平面向量復(fù)習(xí)講義及平面向量高考真題精選(一)

第1頁（共1頁）平面向量復(fù)習(xí)一．向量有關(guān)概念：1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）。2．零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：，注意零向量的方向是任意的；3．單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量(與共線的單位向量是)；4．相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；5．平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，記作：∥，規(guī)定零向量和任何向量平行。注：①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；②兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個向量平行包含兩個向量共線,但兩條直線平行不包含兩條直線重合；③平行向量無傳遞性！（因為有)；④三點共線共線；6．相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－?！揪毩?xí)】1、下列命題：（1）若，則。（2）兩個向量相等的充要條件是它們的起點相同，終點相同。（3）若，則是平行四邊形。（4）若是平行四邊形，則。（5）若，則。（6）若，則。其中正確的是_______二．向量的表示方法：1．幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如，注意起點在前，終點在后；2．符號表示法：用一個小寫的英文字母來表示，如，，等；3．坐標表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標系，以與軸、軸方向相同的兩個單位向量，為基底，則平面內(nèi)的任一向量可表示為，稱為向量的坐標，＝叫做向量的坐標表示。如果向量的起點在原點，那么向量的坐標與向量的終點坐標相同。三．平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)、，使a=e1＋e2。ABABCDEF1、若，如何用，表示？2、下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是A.B.C.D.3、已知分別是的邊上的中線,且,則可用向量表示為_____（答：）；4、在平行四邊形ABCD中，點E和F分別是邊CD和BC的中點，且eq\o(AC,\d\fo1()\s\up14(→))＝meq\o(AE,\d\fo1()\s\up14(→))＋neq\o(AF,\d\fo1()\s\up14(→))，其中m，n∈R，則m＋n＝.5、在邊長為2的菱形ABCD中，BAD＝60，E為CD中點，AE與BD相交于點F，（1）用，表示。（2）求出eq\o(\s\up8(),\s\do1(AE))eq\o(\s\up8(),\s\do1(BD))．四．實數(shù)與向量的積：實數(shù)與向量的積是一個向量，記作，它的長度和方向規(guī)定如下：當>0時，的方向與的方向相同，當<0時，的方向與的方向相反，當＝0時，，注意：≠0。五．平面向量的數(shù)量積：1．兩個向量的夾角：對于非零向量，，作，稱為向量，的夾角，當＝0時，，同向，當＝時，，反向，當＝時，，垂直。2．平面向量的數(shù)量積：如果兩個非零向量，，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積或點積），記作：，即＝。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0，注意數(shù)量積是一個實數(shù)，不再是一個向量。如【練習(xí)】1、△ABC中，，，，則_________（答：－9）；2、已知，與的夾角為，則等于____（答：1）；3、已知，則等于____（答：）；4、已知是兩個非零向量，且，則的夾角為____（答：）3．在上的投影為，它是一個實數(shù)，但不一定大于0。練習(xí)：已知，，且，則向量在向量上的投影為__（答：）4．的幾何意義：數(shù)量積等于的模與在上的投影的積。5．向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個非零向量，，其夾角為，則：①；②當，同向時，＝，特別地，；當與反向時，＝－；當為銳角時，＞0，且不同向，是為銳角的必要非充分條件；當為鈍角時，＜0，且不反向，是為鈍角的必要非充分條件；③非零向量，夾角的計算公式：；④。1、已知，，如果與的夾角為銳角，則的取值范圍是______（答：或且）；2、已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，則△ABC為（）A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.不等邊三角形3、已知的面積為，且，若，則夾角的取值范圍是_________（答：）；六．向量的運算：1．幾何運算：①向量加法：利用“平行四邊形法則”進行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，如此之外，向量加法還可利用“三角形法則”：設(shè)，那么向量叫做與的和，即；②向量的減法：用“三角形法則”：設(shè)，由減向量的終點指向被減向量的終點。注意：此處減向量與被減向量的起點相同?！揪毩?xí)】1、化簡：①___；②____；③_____2、若正方形的邊長為1，，則＝_____2．坐標運算：設(shè)，則：①向量的加減法運算：，。②實數(shù)與向量的積：。③若，則，即一個向量的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標。【練習(xí)】1、設(shè)，且，，則C、D的坐標分別是_____2、已知點，，若，則當＝____時，點P在第一、三象限的角平分線上3、已知，，則④平面向量數(shù)量積：。如1、已知向量＝（sinx，cosx）,＝（sinx，sinx）,＝（－1，0）。（1）若x＝，求向量、的夾角；（2）若x∈，函數(shù)的最大值為，求的值⑤向量的模：。如1、已知均為單位向量，它們的夾角為，那么＝_____（答：）；2、（2009年廣東卷）一質(zhì)點受到平面上的三個力，，（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態(tài)．已知成角，且，的大小分別為２和４，則的大小為3、已知共面向量，均為單位向量，它們的夾角兩兩相同，求的值。⑥兩點間的距離：若，則。七．向量的運算律：1．交換律：，，；2．結(jié)合律：，；3．分配律：，。練習(xí)：下列命題中：①；②；③；④若，則或；⑤若則；⑥；⑦；⑧；⑨。其中正確的是______注：（1）向量運算和實數(shù)運算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以一個實數(shù)，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量，切記兩向量不能相除(相約)；（2）向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即，為什么？八．向量平行(共線)的充要條件：＝0?！揪毩?xí)】1、若向量，當＝_____時與共線且方向相同2、已知，，，且，則x＝______3、設(shè)，則k＝_____時，A,B,C共線九．向量垂直的充要條件：.1、已知，若，則2、已知向量，且，則的坐標是________十一、向量中一些常用的結(jié)論：（1）一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運用；（2），特別地，當同向或有；當反向或有；當不共線(這些和實數(shù)比較類似).平面向量高考真題精選（一）一．選擇題（共20小題）1．（2017?新課標Ⅱ）設(shè)非零向量，滿足|+|=|﹣|則（）A．⊥ B．||=|| C．∥ D．||＞||2．（2017?新課標Ⅱ）已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點，則?（+）的最小值是（）A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣13．（2017?浙江）如圖，已知平面四邊形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC與BD交于點O，記I1=?，I2=?，I3=?，則（）A．I1＜I2＜I3 B．I1＜I3＜I2 C．I3＜I1＜I2 D．I2＜I1＜I34．（2017?新課標Ⅲ）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若=λ+μ，則λ+μ的最大值為（）A．3 B．2 C． D．25．（2016?四川）已知正三角形ABC的邊長為2，平面ABC內(nèi)的動點P，M滿足||=1，=，則||2的最大值是（）A． B． C． D．6．（2016?新課標Ⅱ）已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）⊥，則m=（）A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．87．（2016?天津）已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，點D、E分別是邊AB、BC的中點，連接DE并延長到點F，使得DE=2EF，則?的值為（）A．﹣ B． C． D．8．（2016?山東）已知非零向量，滿足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），則實數(shù)t的值為（）A．4 B．﹣4 C． D．﹣9．（2016?四川）在平面內(nèi)，定點A，B，C，D滿足==，?=?=?=﹣2，動點P，M滿足=1，=，則||2的最大值是（）A． B． C． D．10．（2016?新課標Ⅲ）已知向量=（，），=（，），則∠ABC=（）A．30° B．45° C．60° D．120°11．（2015?新課標Ⅰ）設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點，，則（）A． B．C． D．12．（2015?新課標Ⅰ）已知點A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），則向量=（）A．（﹣7，﹣4） B．（7，4） C．（﹣1，4） D．（1，4）13．（2015?四川）設(shè)向量=（2，4）與向量=（x，6）共線，則實數(shù)x=（）A．2 B．3 C．4 D．614．（2015?山東）已知菱形ABCD的邊長為a，∠ABC=60°，則=（）A．﹣a2 B．﹣a2 C．a(chǎn)2 D．a(chǎn)215．（2015?四川）設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，||=6，||=4，若點M、N滿足，，則=（）A．20 B．15 C．9 D．616．（2015?安徽）△ABC是邊長為2的等邊三角形，已知向量，滿足=2，=2+，則下列結(jié)論正確的是（）A．||=1 B．⊥ C．?=1 D．（4+）⊥17．（2015?廣東）在平面直角坐標系xOy中，已知四邊形ABCD是平行四邊形，=（1，﹣2），=（2，1）則?=（）A．5 B．4 C．3 D．218．（2015?重慶）若非零向量，滿足||=||，且（﹣）⊥（3+2），則與的夾角為（）A． B． C． D．π19．（2015?重慶）已知非零向量滿足||=4||，且⊥（）則的夾角為（）A． B． C． D．20．（2015?福建）設(shè)=（1，2），=（1，1），=+k，若，則實數(shù)k的值等于（）A．﹣ B．﹣ C． D．二．填空題（共8小題）21．（2017?新課標Ⅰ）已知向量，的夾角為60°，||=2，||=1，則|+2|=．22．（2017?天津）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，則λ的值為．23．（2017?北京）已知點P在圓x2+y2=1上，點A的坐標為（﹣2，0），O為原點，則?的最大值為．24．（2017?山東）已知，是互相垂直的單位向量，若﹣與+λ的夾角為60°，則實數(shù)λ的值是．26．（2017?新課標Ⅰ）已知向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量+與垂直，則m=．27．（2016?新課標Ⅰ）設(shè)向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，則m=．28．（2016?山東）已知向量=（1，﹣1），=（6，﹣4），若⊥（t+），則實數(shù)t的值為．三．解答題（共2小題）29．（2017?山東）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b=3，=﹣6，S△ABC=3，求A和a．30．（2015?廣東）在平面直角坐標系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx的值；（2）若與的夾角為，求x的值．

平面向量高考真題精選（一）參考答案與試題解析一．選擇題（共20小題）1．（2017?新課標Ⅱ）設(shè)非零向量，滿足|+|=|﹣|則（）A．⊥ B．||=|| C．∥ D．||＞||【解答】解：∵非零向量，滿足|+|=|﹣|，∴，解得=0，∴．故選：A．2．（2017?新課標Ⅱ）已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點，則?（+）的最小值是（）A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1【解答】解：建立如圖所示的坐標系，以BC中點為坐標原點，則A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），設(shè)P（x，y），則=（﹣x，﹣y），=（﹣1﹣x，﹣y），=（1﹣x，﹣y），則?（+）=2x2﹣2y+2y2=2[x2+（y﹣）2﹣]∴當x=0，y=時，取得最小值2×（﹣）=﹣，故選：B3．（2017?浙江）如圖，已知平面四邊形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC與BD交于點O，記I1=?，I2=?，I3=?，則（）A．I1＜I2＜I3 B．I1＜I3＜I2 C．I3＜I1＜I2 D．I2＜I1＜I3【解答】解：∵AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，∴AC=2，∴∠AOB=∠COD＞90°，由圖象知OA＜OC，OB＜OD，∴0＞?＞?，?＞0，即I3＜I1＜I2，故選：C．4．（2017?新課標Ⅲ）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若=λ+μ，則λ+μ的最大值為（）A．3 B．2 C． D．2【解答】解：如圖：以A為原點，以AB，AD所在的直線為x，y軸建立如圖所示的坐標系，則A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），∵動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上，設(shè)圓的半徑為r，∵BC=2，CD=1，∴BD==∴BC?CD=BD?r，∴r=，∴圓的方程為（x﹣1）2+（y﹣2）2=，設(shè)點P的坐標為（cosθ+1，sinθ+2），∵=λ+μ，∴（cosθ+1，sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），∴cosθ+1=λ，sinθ+2=2μ，∴λ+μ=cosθ+sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值為3，故選：A5．（2016?四川）已知正三角形ABC的邊長為2，平面ABC內(nèi)的動點P，M滿足||=1，=，則||2的最大值是（）A． B． C． D．【解答】解：如圖所示，建立直角坐標系．B（0，0），C．A．∵M滿足||=1，∴點P的軌跡方程為：=1，令x=+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）．又=，則M，∴||2=+=+3sin≤．∴||2的最大值是．故選：B．6．（2016?新課標Ⅱ）已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）⊥，則m=（）A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8【解答】解：∵向量=（1，m），=（3，﹣2），∴+=（4，m﹣2），又∵（+）⊥，∴12﹣2（m﹣2）=0，解得：m=8，故選：D．7．（2016?天津）已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，點D、E分別是邊AB、BC的中點，連接DE并延長到點F，使得DE=2EF，則?的值為（）A．﹣ B． C． D．【解答】解：如圖，∵D、E分別是邊AB、BC的中點，且DE=2EF，∴?========．故選：C．8．（2016?山東）已知非零向量，滿足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），則實數(shù)t的值為（）A．4 B．﹣4 C． D．﹣【解答】解：∵4||=3||，cos＜，＞=，⊥（t+），∴?（t+）=t?+2=t||?||?+||2=（）||2=0，解得：t=﹣4，故選：B．9．（2016?四川）在平面內(nèi)，定點A，B，C，D滿足==，?=?=?=﹣2，動點P，M滿足=1，=，則||2的最大值是（）A． B． C． D．【解答】解：由==，可得D為△ABC的外心，又?=?=?，可得?（﹣）=0，?（﹣）=0，即?=?=0，即有⊥，⊥，可得D為△ABC的垂心，則D為△ABC的中心，即△ABC為正三角形．由?=﹣2，即有||?||cos120°=﹣2，解得||=2，△ABC的邊長為4cos30°=2，以A為坐標原點，AD所在直線為x軸建立直角坐標系xOy，可得B（3，﹣），C（3，），D（2，0），由=1，可設(shè)P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），由=，可得M為PC的中點，即有M（，），則||2=（3﹣）2+（+）2=+==，當sin（θ﹣）=1，即θ=時，取得最大值，且為．故選：B．10．（2016?新課標Ⅲ）已知向量=（，），=（，），則∠ABC=（）A．30° B．45° C．60° D．120°【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC=30°．故選A．11．（2015?新課標Ⅰ）設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點，，則（）A． B．C． D．【解答】解：由已知得到如圖由===；故選：A．12．（2015?新課標Ⅰ）已知點A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），則向量=（）A．（﹣7，﹣4） B．（7，4） C．（﹣1，4） D．（1，4）【解答】解：由已知點A（0，1），B（3，2），得到=（3，1），向量=（﹣4，﹣3），則向量==（﹣7，﹣4）；故答案為：A．13．（2015?四川）設(shè)向量=（2，4）與向量=（x，6）共線，則實數(shù)x=（）A．2 B．3 C．4 D．6【解答】解；因為向量=（2，4）與向量=（x，6）共線，所以4x=2×6，解得x=3；故選：B．14．（2015?山東）已知菱形ABCD的邊長為a，∠ABC=60°，則=（）A．﹣a2 B．﹣a2 C．a(chǎn)2 D．a(chǎn)2【解答】解：∵菱形ABCD的邊長為a，∠ABC=60°，∴=a2，=a×a×cos60°=，則=（）?==故選：D15．（2015?四川）設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，||=6，||=4，若點M、N滿足，，則=（）A．20 B．15 C．9 D．6【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，點M、N滿足，，∴根據(jù)圖形可得：=+=，==，∴=，∵=?（）=2﹣，2=22，=22，||=6，||=4，∴=22=12﹣3=9故選：C16．（2015?安徽）△ABC是邊長為2的等邊三角形，已知向量，滿足=2，=2+，則下列結(jié)論正確的是（）A．||=1 B．⊥ C．?=1 D．（4+）⊥【解答】解：因為已知三角形ABC的等邊三角形，，滿足=2，=2+，又，∴的方向應(yīng)該為的方向．所以，，所以=2，=1×2×cos120°=﹣1，4=4×1×2×cos120°=﹣4，=4，所以=0，即（4）=0，即=0，所以；故選D．17．（2015?廣東）在平面直角坐標系xOy中，已知四邊形ABCD是平行四邊形，=（1，﹣2），=（2，1）則?=（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：由向量加法的平行四邊形法則可得，==（3，﹣1）．∴=3×2+（﹣1）×1=5．故選：A．18．（2015?重慶）若非零向量，滿足||=||，且（﹣）⊥（3+2），則與的夾角為（）A． B． C． D．π【解答】解：∵（﹣）⊥（3+2），∴（﹣）?（3+2）=0，即32﹣22﹣?=0，即?=32﹣22=2，∴cos＜，＞===，即＜，＞=，故選：A19．（2015?重慶）已知非零向量滿足||=4||，且⊥（）則的夾角為（）A． B． C． D．【解答】解：由已知非零向量滿足||=4||，且⊥（），設(shè)兩個非零向量的夾角為θ，所以?（）=0，即2=0，所以cosθ=，θ∈[0，π]，所以；故選C．20．（2015?福建）設(shè)=（1，2），=（1，1），=+k，若，則實數(shù)k的值等于（）A．﹣ B．﹣ C． D．【解答】解：∵=（1，2），=（1，1），∴=+k=（1+k，2+k）∵，∴?=0，∴1+k+2+k=0，解得k=﹣故選：A二．填空題（共8小題）21．（2017?新課標Ⅰ）已知向量，的夾角為60°，||=2，||=1，則|+2|=2．【解答】解：【解法一】向量，的夾角為60°，且||=2，||=1，∴=+4?+4=22+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴|+2|=2．【解法二】根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示；結(jié)合圖形=+=+2；在△OAC中，由余弦定理得||==2，即|+2|=2．故答案為：2．22．（2017?天津）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，則λ的值為．【解答】解：如圖所示，△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，=2，∴=+=+=+（﹣）=+，又=λ﹣（λ∈R），∴=（+）?（λ﹣）=（λ﹣）?﹣+λ=（λ﹣）×3×2×cos60°﹣×32+λ×22=﹣4，∴λ=1，解得λ=．故答案為：．23．（2017?北京）已知點P在圓x2+y2=1上，點A的坐標為（﹣2，0），O為原點，則?的最大值為6．【解答】解：設(shè)P（cosα，sinα）.=（2，0），=（cosα+2，sinα）．則?=2（cosα+2）≤6，當且僅當cosα=1時取等號．故答案為：6．24．（2017?山東）已知，是互相垂直的單位向量，若﹣與+λ的夾角為60°，則實數(shù)λ的值是．【解答】解：，是互相垂直的單位向量，∴||=||=1，且?=0；又﹣與+λ的夾角為60°，∴（﹣）?（+λ）=|﹣|×|+λ|×c