計(jì)算方法第二章數(shù)值積分

計(jì)算方法第二章數(shù)值積分第一頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一引言依據(jù)微積分基本定理,只要找到被積函數(shù)的原函數(shù)，，

便有牛頓-萊伯尼茲公式

由于大量的被積函數(shù)找不到用初等函數(shù)表示的原函數(shù)，而實(shí)驗(yàn)測(cè)量或數(shù)值計(jì)算給出的通常是一張函數(shù)表，所以牛頓-萊伯尼茲公式往往不能直接運(yùn)用。因此有必要研究積分的數(shù)值計(jì)算問題。牛頓(Newton,1643年-1727)

萊布尼茨（GottfriedWilhelmLeibniz，1646年－1716年）第二頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一數(shù)值求積的基本思想1依據(jù)積分中值定理，

就是說，底為而高為的矩形面積恰恰等于所求曲邊梯形的面積。

第三頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一數(shù)值求積的基本思想2依據(jù)積分中值定理，

就是說，底為而高為的矩形面積恰恰等于所求曲邊梯形的面積。

取內(nèi)若干個(gè)節(jié)點(diǎn)處的高度，通過加權(quán)平均的方法生成平均高度，這類求積公式稱機(jī)械求積公式：

式中稱為求積節(jié)點(diǎn)，稱為求積系數(shù)，亦稱伴隨節(jié)點(diǎn)的權(quán)。重要第四頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一代數(shù)精度的概念1數(shù)值求積方法是近似方法，為保證精度，自然希望所提供求積公式對(duì)于“盡可能多”的函數(shù)是準(zhǔn)確的。如果機(jī)械求積公式對(duì)均能準(zhǔn)確成立，但對(duì)不準(zhǔn)確，則稱機(jī)械求積公式具有次代數(shù)精度。

重要第五頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一代數(shù)精度的概念2第六頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一代數(shù)精度的概念3第七頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一代數(shù)精度的概念4數(shù)值求積方法是近似方法，為保證精度，自然希望所提供求積公式對(duì)于“盡可能多”的函數(shù)是準(zhǔn)確的。如果機(jī)械求積公式對(duì)均能準(zhǔn)確成立，但對(duì)不準(zhǔn)確，則稱機(jī)械求積公式具有次代數(shù)精度。事實(shí)上，令求積公式對(duì)準(zhǔn)確成立，即得可見，在求積公式節(jié)點(diǎn)給定的情況下，求積公式的構(gòu)造問題本質(zhì)上是個(gè)解線性方程組的代數(shù)問題。m=n時(shí),存在唯一解.第八頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一插值型的求積公式設(shè)已給在節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值，作插值多項(xiàng)式

其中

由于多項(xiàng)式的求積是容易的，令

這樣得到的求積公式稱為插值型的求積公式，其求積系數(shù)為定理

機(jī)械求積公式至少有次代數(shù)精度的充分必要條件是它是插值型的。重要第九頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一定理的證明第十頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一第十一頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一第十二頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一3.2牛頓－柯特斯公式設(shè)分為等份，步長，取等分點(diǎn)

構(gòu)造出的插值型求積公式（其中）稱作階牛頓－柯特斯公式(Newton-Cotes)。Cotes系數(shù)與a,b無關(guān).第十三頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一牛頓－柯特斯公式2設(shè)分為等份，步長，取等分點(diǎn)

構(gòu)造出的插值型求積公式（其中）稱作階牛頓－柯特斯公式。一階和二階牛頓－柯特斯公式分別是梯形公式,柯特斯系數(shù)見P.61,8階柯特斯系數(shù)中有負(fù)數(shù).和辛甫生公式四階牛頓－柯特斯公式，也稱為柯特斯公式：重要第十四頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一第十五頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一幾種低階求積公式的代數(shù)精度階的牛頓－柯特斯公式至少有次代數(shù)精度，事實(shí)上，二階的辛甫生公式與四階的柯特斯公式在精度方面會(huì)獲得“額外”的好處，它們分別有3次和5次代數(shù)精度。因此，在幾種低階的牛頓－柯特斯公式中，人們更感興趣的是梯形公式（它最簡(jiǎn)單、最基本），辛甫生公式和柯特斯公式。第十六頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一幾種低階求積公式的余項(xiàng)1第十七頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一幾種低階求積公式的余項(xiàng)2第十八頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一幾種低階求積公式的余項(xiàng)利用線性插值的余項(xiàng)公式以及積分中值定理，我們可以得到梯形公式的余項(xiàng)：利用埃爾米特插值的余項(xiàng)公式以及積分中值定理我們可以得到辛甫生公式的余項(xiàng)：

另外，我們可以得到如下柯特斯公式的積分余項(xiàng)：第十九頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一復(fù)化求積公式在使用牛頓－柯特斯公式時(shí)，通過提高階的途徑并不總能取得滿意的效果，為了改善求積公式的精度，一種行之有效的方法是復(fù)化求積。類似于等距離分段插值.將分為等份，步長,分點(diǎn)所謂復(fù)化求積公式，就是先用低階的求積公式求得每個(gè)子段上的積分值，然后用作為積分的近似值。復(fù)化梯形公式有如下形式：其余項(xiàng)為：第二十頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一復(fù)化求積公式2第二十一頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一復(fù)化求積公式的截?cái)嗾`差第二十二頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一第二十三頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一梯形法的遞推化實(shí)際計(jì)算中，由于要事先給出一個(gè)合適的步長往往很困難，所以我們往往采用變步長的計(jì)算方案，即在步長逐步分半的過程中，反復(fù)利用復(fù)化求積公式進(jìn)行計(jì)算，直到所求得的積分值滿足精度要求為止。設(shè)表示復(fù)化梯形求得的積分值，其下標(biāo)是等分?jǐn)?shù)，由此則有遞推公式其中，第二十四頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一梯形法的遞推化2第二十五頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一第二十六頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一梯形法的加速梯形法的算法簡(jiǎn)單，但精度低，收斂的速度緩慢。如何提高收斂速度以節(jié)省計(jì)算量呢？

由復(fù)化梯形公式的截?cái)嗾`差公式可得，整理得，

這可以作為事后誤差估計(jì).同時(shí)由此可知，

這樣導(dǎo)出的加速公式是辛甫生公式：第二十七頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一龍貝格算法1第二十八頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一龍貝格算法2我們可以在步長逐步分半過程中將粗糙的積分值逐步加工為精度較高的積分值：或者說將收斂緩慢的梯形值序列加工成收斂迅速的積分值序列，這種加速方法稱為龍貝格算法。第二十九頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一龍貝格算法3第三十頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一作業(yè)第三十一頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一第三十二頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一高精度的求積公式不失一般性，設(shè)，考慮下列求積公式,有n個(gè)系數(shù)和n個(gè)節(jié)點(diǎn).

我們將會(huì)看到，適當(dāng)選取系數(shù)和求積節(jié)點(diǎn)可以使上述求積公式具有次代數(shù)精度，這種高精度的求積公式稱為高斯（Gauss）公式，高斯公式的求積節(jié)點(diǎn)稱為高斯點(diǎn)。Gauss(1777-1855)是德國數(shù)學(xué)家，也是科學(xué)家，他和牛頓、阿基米德，被譽(yù)為有史以來的三大數(shù)學(xué)家,有“數(shù)學(xué)王子”之稱。高斯最出名的故事就是他十歲時(shí)，計(jì)算算術(shù)題：1＋2＋3…＋100＝？。Gauss在數(shù)論、代數(shù)學(xué)、非歐幾何、復(fù)變函數(shù)和微分幾何等方面都做出了開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)。他還把數(shù)學(xué)應(yīng)用于天文學(xué)、大地測(cè)量學(xué)和磁學(xué)的研究，發(fā)明了最小二乘法原理。第三十三頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家卡爾·弗里德里?！じ咚?/p>

高斯（JohannCarlFriedrichGauss）（1777年4月30日—1855年2月23日），生于不倫瑞克，卒于哥廷根，德國著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家、大地測(cè)量學(xué)家。高斯被認(rèn)為是最重要的數(shù)學(xué)家之一，有數(shù)學(xué)王子的美譽(yù)，并被譽(yù)為歷史上偉大的數(shù)學(xué)家之一，和阿基米德、牛頓、歐拉同享盛名。

高斯1777年4月30日生于不倫瑞克的一個(gè)工匠家庭，1855年2月23日卒于哥廷根。幼時(shí)家境貧困，但聰敏異常，受一貴族資助才進(jìn)學(xué)校受教育。1795～1798年在格丁根大學(xué)學(xué)習(xí)1798年轉(zhuǎn)入黑爾姆施泰特大學(xué)，翌年因證明代數(shù)基本定理獲博士學(xué)位。從1807年起擔(dān)任格丁根大學(xué)教授兼格丁根天文臺(tái)臺(tái)長直至逝世。

第三十四頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一

高斯的成就遍及數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，在數(shù)論、非歐幾何、微分幾何、超幾何級(jí)數(shù)、復(fù)變函數(shù)論以及橢圓函數(shù)論等方面均有開創(chuàng)性貢獻(xiàn)。他十分注重?cái)?shù)學(xué)的應(yīng)用，并且在對(duì)天文學(xué)、大地測(cè)量學(xué)和磁學(xué)的研究中也偏重于用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行研究。

1792年，15歲的高斯進(jìn)入Braunschweig學(xué)院。在那里，高斯開始對(duì)高等數(shù)學(xué)作研究。獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)式定理的一般形式、數(shù)論上的“二次互反律”(LawofQuadraticReciprocity)、“質(zhì)數(shù)分布定理”(primenumertheorem)、及“算術(shù)幾何平均”(arithmetic-geometricmean)。

1795年高斯進(jìn)入哥廷根大學(xué)。1796年，19歲的高斯得到了一個(gè)數(shù)學(xué)史上極重要的結(jié)果，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》。5年以后，高斯又證明了形如"Fermat素?cái)?shù)"邊數(shù)的正多邊形可以由尺規(guī)作出。

1855年2月23日清晨，高斯于睡夢(mèng)中去世。第三十五頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一高斯的肖像已經(jīng)被印在從1989年至2001年流通的10德國馬克的紙幣上日本元福澤諭吉，近代啟蒙思想家和教育家。明治維新時(shí)期的日本重要大臣。日本元新渡戶稻造，大教育家，農(nóng)學(xué)家。名著——《武士道》,”東京大學(xué)預(yù)備校“一高”的校長、東京女大的首任校長。第三十六頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一Gauss公式1第三十七頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一Gauss公式2第三十八頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期一高斯點(diǎn)的基本特性盡管高斯點(diǎn)的確定原則上可以化為代數(shù)問題，但是由于所歸結(jié)的方程組是非線性的，而它的求解存在實(shí)質(zhì)性的困難，所以我們要從研究高斯點(diǎn)的基本特性著手解決高斯公式的構(gòu)造問題。設(shè)是求積公式中的高斯點(diǎn)，令則有如下結(jié)論：定理

節(jié)點(diǎn)是高斯點(diǎn)的充分必要條件是多項(xiàng)式