§2.5一元線性回歸模型置信區(qū)間和預(yù)測(cè)

§2.5一元線性回歸模型的置信區(qū)間與預(yù)測(cè)多元線性回歸模型的置信區(qū)間問(wèn)題包括參數(shù)估計(jì)量的置信區(qū)間和被解釋變計(jì)是研究用未知參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)值(從一組樣本觀測(cè)值算得的)作為近似值的精確程度和誤差范圍，是一個(gè)必須回答的重要問(wèn)題。yi的函數(shù)，即：?=ky，所以它也是隨機(jī)變量。在多次重復(fù)抽樣中，每次1ii個(gè)區(qū)間(稱為置信區(qū)間)，該區(qū)間以一定的概率(稱為置信水平)包含該參數(shù)。11量的顯著性檢驗(yàn)中已經(jīng)知道t=^ii~t(nk1)s^^it，那么t值處在(t,t)的概率是1a。表示為aa2a22P(t<t<t)=1aaa22即P(t<^ii<t)=1aasa2^^i2i01iibb2i2iibb2i2ibbi^bb2i2ii=0,1(2.5.3)2010101顯然，參數(shù)b的置信區(qū)間要小。1好。如何才能縮小置信區(qū)間？從(2.5.3)式中不難看出：(1)增大樣本容量n。t以2越小；同時(shí)，增大樣本容量，在一般情況下可使估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)差S減小，因?yàn)槎?，以減小殘差平方和xe2。設(shè)想一種極端情況，如果模型完全擬合樣本觀測(cè)it如果給定樣本以外的解釋變量的觀測(cè)值x，有ff01ffffiff01ffe=y-fff顯然，e是一隨機(jī)變量，可以證明fE(e)=E(y-)01f01f而D(e)=Cov(e,e)=Cov(y-,y-)=Cv(y,y)f-2ov(y,f)+Cv(,f)=裝2+(f)-2Cov()ffuffffffuf)x-x裝2u fxn(x-裝2ui)i)f1xi((f1xi(()--t*+t*fufa2fan22-) ( (i=1i) (x(ie利fffN=fN=f-E(yf)~N(0,1)將G2用估計(jì)值G?2代入上式，有utu=f-E(yf)~t(n-2)這樣，可得顯著性水平a這樣，可得顯著性水平a下Eyf的置信區(qū)間為xx))x )fffN=Nfef(( (==-x)yf-f~N(0,1) (i)G2u)()-+t*fufan()-+t*fufan22- ()i1x(ituuuyfyf-f~t(n-2)ef=effy根據(jù)置信區(qū)間的原理，得顯著性水平a下f的置信區(qū)間：y(2.5.8) (i=1i) x)n) ?xxfxf到被解釋變量y或其均值E(y)以(1-a)的置信水平處于某區(qū)間的結(jié)論。ff由度為(n-k-1)的臨界值t越??；同時(shí)，增大樣本容量，在一般情況下可使a2un-2主要的是提高模型的擬合優(yōu)度，以減小殘差平方和xe2。設(shè)想一種極端情況，ii盾的。置信水平越高，在其他情況不變時(shí)，臨界值t越大，置信區(qū)間越大。如a2果要求縮小置信區(qū)間，在其他情況不變時(shí)，就必須降低對(duì)置信水平的要求。，下面以我國(guó)國(guó)家財(cái)政文教科學(xué)衛(wèi)生事業(yè)費(fèi)支出模型為例，不采用計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用軟件，用手工計(jì)算，進(jìn)行模型的參數(shù)估計(jì)。經(jīng)分析得到，我國(guó)國(guó)家財(cái)政中用于文教科學(xué)衛(wèi)生事業(yè)費(fèi)的支出，主要由國(guó)家財(cái)政收入決定，二者之間具有線性關(guān)系。于是可以建立如下的模型：ED=a+FI+ttt其中，EDt為第t年國(guó)家文教科學(xué)衛(wèi)生事業(yè)費(fèi)支出額(億元)，F(xiàn)It為第t年國(guó)家財(cái)政收入本，利用(2.2.6)和(2.2.7)的計(jì)算公式，分別計(jì)算參數(shù)估計(jì)值。^FI^EDED=8812FI=38500ttED=1259FI=5500tFI2=23669644FI·ED=54078207ttttF.I=5612207tt由電腦計(jì)算的參數(shù)估計(jì)值為全部統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表。tDependentVariable:EDMethod:LeastSquaresDate:09/21/02Time:16:22Sample:19911997Includedobservations:7VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C30.052370.22341963.906910.0109860.47025220.336590.65800.0000R-squared0.988055Meandependentvar1258.857AdjustedR-squared0.985666S.D.dependentvar459.8972S.E.ofregression55.06160Akaikeinfocriterion11.08974Sumsquaredresid15158.90Schwarzcriterion11.07428Loglikelihood-36.81408F-statistic413.5768Durbin-Watsonstat1.644626Prob(F-statistic)0.000005 DependentVariable:EDMethod:LeastSquaresDate:09/21/02Time:16:19Sample:19911997Includedobservations:7VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.0.2283040.00333768.408770.0000R-squared0.987526Meandependentvar1258.857AdjustedR-squared0.987526S.D.dependentvar459.8972S.E.ofregression51.36364Akaikeinfocriterion10.84730Sumsquaredresid15829.34Schwarzcriterion10.83957Loglikelihood-36.96556Durbin-Watsonstat1.630622DependentVariable:LEDMethod:LeastSquaresDate:09/21/02Time:16:21Sample:19911997Includedobservations:7VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C-1.5223290.383141-3.9732900.01061.0055630.04476422.463410.0000R-squared0.990188Meandependentvar7.077084AdjustedR-squared0.988226S.D.dependentvar0.382958S.E.ofregression0.041554Akaikeinfocriterion-3.288701Sumsquaredresid0