2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊訓(xùn)練05運(yùn)算思維之二次根式的應(yīng)用專練（解析版）（蘇科版）

專題05運(yùn)算思維之二次根式的應(yīng)用專練（解析版）

錯(cuò)誤率：易錯(cuò)題號：

一、單選題

1.已知實(shí)數(shù)X，y滿足卜-5|+后二i=0,則X，y的值為兩邊長的等腰三角形的周長是（）

A.21或18B.21C.18D.以上均不對.

【標(biāo)準(zhǔn)答案】A

【思路指引】

根據(jù)非負(fù)數(shù)的意義列出關(guān)于x、y的方程并求出x、y的值，再根據(jù)x是腰長和底邊長兩種情況討論求

解.

【詳解詳析】

解：根據(jù)題意得

x-5=0x=5

f。解得

y=8

⑴若5是腰長，則三角形的三邊長為：5、5、8,能組成三角形，周長為5+5+8=18；

⑵若5是底邊長，則三角形的三邊長為：5、8、8,能組成三角形，周長5+8+8=21：

即等腰三角形的周長是21或18.

故選：A.

【名師指路】

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系；解題主要利用了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，分情

況討論求解時(shí)要注意利用三角形的三邊關(guān)系對三邊能否組成三角形做出判斷，根據(jù)題意列出方程是正確

解答本題的關(guān)鍵.

2.我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他著作《數(shù)書九章》一書中，給出了著名的秦九韶式，也叫三斜求積公

式，即如果一個(gè)三角形的三邊分別為a,b,c,S為面積，則該三角形的面積公式為S=

）2,已知工ABC的三邊分別是3,77和0,則-43C的面積是（）.

B.逑

C.273D.3

2

【標(biāo)準(zhǔn)答案】A

【思路指引】

根據(jù)二次根式乘法、乘方、最簡二次根式的性質(zhì)，利用已知運(yùn)算公式，將數(shù)據(jù)代入代數(shù)式計(jì)算，即可得

到答案.

【詳解詳析】

???△ABC的三邊分別是3,療和即。=3,b=",C=V2

.?.△ABC的面積S=J；a2h2一（礦

故選：A.

【名師指路】

本題考查了二次根式運(yùn)算的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式乘法、最簡二次根式的性質(zhì)，從而完

成求解.

3.《九章算術(shù)》中的“方田章”論述了三角形面積的求法：“圭田術(shù)日，半廣以乘正廣”，就是說：“三角形

的面積=底、高+2”，我國著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中也提出了“三斜求積術(shù)“，即可以利用三

22a+bC2

角形的三條邊長來求取三角形面積，用現(xiàn)代式子可表示為：ab-（'2~'）（其中〃、b.1

為三角形的三條邊長，S為三角形的面積）.如圖，在平行四邊形ABCO中，已知48="，AD=6,

對角線80=石，則平行四邊形ABCQ的面積為（）

【標(biāo)準(zhǔn)答案】B

【思路指引】

根據(jù)已知條件的公式計(jì)算即可；

【詳解詳析】

根據(jù)題意可知：a—y/b,b=73?c=4,

V14

,?s△胸='

..S平行四邊形加@-2&施=A/14；

故答案選B.

【名師指路】

本題主要考查了二次根式的應(yīng)用，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

4.中外數(shù)學(xué)家曾經(jīng)針對已知三角形的三邊，求其面積問題進(jìn)行過深入研究，古希臘幾何學(xué)家海倫給出

“海倫公式"：s=[p(p-a)(p-b)(p-c),其中〃="+：+'；我國南宋數(shù)學(xué)家秦九韶給出“秦九韶公式“

§=；卜_『+廠2),若一個(gè)三角形的三邊長分別為2,,4,則其面積是()

3

AV15R3后「3屈n3715

2428

【標(biāo)準(zhǔn)答案】B

【思路指引】

根據(jù)題目中的秦九韶公式，可以求得一個(gè)三角形的三邊長分別為2,3,4的面積，從而可以解答本題.

【詳解詳析】

解：VS=1F從一（、十丁2）

...若一個(gè)三角形的三邊長分別為2,3,4,

則面積是：S」卜x22一（2*當(dāng)」卜6一2=亞.

2V22V44

故選B.

【名師指路】

此題考查二次根式的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于結(jié)合題意列相應(yīng)的二次根式并將其化簡.

5.已知那么〃+■!■的值是（）

aa

A.B.±2&C.-2GD.±76

【標(biāo)準(zhǔn)答案】B

【思路指引】

1」的值，即可求得1的值

根據(jù)a+—+4-a-—,求*

aaa

=(2廚+4

=12

所以，aH—=±2A/^.

a

故選B.

【名師指路】

2

本題考查完全平方公式和二次根式的的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是的關(guān)系.

?+1I與

6.我們把形如〃五+人（。，〃為有理數(shù)，五為最簡二次根式）的數(shù)叫做五型無理數(shù)，如36+1是石

型無理數(shù)，則（6+逐產(chǎn)是（）

A.6型無理數(shù)B.逐型無理數(shù)C.0型無理數(shù)D.小型無理數(shù)

【標(biāo)準(zhǔn)答案】D

【思路指引】

先利用完全平方公式計(jì)算，再化簡得到原式=8+2而，然后利用新定義對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷.

【詳解詳析】

解：（G+百＞=3+2'行+5=8+2后，

所以（G+石產(chǎn)是岳型無理數(shù)，

故選：D.

【名師指路】

本題考查了完全平方公式在二次根式中的計(jì)算，也考查了無理數(shù)，熟練掌握完全平方公式及二次根式的

運(yùn)算法則是解決本題的關(guān)鍵.

7.秦九是我國南宋著名的數(shù)學(xué)家，他與李冶、楊輝、朱世杰并稱宋元數(shù)學(xué)四大家，在他所著的《數(shù)書九

章》中記錄了三斜求積術(shù)，即三角形的面積5=/；“2/,

其中“，b,c為三角形的三

邊長.若一個(gè)三角形的三邊分別為石，布,近，用公式計(jì)算出它的面積為（）

A.-B.返C.V26D.在

222

【標(biāo)準(zhǔn)答案】B

【思路指引】

直接把已知數(shù)據(jù)代入進(jìn)而化筒二次根式得出答案.

【詳解詳析】

解：一個(gè)三角形的三邊分別為逐,指,近，

?.?它的面積是：

，5邛卜6一作臼，

阿（2人

；.S=85x6-4）,

一京=唔

故選：B.

【名師指路】

此題主要考查了二次根式的應(yīng)用，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵.

8.若實(shí)數(shù)x,y滿足等式V775+y2-4.y+4=0,則爐的值是（）

A.-3B.-C.9D.3

9

【標(biāo)準(zhǔn)答案】C

【思路指引】

直接利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出x,y的值，進(jìn)而得出答案.

【詳解詳析】

解：VJC+3+y2-4y+4=0,

x/x+3+(y_2)2=0,

.-.x+3=0,y-2=o,

解得：x=—3,y=2,

則爐=0-3)2=9.

故選：C.

【名師指路】

本題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，正確得出x,y的值是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，從一個(gè)大正方形中裁去面積為18cm2和32cm2的兩個(gè)小正方形，則剩余部分（陰影部分）的面

積等于（）

A.98cm2B.60cm2C.48cm2D.38cm2

【標(biāo)準(zhǔn)答案】C

【思路指引】

22

如圖，由題意知杉BCDM=8C2=32(C7〃2),5,/：^HMFG=HG=1S(cm),得8c=后=4夜(cm),

HG=W=30（cm）,進(jìn)而求得S用f加衍S中啜ABMH+S妒游MDEF.

【詳解詳析】

解：如圖.

2222

由題意知：S,K^BCDM=BC=32(cm),S,,：^HMFG=HG=\^cm).

HC-y/32=4y/2(cm),HG=\[\8=3y/2(cm).

；四邊形是正方形，四邊形HMFG是正方形，

,BC=BM=MD=4V2cm,HM=HG=MF=3五cm.

S陰影部所S矩脛ABMH+S矩眠M(jìn)DEF

=BM?HM+MD，MF

=4拒x3及+4拒x3母

=48(cm2).

故選：C.

【名師指路】

本題主要考查二次根式，熟練掌握二次根式的化簡以及運(yùn)算是解決本題的關(guān)鍵.

10.等腰三角形的兩邊滿足|a—7|+j2A-6=0,則它的周長是()

A.13B.15C.17D.19

【標(biāo)準(zhǔn)答案】C

【思路指引】

由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)先求得a,b,再根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系確定出那個(gè)是腰，進(jìn)而求得周長的值.

【詳解詳析】

解：；\a-l\+y/2b-6=0,

a-7=0,2b-6=0,即a=7,b=3,

V2b=6<7,

，底邊的長為3,腰的長為7,

，周長=7x2+3=17,

故此等腰三角形的周長為17.

故選：C.

【名師指路】

本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是利用等腰三角形的性質(zhì)及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、三角形三邊之間的關(guān)系求

解，以及利用分類討論的思想.

二、填空題

11.已知病-0=aj^-&=b夜，則ab=.

【標(biāo)準(zhǔn)答案】20

【思路指引】

運(yùn)用二次根式化簡的法則先化簡，再得出a,b的值即可.

【詳解詳析】

解：：聞-夜=5夜-0=4夜，

a=5,b=4,

ab=20,

故答案為：20.

【名師指路】

本題考查了二次根式的化筒求值，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式運(yùn)算法則.

12.若一直角三角形兩直角邊的長分別為血,屈,則這個(gè)直角三角形斜邊上的中線為一.

【標(biāo)準(zhǔn)答案】72.

【思路指引】

根據(jù)勾股定理可以求得斜邊長，再根據(jù)斜邊上的中線等于斜邊的一半即可解答

【詳解詳析】

解：???一直角三角形兩直角邊的長分別為0,盡，

，斜邊長為：5(何+(府=通=2垃,

.??這個(gè)直角三角形斜邊上的中線為應(yīng)，

故答案為：無.

【名師指路】

本題考查二次根式的應(yīng)用，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利

用勾股定理解答.

13.對于實(shí)數(shù)a,b,定義運(yùn)算“?”：。?匕='"2例如3*2,因?yàn)?>2,所以3*2=

ab,(avb)

i--------l\2x+3y=5

后方=亞，若X，y滿足方程組j3t+2),_]0，則<.??>')?x=_.

【標(biāo)準(zhǔn)答案】4屈

【思路指引】

先求方程組的解，再求出x*y的值，再代入求出答案即可.

【詳解詳析】

0V_1_(V—4

//s得：則X>y

{3x+2y=10[y=-l

.,“?y=4*(-1)=^42-(-l)2=V15,

v715<4,

(x，y)?A-y/\5?4=Vt5x4=4V15.

故答案為：4715.

【名師指路】

本題考查了二元一次方程組，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解二元一次方程組等知識點(diǎn)，能求出x、y的值是解此題的關(guān)

鍵.

14.已知〃，6均為正數(shù)，且a+b=8,求+9+揚(yáng)+9的最小值.

【標(biāo)準(zhǔn)答案】10

【思路指引】

將“+人8變形a=8—"代入歷+庇3,從而轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P(6,0)到8(8,3)與4(0,3)的距

離，再利用幾何法求最值即可.

【詳解詳析】

將“+6=84%化為a=8—b,代入yJa2+9+\lb2+9得

J(Q-8)2+(0-3)2+必_0)2+63)2

可理解為點(diǎn)P（"0）到B（8,3）與A（0,3）的距離.如圖：找到A關(guān)于X軸的對稱點(diǎn)C.可見，BC

的長即為求代數(shù)式行歷+?。莸淖钚≈?

BC=d?+82=10.

/.7a2+9+7^79的最小值為10.

故答案為：10.

【名師指路】

本題主要考察了二次根式，兒何最值等知識點(diǎn)，把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成幾何問題是解題關(guān)鍵.

15.觀察下列各等式：①2A03^|=^7|；③4日…根據(jù)以上規(guī)律，請寫出第

5個(gè)等式：______.

【標(biāo)準(zhǔn)答案】＜=FI

【思路指引】

根據(jù)左邊根號外的因數(shù)與根號內(nèi)的分子相同，根號內(nèi)的分母為分子平方與1的差，右邊根號內(nèi)為左邊根

號外與根號內(nèi)兩數(shù)之和，即可找到其中規(guī)律，從而寫出第"個(gè)等式，再將〃=6代入即可求出答案.

【詳解詳析】

解：猜想第“個(gè)為：

〃g層］=卜舟（n為大于等于2的自然數(shù)）；

理由如下：

Vn>2,

nn3

??n\

n2-1n2-1

分解分子得:

即:

第5個(gè)式子，即〃=6,代入得:

本題考查二次根式的計(jì)算，需要通過觀察分析和尋求規(guī)律、歸納和論證的抽象思維能力，得出一般性的

結(jié)論；解答此題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察、細(xì)致分析，局部找規(guī)律，整體找關(guān)系.

16.設(shè)b、。是ABC的三邊的長，化簡J(a-〃-c)2-|a-"c|的結(jié)果是.

【標(biāo)準(zhǔn)答案】2b-2a

【思路指引】

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，依此對原式進(jìn)行去根號和去絕對值.

【詳解詳析】

解：b,C是AABC的三邊的長，

：.a〈b+c,a+c>b9

a-b-c<0,a-b+c>0,

??-b-c)—-Z7+c|

=b+c-a-^a-b+c)

=b+c-a-a+b-c

-2h-2a

故答案為：2b-2a.

【名師指路】

本題考查了二次根式的化簡和三角形的三邊關(guān)系定理，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的性質(zhì)：兩邊之和大于第三邊

去根號和去絕對值解答.

17.觀察下列等式：Xl=i+l+-L=l=1+J-:

根據(jù)以上規(guī)律，計(jì)算X+&+七++X202（）-2021=

【標(biāo)準(zhǔn)答案】-擊

【思路指引】

根據(jù)題意，找到第〃個(gè)等式的左邊為J1+二+一二，等式右邊為1與7三的和；利用這個(gè)結(jié)論得到

2YT（幾+1）n（n+l）

原式=l；+J+l-!-+~+l——5------2021,然后把;化為1-；,，化為——-——化為

26122020x20212山，26，232020x2021

，百-嬴，再進(jìn)行分?jǐn)?shù)的加減運(yùn)算即可.

【詳解詳析】

解:由題意可知,卜興舟%人

1rX9o,o=1H

2020x2021

“1+，2+X3+?+工2020—2021

1—+1hl--^…+1------------2021

26122020x2021

1

=2020+1-1H--------------2021

2+23+20202021

=2020+1————2021

2021

1

2021

故答案為：一麗.

【名師指路】

本題考查了二次根式的化簡和找規(guī)律，解題關(guān)鍵是根據(jù)算式找的規(guī)律，根據(jù)數(shù)字的特征進(jìn)行簡便運(yùn)算.

18.已知長方形的面積為12,共中一邊長為2近，則該長方形的另一邊長為.

【標(biāo)準(zhǔn)答案】34

【思路指引】

根據(jù)二次根式的除法法則進(jìn)行計(jì)算.

【詳解詳析】

解：由題意得：12+2應(yīng)=%T=￡=3五,

故答案為：3亞.

【名師指路】

此題主要考查了二次根式的除法，關(guān)鍵是掌握二次根式的除法法則：^=^|（?>0,&>0）.

19.形如J7+2卡的根式叫做復(fù)合二次根式,對g+2#可進(jìn)行如下化簡:,7+2#=

7（>/6）2+2>/6+1=J（幾+1）2=76+1,利用上述方法化簡：J10-2互+〃-26+1=-

【標(biāo)準(zhǔn)答案】不

【思路指引】

根據(jù)題目中復(fù)合二次根式的化簡方法及二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡，再將化簡結(jié)果運(yùn)用二次根式的加減法

法則計(jì)算即可.

【詳解詳析】

解：A/10-2歷+,4-26+1

=7（^）2-2X/21+（>/3）2+J（揚(yáng)2-2遙+1+1

=小（近-6）2+｛（GF+1

="-6+癢1+1

故答案為：V7.

【名師指路】

此題考查了二次根式的化筒及運(yùn)算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)及正確理解題目中復(fù)合二次根式的化筒方

法是解題的關(guān)鍵.

20.已知△ABC的三邊長分別為28=2'/+576,BC=，/+14〃+625，AC=7a2-14?+625，其中a

>7,則△ABC的面積為一.

【標(biāo)準(zhǔn)答案】168

【思路指引】

將已知A3、BC、AC的表達(dá)式寫成兩點(diǎn)間的距離的形式，建立平面直角坐標(biāo)系，則根據(jù)圖形可得AABC

的面積.

【詳解詳析】

解：AB=2J/+576=2Va2+242=J(a+a[+(24+24了,

BC=J/+14a+625=7(-?-7)2+(-24-0)2,

AC=da?-14a+625=J(a-7『+24?,

如圖，設(shè)點(diǎn)A(a,24),B(-a,-24),C(7,0)

■■-^C=-OCX24+-OCX24=-X7X24X2=168,

□UTBOI.222

故答案為：168.

【名師指路】

本題考查了用勾股定理求兩點(diǎn)間距離公式、三角形面積計(jì)算中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合并正確地將所給的三個(gè)

等式變形，在平面直角坐標(biāo)系中畫出三角形是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

21.座鐘的擺針擺動一個(gè)來回所需的時(shí)間稱為一個(gè)周期，其計(jì)算公式為7=2乃,其中7表示周期(單

位s）,/表示擺長（單位團(tuán)），乃取3,g=9.8〃?/s2.假如一臺座鐘的擺長為0.2〃?.它每擺動一個(gè)來回發(fā)出

一次滴答聲，那么在1分鐘內(nèi)，該座鐘大約發(fā)出了多少次滴答聲？

【標(biāo)準(zhǔn)答案】在1分鐘內(nèi)，該座鐘大約發(fā)出了69次滴答聲.

【思路指引】

由給出的公式代入計(jì)算即可.要先求出這個(gè)鐘擺的周期，然后利用時(shí)間除周期就是次數(shù).

【詳解詳析】

解：7=2〃，=6糕”°.87,

絲約。69（次），

T0.87

...在1分鐘內(nèi)，該座鐘大約發(fā)出了69次滴答聲.

【名師指路】

本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算在實(shí)際問題中的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是利用公式來求，第一個(gè)公式題中已給出，

第二個(gè)公式實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)速度公式.

22.設(shè)a=j8-x，b=j3x+4,c=Jx+2，

（1）當(dāng)x取什么實(shí)數(shù)時(shí)，a,b,c都有意義；

（2）若RtAABC三條邊的長分別為“，b,c,求x的值.

42

【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）—§4x48；（2）或2.

【思路指引】

（1）根據(jù)二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，列不等式組求解；

（2）根據(jù)a、b、c分別作直角三角形的斜邊，由勾股定理分別求解.

【詳解詳析】

8-JC>0

解：（1）由二次根式的性質(zhì)，f#-3x+4>0,

x+2>0

4

解得-§4x48；

(2)當(dāng)c為斜邊時(shí),由a?+b2=c2,

即8-x+3x+4=x+2,

解得x=-10,

當(dāng)b為斜邊時(shí)，a2+c2=b2>

即8-x+x+2=3x+4,

解得x=2,

當(dāng)a為斜邊時(shí),b2+c2=a2,

即3x+4+x+2=8-x,

2

解得x=1

4

,/——<x<8

3

2

，%=二或2.

【名師指路】

本題考查二次根式的性質(zhì)及勾股定理的運(yùn)用.在沒有指定直角三角形的斜邊的情況下，注意分類討論.

23.如圖，四邊形A8C。是一個(gè)菱形綠草地，其周長為40/m,NABC=120。，在其內(nèi)部有一個(gè)矩形花

壇EFGH,其四個(gè)頂點(diǎn)恰好在菱形A8C。各邊中點(diǎn)，現(xiàn)準(zhǔn)備在花壇中種植茉莉花，其單價(jià)為30元/nA則

需投資資金多少元？（G取1.732）

c

【標(biāo)準(zhǔn)答案】2598元

【思路指引】

根據(jù)菱形的性質(zhì)，先求出菱形的一條對角線，由勾股定理求出另一條對角線的長，由三角形的中位線定

理，求出矩形的兩條邊，再求出矩形的面積，最后求得投資資金.

【詳解詳析】

丁ZABC=12O°,

：.ZA=60°,

...△48。為等邊三角形,

???菱形的周長為400m,

.??菱形的邊長為10am,

.,.BD=1072m,BO—5y/2m,