2023年高數(shù)大一下期末試卷

千里之行，始于足下讓知識帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦高數(shù)大一下期末試卷一、挑選題（每小題4分，共16分）

1、設(shè)22{(,)|1,0,0}Dxyxyxy=+≤≥≥，則σ=??（）

(A)

43π(B)23π(C)13π(D)16

π2、若級數(shù)1nnu∞

=∑和1

nnv∞

=∑都發(fā)散，則下列級數(shù)中必發(fā)散的是（）

(A)1()n

nnu

v∞

=+∑(B)

2

21

()n

n

nu

v∞

=+∑(C)

1

nn

nuv

∞

=∑(D)

1

()n

nnu

v∞

=+∑

3、若

1

(1)

n

n

nax∞

=-∑在2x=-處收斂，則此級數(shù)在3x=處（）

(A)肯定收斂(B)條件收斂(C)發(fā)散(D)收斂性不能確定

4、計(jì)算dIzVΩ

=???，其中Ω為曲面22zxy=+及平面1z=所圍成的立體，則正確的解法為（）

(A)2110

dddIrrzzπθ=???(B)2211

dddr

Irrzzπθ=???

(C)2110

dddr

Irrzzπθ=???(D)120

dddz

Izzrrπθ=???

二、填空題（每小題4分，共24分）

1、設(shè)Ω是由球面222xyzz++=所圍成的閉區(qū)域，則=V???

。

2、設(shè)曲線Γ：22210

xyzxyz?++=?++=?，則2()dxysΓ

+=?。

3、設(shè)L為上半圓周y(0)a>及x軸所圍成的區(qū)域的囫圇邊界，沿逆時針方向，則

2

dL

y

x=?。

4、設(shè)∑是平面

1234

xyz

++=在第一卦限的部分，則4(2)d3xyzS∑++=??。

5、函數(shù)()arctanfxx=在0x=處的冪級數(shù)綻開式為，其收斂域?yàn)椤?/p>

6、設(shè)1

()sinnnSxbnx∞

==

∑，x-∞）

2、(A類)計(jì)算]22

[()2dIxyzyzS∑

=+++??，其中∑是球面22222xyzxz++=+。

(Ｂ類)計(jì)算2

2()dIxyS∑

=

+??

，其中∑

為錐面z1z=所圍成的區(qū)域的囫圇

邊界曲面。

3、(A類)計(jì)算3222()ddddddIxzxyzxyzzxxzxy∑

=+--??，其中∑是拋物面

222zxy=--(12)z≤≤的上側(cè)。

(Ｂ類)計(jì)算222()dd()dd()ddIyzyzzxzxxyxy∑

=-+-+-??，其中∑是錐面

z(01)z≤≤的下側(cè)。

4、(A類)設(shè)012,,,aaa為等差數(shù)列0(0)a≠，試求：

（1）冪級數(shù)

n

nnax∞

=∑的收斂半徑；（2）數(shù)項(xiàng)級數(shù)02

n

n

na∞

=∑

的和。(Ｂ類)求冪級數(shù)1(1)

n

nxnn∞

=+∑的收斂域以及和函數(shù)；

5、(A類)推斷級數(shù)111

2

2

1(1)[ln(1)]nnn

n∞

--

-=--+∑的收斂性，是肯定收斂還是條件收斂？

(Ｂ類)推斷級數(shù)1

1

ln(1)nnn

n

∞

-=-∑的收斂性，是肯定收斂還是條件收斂？6、(A類)將函數(shù)()2fxx=+(01)x≤≤綻開成以2為周期的余弦級數(shù)，并求2

11

nn

∞

=∑

的和。(B類)將函數(shù)2

()fxx=(0)xπ≤≤綻開成以2π為周期的余弦級數(shù)。

附加題（10分）（選做題）

設(shè)函數(shù)()fx在(,)-∞+∞內(nèi)具有一階延續(xù)導(dǎo)數(shù)，L是上半平面(0)y>內(nèi)的有向分段光潔曲線,起點(diǎn)為(,)ab,盡頭為(,)cd,當(dāng)abcd=時,求

2

221[1()]d[()1]dLxIyfxyxyfxyyyy

=

++-?

一、DDAB二、1．

10π，2．32π3．33

4a-4．614

５．1

2022)1(+∞

=∑+-nnnxn；]1,1[-６．??

?±=x時，011

1)(>+-='x

xf，因此對0>?x，)(xf單調(diào)遞增且0)0()(=>fxf。對級數(shù)

111

2

2

1

(1)

[ln(1)]nnn

n∞

-

-

-=--+∑來說，1112

2

2

ln(1)()0n

nfn-

-

-

-+=>，說明它是交叉級數(shù)。又

1

111112

2

2

2

2

2

ln(1)()((1))(1)

ln[1(1)]n

nfnfnnn--

-

+=>+=+-++且112

2

lim[ln(1)]0nn

n-

-

→∞

-+=，由萊布尼茲判別法

知，該級數(shù)收斂。

另外，因2

00011ln(1)111limlimlim,

22(1)2xxx

xxxxxx

+++

→→→-

-++===+故112

2

ln(1)1

lim,12nnnn

-

-

→∞

-+=這說明級數(shù)1

12

2

1

[ln(1)]nn

n∞

--=-+∑是發(fā)散的。

綜上所述，級數(shù)111

2

2

1

(1)[ln(1)]nnn

n∞

--

-=--+∑是條件收斂的。

（B類）對級數(shù)1

1ln(1)nnnn

∞

-=-∑，因ln0nn≥（1,2,...n=），說明它是交叉級數(shù)。當(dāng)2n>時，lnln(1)

1nnnn+>

+，且lnlim

0nn

n

→∞=，由萊布尼茲判別法知，該級數(shù)收斂。

另外，因lnlim,1nn

nn

→∞=+∞這說明對級數(shù)1

lnnnn∞

=∑，它是發(fā)散的。綜上所述，級數(shù)1

1

ln(1)nnn

n

∞

-=-∑是條件收斂的。5．（A類）解：對函數(shù)()fx偶周期延拓，先求延拓后函數(shù)的傅里葉級數(shù)：

?=+=1

05d)2(2xxa；

]

)1(1[2

]cos1sin2[2d)cos()2(2221

221

0nnnxnnxnnxxxnxa=++=+=?ππππππ

?????

=-=-=k

nknn20

12422π,...2,1=k；

0=nb

得22

1541()~cos(21)2(21)

nfxnxnππ∞=∑因延拓后的函數(shù)在(,)-∞+∞是延續(xù)的，從而

2

2

1

541

()cos(21)2(21)

nfxnxnππ

∞

==∑01x≤≤

最后求級數(shù)211

nn

∞

=∑：由2

215412(0)2(21)nfnπ∞

===--∑，得2

2

11(21)8nnπ∞

==-∑。又2222

2111

11111184(21)(2)nnnnnnnnπ∞

∞∞

∞=====+=+-∑∑∑∑，得2

21

16nnπ∞

==∑。

（B類）對函數(shù)()fx偶周期延拓，先求延拓后函數(shù)的傅里葉級數(shù)：

20

203

2

d2

ππ

π?

==

xxa；

nnnnxnnxnxnxnxxxnxa)1(4]sin2cos2sin[2d)cos(2

20

3220

2

-=-+==

?

π

π

ππ

0=nb

得2211(1)()~4cos3n

nfxnxn

π∞

=-+∑。

因延拓后的函數(shù)在(,)-∞+∞是延續(xù)的，從而

2211(1)()4cos3n

nfxnxn

π∞

=-=+∑0xπ≤≤

附加題．解：記21[1()]Pyfxyy=

+，22[()1]x

Qyfxyy

=-，則

2222111[1()][2()()]()()Pyfxyyfxyxyfxyxyfxyfxyyyyy?''=-+++=+-?，2322211[()1]()()()Qxyfxyyfxyxyfxyfxyxyyy

?''=-+?=+-?所以

PQyx??=??，這說明曲線積分2

22

1[1()][()1]LxIyfxydxyfxydyyy=++-?在上半平面內(nèi)與積分路徑L無關(guān)，只與起止點(diǎn)有關(guān)。

取1:Lyb=(:)xac→，2:Lxc=(:)ybd→，則

2221[1()]d[()1]dLx

Iyfxyxyfxyyyy

=++-?

12

2221[1()]d[()1]dLLx

yfxyxyfxyyyy

+=++-?

1222222211[1()]d[()1]d[1()]d[()1]dLLxx

yfxyxyfxyyyfxyxyfxyyyyyy

=++-+++-??

2221

[1(