心=。㈣），十^卩‘十…十（知城）'=歷賦十*」…十展=RIH-（3）三角形不等式枉+到目岡+落

/血邛傳加肘引許瓦盆不等式|（口!B）|J||M，||印，證II□十B|「=（口十Bn十B）=（□,□）*（□,B）十]b，B）=I叫，+家L8）+||B『w||ci||氣加』bHIB『]]朋回川B||十||耶=（||口||上?.f||釗回卻B||可見，n維向量長度的性質(zhì)與三維向量長度的性質(zhì)相同。顯然，基本單位向量號(hào)=竹°"■1■""1為單位向量。1對(duì)于任意的非零向量11^11為單位向量，稱它為a的單位化向量。^||=1O1^||=1O ￡1'因?yàn)閘id因?yàn)槿菀卓闯觯?dāng)k/O時(shí)，kcl的單位化向量與a的單位化向量相同。例2對(duì)于a=（1,2,3）。求它的單位化向量?！敬鹨删幪?hào)12050502]網(wǎng)頊+'+礦=應(yīng),所以，它的單位化向量為|網(wǎng)成’g請(qǐng)自已讀例3（p147）,目的搞清楚每個(gè)式子是否有意義。四、向量的正交與正交向量組定義5.3.3若（a,B）=0，則稱向量a與B正交。顯然零向量與任何向量都正交。

定義5.3.4如果一個(gè)同維向量組不含零向量，且其中任意兩個(gè)向量都正交（兩兩正交），則稱該向量組為正交向量組。例3在民‘中，氣=卩丄與=①丄％=（艮°」）一個(gè)正交向量組。且為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。（還是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基）?！敬鹨删幪?hào)12050503]例4求一個(gè)單位向量x,使得即垂直于a=（1,1,1）又垂直于B=（1.-2,1）。【答疑編號(hào)12050504]L走手,板圖示0505-04解設(shè)vJl.則（財(cái)）=。.〔跖卩）=0,即A-解設(shè)vJl.則（財(cái)）=。.〔跖卩）=0,即A--20-30010得即為所求將x單位化得定理5.3.1正交向量組必線性無關(guān)。證-設(shè) ???□!!,是正交向重組考慮klal+k2a2+■■■+k<nam=0兩邊與ai（i=1j2r■m）做內(nèi)積得k1（Gija1）+---+v1（a1_ljaL）+k1（aljCL1）+5*+ig]）+-fL）=o?口」…口m是正交向重組」（口八口」。杓）■,- 即k】||旳|F=0.I閩溟Q肪有始二。（i=iMl"）嘰吃一心線性無關(guān).5.3.2施密特正交化手續(xù)能否根據(jù)給定的一個(gè)線性無關(guān)向量組，構(gòu)造出與它等價(jià)的正交向量組。為使&丄（吃81）=（吃崗）-晝1（崗，崗）=。'■成=；齢）&=俱-*展廣跪盤為使為丄％兩邊與&做內(nèi)積，得私8卩=&四-k3ic6t,B]*戒.&，&i）

=（購島）-旳邛1值）=?！?-.k kj￡aA）（61，E（氐為施密特正交化手續(xù).【答疑編號(hào)12050505]

b-安手寫■圖示0505-0S解：取&=口1=耳=口廠瞼1崗=*些鳥）（鳥關(guān)）03_201I閡I1~201I閡I1~2_—00-3-131————（口3，島）口 （口饑&）n&3=四-始出1吐睨&二口3_俱],崗）斗-￡耳）堤1-1-1下辺單位化置食;寓即為所求?5.3.3 正交矩陣一、定義定義5.3.5如果n階實(shí)方陣A滿足世”=&碑,則稱A為正交矩陣。例6證明下列矩陣為正交矩陣（1）區(qū)內(nèi)因?yàn)轷艢乱?由所以耳5為正交陣?！敬鹨删幪?hào)12050601]1_uO=A\]/2【答疑編號(hào)12050602]卜走手寫板圖示楓00VE互2200VE互222_叵22■■■A為正交陣(3)cos^sin(3)cos^sin日cos^【答疑編號(hào)12050603]手寫板圖示0506-02cos9sin手寫板圖示0506-02cos9sin6cos0—sin.6-sin0cos6-sin0cos6sinBcos0一cos6sLii0+一cos6sLii0+sin9cosBnn與+COS￡6一win.Bcas日+cqs0sin日湛正交陣二、正交矩陣的性質(zhì)如果A是正交陣，則俱卜:■手寫，圖示?506-03如果A是正交陣，則A必可逆，且兒T二』『；正交陣的逆，轉(zhuǎn)置和伴隨陣都是正交陣；-■手寫板圖示0506-04AAT=EA可逆，且&T二jCA1A=E尸"都是正交陣.A1??.罪儂??.罪儂f)(lW

=|a|2 (A1)rlr=ea也正交設(shè)A,B都是正交陣，則它們的乘積仍為正交陣;,妄手寫板圖示0506-05證（AB）（AB）T=A（BBr）AJ=AEZ=E...曲也是正交陣設(shè)A是n階正交陣，cl,B都是n維向量，則日?qǐng)A=（它崗。特別，定細(xì)，應(yīng)HM。關(guān)手寫板圖示證 3")WE(Act, )=(Aa7 二a1jj"二十E=(3)當(dāng)R二。時(shí)得Ua,Aa)=(oc,a)即問勺商而E同I定理5.3.2n階方陣是正交陣的充分必要條件是它的行（列）向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。手寫板圖示050507 證=設(shè)煲正交矩陣，設(shè)卜囪頊?zhǔn)?口］園CL礦.??勺耶一電叩&財(cái)■.一電0J' '''=Ef?y口妄手寫板圖示0506-08QjiQiHjLiUil012■■■OCin）Qj2_QjTl—=aniiji+Hijaj2+---+HirLajTL=（功皿），賓手寫板圖示0506-09L.象手寫板圖示0506-10即Qi!az,--■!an構(gòu)成標(biāo)準(zhǔn)正交向童組.反之，若也，…，an=EMr==E例7判斷下列矩陣是否為正交陣1(1)-11(1)-1222 2-122-1【答疑編號(hào)12050604]10-10(2)01(2)【答疑編號(hào)12050605]例8設(shè)x為n維單位列向量。證明是對(duì)稱正交陣。且有Hx=-x【答疑編號(hào)12050606]「衰手寫,圖示0506-11IT1 1 1TT皿H=(En-2sKT)=En-(2kk)睫對(duì)稱陣HH'=(En-2sKT)(Er器舟)=En-2KKT-2sK_r4'4KKl嘉嘉’=Er-4Ks7+4k(ktk)s7.,運(yùn)手寫?圖示12X為單位向重，ktk=1HHn=En 皖正交陣Hit=（En_2KK'）K=EnK_2K（S'=k-2k=-k. 命題得證例9設(shè)A是n階正交陣。入是A的一個(gè)特征值。證明入NO,且』也是A的一個(gè)特征值。【答疑編號(hào)12050607]?■手寫板圖示0剛偵證a￡正交陣，.■-必可逆^0又山T=FA土是虬1=忒的恃征值而山與布相同的特征值土也是A的特征值.小結(jié)向量a與B內(nèi)積的定義與性質(zhì)；向量長度的定義，如何將向量單位化；兩向量正交與正交向量組的定義，正交向量組必線性無關(guān)；施密特正交化手續(xù)；正交矩陣的定義和性質(zhì)。作業(yè)p153習(xí)題5。31，5（1）,6,7,85.4實(shí)對(duì)稱矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形5.4.1實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)定理5.4.1實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值必為實(shí)數(shù)。定理5.4.2實(shí)對(duì)稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量相互正交。證.設(shè)"為實(shí)對(duì)稱陣A的兩個(gè)恃征值且%-必」。，夕分別為A屬于特征值石，為的特征向重要證度丄P.即加二015）=（標(biāo)#=枷用）（如仞=〔加）麟=次①”）■■■AT=A-”「（A#）=快丁&#=.（口」們=為WM）即（■-Y）（球）二口M以.?.必有0成）二。二廈與#正交（”丄多定義5.4.1設(shè)A,B都是n階方陣，若存在正交陣P使得B=P~lAP,則稱A與B正交相似。定理5.4.3（實(shí)對(duì)稱矩陣的基本定理）設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱陣，則A必能與對(duì)角陣正交相似，即存在正交陣P，使得其中，"丁是方陣A的n個(gè)特征值。反之，凡是正交相似于對(duì)角陣的實(shí)方陣一定是實(shí)對(duì)稱陣。_?玉手寫板圖示0507-02/0■■O'證.設(shè)』與A=0志-0正交相似0 0■■■A_即存在一個(gè)正交陣RI吏得P~XAP=NH=PNP-1逐二（FAF-叩二C時(shí)=/)=P%P~'=A二R為對(duì)禰陣我們證明定理的后半部分。設(shè)A是n階方陣，存在正交陣P使得則H二瓢尸二FAW,故4二（P帶〉二恰序二缽產(chǎn)二A,即A為對(duì)稱陣。5.4.2求正交陣，使實(shí)對(duì)稱陣正交相似于對(duì)角形設(shè)A是實(shí)對(duì)稱陣。要求正交陣P,使得設(shè)A是實(shí)對(duì)稱陣。要求正交陣P,使得尸敏為對(duì)角形。卜面看例題。32丄"2012320，求正交陣和對(duì)角陣0用」，使得F項(xiàng)F二人?！敬鹨删幪?hào)12050701]kk走手寫板圖示0507-03解:Ci)求A的結(jié)征值IS-A=C^-3)'^-2iU-l.=0得A的全部恃征值為:&=1,&二％%=3L芙手寫板圖示0507-04(2)求A的特征向重-1-211,急手寫転圖示.50T-Q5取與，眄為約束未知數(shù)，耗為自由未知數(shù)，得弓=為A屬于特征值4=1的特征向重12121202120100取如此為約束末知教，貫N為自由未知數(shù)，得--「與=10:關(guān)手寫板圖示0507-06當(dāng)柘=3時(shí)（3E—A）X=QP3=是漏于特征值3的特征向重ll矣手寫板圖示0507-07解(1)求A的特征值A(chǔ)--212A--212012A--20A-3=C4_g_2)M_l)=Q(2)求特征向量^E-A=1^E-A=1212012120當(dāng)&二1時(shí),如=得矩陣A的屬于特征值刀二1的特征向量AE-A=1212012120-2當(dāng)爲(wèi)=2時(shí),P2得矩陣A的屬于特征值日=2的特征向量-13S-A=3P2得矩陣A的屬于特征值日=2的特征向量-13S-A=321202320'13O''13o'T3100-g0T000