2015年考研數(shù)學(xué)一真題及答案解析

n設(shè)x是數(shù)列下列命題中不正確的是（n若limnn

a，則lim2n

lim 2n2n若lim2n

limn

a，則limx22nn若limnn

a，則lim3n

lim 2nn2n若lim3n

limn

a，則limx33nny1e2x(x1exyaybycex （A）a3,b2,c（B）a3,b2,c（C）a3,b2,c（D）a3,b2,c【解析】將特解代入微分方程，利用待定系數(shù)法，得出a3,b2c1A若級數(shù)n

axn在x2處條件收斂，則x 與x3依次為冪級數(shù)na(x1)n的 n【解析】因?yàn)榧墧?shù)n

axnx2R2nax1)n n徑也為R2，即x13，收斂區(qū)間為1x3，則收斂域?yàn)?x3，進(jìn)而x 與x3依n為冪級數(shù)nax1)n的收斂點(diǎn)，收斂點(diǎn)，故選Ann nn n18n

nln(1 nnn

(1)n1lnnnnn1 uu...

1

2...n 8 82

7 S()2 ... S ... S (1()) lim 8 8n 8 8 8n 4 8 n nn(B)u ln(1 nnn

3 n n1n

(1)n (1) (1) (1)n ，因?yàn)?, n ln n2ln n2ln n2ln n2ln n ln（Dun!,limun1lim ne11nn nunn

nn1 1 1A

ab，若集合1,2Axb 1 a2 （A）a,（B）a,（C）a,a,Axb有無窮多解rArA3,A0，即a2a1)0，從而a1a 當(dāng)a1時(shí)，A

2

1 1111 111000232 從而2320=12Axb1 1 當(dāng)a2時(shí)，A

2 232從而2320=12Axb有無窮多解所以選D.二次型fx,x,x)在正交變換xPy下的標(biāo)準(zhǔn)形為2y2y2y2P(e,e,e)，若 Q(e1,e3,e2)，f(x1,x2,x3)在正交變換xQy下的為 （A）2y2y2 （B）2y2y2 （C）2y2y2 （D）2y2y2 fx,x,x)YTPTAPY2y2y2y2QPEE1)

23f(x,x,x)YTQTAQYYTET(1)ETPTAPEE( 23 0 0YTE(1)EPTAPEE(1)Y2y2y2y2，其中 1，E(1) 0均 23 初等矩陣，所以選A若A,B為任意兩個(gè)隨機(jī)，P(AB)P(A)P(BP(AB)P(A)P(BP(A)P(B

0

1P(AB)P(AB)

2P(A)P(B)【解析】排除法。若AB，則P(A ，而P(A), 未必為0，P(A P(BP(A)P(B PAB), BD2ABPAB)PA)PAPB)AXBmX,X,X為來自該總的簡單隨機(jī)樣本，X

n(

X)22E（A）(m1)n(1（B）m(n1)(1（C）(m1)(n1)(1（D）mn(1

i i

i 2 E XiXE DXm(1n1i 2EXiXi

m(n1)(1

x

ln(cosx)x2

1【答案】2【解析】x

lncosxx2

x

sincos2

sin x0xcos sin 21cos4

xdx sin

sin sin 【解析】2

xdx dx

xdx2 dx22xdx1cos

1cos

1cos zzx,y有方程ezxyzxcosx2確定，則【答案】

(0,1【解析】對ezxyzxcosx2x,yz求偏導(dǎo)，并將01)(

(

0，所以

(0,1

dx（12）設(shè)14

xyz1與三個(gè)坐標(biāo)平面所圍成的空間區(qū)域，則x2y3zdxdydzx2y3zdxdydz6zdxdydz6

10zdzdxdyDDZ為平面zz截空間區(qū)域

1(1z2

所以：x2y3zdxdydz6zdxdydz6 (1z)dz3z2zzdz 2002202(13)n_______0022002【答案】2n12002202Dn0022002n2 (1)n12(1)nnn2nn2(2 2)nn22 22n2n2n1 2n1 量X,Y服從正態(tài)分布N(1,0;1,1;0),則PXYY0 1【答案】2

PXYY0PX1Y0PX10,Y0PX10,Y00,XYPX10PY0PX10PY0 fx)xaln1x)bxsinx,gx)kx3,fx)gx)x0abkx

f(xg(xx

xaln(1x)bxsinkxx

xa(xx2/2x3/3o(x3))bx(xx3/6o(x3x(a1)x(ba/2)x2ax3/3bx4/6o(x3)o(x43x a1,b1/2,k1/計(jì)算二重積分xxydxdyD(x,yD

x2y22yx2Ix(xy)dxdyx2dxdyxydxdy2x2dxdy DD1x,y)x2y22yx2,x0則I x(xy)dxdy x2dxdy

1 x2dy

2

x fx,y)xyxy,曲線C:x2y2xy3fx,y)在曲線Cfx,y) f'(x,y)1y,f'(x,y)1x gradfx,y)1y,1x,模為

(1y)2(1x)2(1y)2(1x)gx,y) 在約束條件C(1y)2(1x)dx,y)(1y2(1x2在約束條件C:x2y2xy3f(x,y,)(1y)2(1x)2(x2y2xy3F F'

2(1x)(2xy)2(1y)(2yx) F'xyxy3 3M(1,1),M(1,1), 3

(2,1),

(1,24d(M1)8,d(M2)0,d(M3)9,d(M4)94939fx)I0x0Iyfx)在點(diǎn)x0,fx0))處的切線與xx0x4f0)2fx)的表達(dá)式。 yfx)fxx yf'(x0)(xx0)f(x0x

f(x)f'(x0)(xx0)f'(x

f(x0)dx3y21 3xy因?yàn)閥0)1所以c22綜上fx)

16

2x22x2y19L的方程為z

，起點(diǎn)為A(0 2,0)，終點(diǎn)為B(0, 2,0),計(jì)算曲線積I (yz)dx(z2x2y)dy(x2y2)Lxcos 【解析】由題意假設(shè)參數(shù)方程y sin,:2zcos sincos)sin2sincos1sin2sind 22 sin2cossin1sin2sind2 2 2222sin2d （20）向量組a1a2a3R3b1=2a1+2ka3,b2=2a2,b3=a1k1a3b1,b2,b3R3 當(dāng)k為何值時(shí)，存在非零向量 在基a,a,a與基b,b ,,22k,2,k1=,, 32 k1 aaaR ( 3a,a,a線性無關(guān)，即r ( 3r,,

2 k1 2 k+

= r,,

2 k1 b1,b2,b3R3（Ⅱ）由已知設(shè)e=k1a1+k2a2+k3a3=k1b1+k2b2+k3b3, k1b1-a1)+k2b2-a2)+k3b3-a3)=k1a1+2ka3)+k2a2+k3a1+ka3)=有非零解，

2k

k1 kk0

2k3所以a1+2ka3 a2 a1+ka3=a1,a2,a

0= 2

=0k1 2 3從而ka+ka1 2 3k2=0,k1=-k1 1 kk01 1 3 0A

3B

0ab

1PP1APB

1 0

b3

01

(1)2(b) 1, A

1

32

3a由12(a22a3A~BA,B2(a2)2a3（1）[(2a33a45b32333，其中特征值1,4123

5當(dāng)1時(shí)，解AEx0方程的基礎(chǔ)解系為

2 31,0 1當(dāng)5時(shí)，解(A5E)x0方程的基礎(chǔ)解系為 1

1

從而(A,A,A)(,,5)A(,,)(,, 3 5 1因?yàn)?,線性無關(guān)，所以令P,,可逆，即P 1，使得P1Ap

1 5 2xln設(shè)隨量X的概率密度為f(x)

xx

X23的觀測值出現(xiàn)為止，記Y求YEY2xln2,x（1）f(x) 0,xpP 3 2xlnpP 所以Y的概率分布為PYnC 17n

127n(n,n(nn 88 88 127n

7（2）EYn(n1)

n(n1) n

88

6n

8令 xS(x)n(n1)xn

S(x) nxn

S(x)

S(t)dt

xnn

， ， n

n

1x2 2x 21x22x(2xS(x)

S(x)S(x) 231 2311

1x

1x EY

7S 6 8

x設(shè)總體X的概率密度為f(x;)1 ，其中為未知參數(shù)，X1,X2,...,Xn為隨機(jī)0 0求求（1）EX xf(x;)dx 1

1dx

112EX1?21

1 1

02x2 x2（2）X,

,...,X為觀測值，則L()

1(1) x1,i1,2,...,f(x;)

ii

lnL()nln(1),

dlnL(xi1,i1,2,...,n， nd

1

1

0，取

}imin{ }i（9）2xyz1（10）f(1)y（11） 2xx21x[t2(ex1)t1lim1x x2ln(1 x1(e1)xt2dt1

x limx2(e1)令u1x則limx2e1

eu1uu2eu11 3y2yy2x2yy2xyx2yy22xyy(y2x)y0舍)或y2xy2xy3xy2x2y68x3x(4x2)x2(2x)68x34x32x366x36x31x1,y6(y)2y3y2y2yy2yyx2(y)2x2yy2y2xy2xyx2y012y(1)4y(1)4y(1)09y(1)y(1)94y(12E

f(excosy)excos 2 f(ecosy cosyf(ecosy)ecosE

f(excosy)ex(siny 2 f(ecosy sinyf(ecosy)e(cosy 2 f(ecosy (4Eecosy f(excosy)4f(excosy)excos令excosyufu4fuufuCe2uCe2uuC,C為任意常數(shù) f00,f00f(u)

e2u 1[3(x1)23(y1)2 dd[3(cos1)23(sin1)21] dd[3262cos62sin7 12(337)(12)d0證an由0an

n nlimana，由bnlimbn0 故由cosanancosbn，兩邊取極限（n），得cosaacos01。a0lima0n

k26k3

2k 2k 3k1k,k,k

②B

3k 3k 3k 0,y 【答案】（1）Fy4y,0y ,2,2y1y 2 34【答案】（1）EX2

,EX2 1 n nk已知極限lim c，其中c,k為常數(shù)，且c0，則 k1 1（A）k2,c2（B）k2,c2（C）k3,c3（D）k3,c3曲面x2cos(xy)yzx0在點(diǎn)(0,1,1)處的切平面方程為 xyzxyzx2yzxyz b設(shè)f

f(x)sinnxdx(n1,

9bnsinnx則S(4) 341444lx2y21,lx2y22,lx22y22,l2x2y22,為四條逆時(shí)針的平面曲線，記 y3)dx(2xx3)dy(i1,2,3,Ii

lil

= 11設(shè)矩陣A,B,C均為nABC,則B 1矩陣

2 0 0 與

1 0 （A）a0,ba2,b設(shè)X，X，X是隨量，且X~N(0,1)，X~N(0,22），X~N(5,32) PjP{2Xj2}(j1,2,3),則 設(shè)隨量X~t(n),Y~F(1,n),給定a(0a0.5),常數(shù)c滿足P{Xc}a,則P{Yc2}（1122limn(f(設(shè)函數(shù)f(x)由方程yxex(1y)確定， limn(f( 已知y1e3xxe2x，y2exxe2x，y3xe2x是某二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的3個(gè)解，該方程的通解為y

設(shè)ytsintcos

（為參數(shù) tttt4(12)

ln dx (1（13）Aaij是三階非零矩陣，|A|為A的行列式，Aijaij的代數(shù)余子式，若aijAij0(i,j1,2,3),A（14）設(shè)隨量Y服從參數(shù)為1的指數(shù)分布,a為常數(shù)且大于零，則P{Ya1|Ya} 三、解答題：15—2394分.請將解答寫在指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或（15（1f xln(tx計(jì)算 dx,其中f(x) x（16（設(shè)數(shù)列{a}滿足條件：a3,a1, n(n1)a0(n2),S(x)是冪級數(shù)axn的和函數(shù) S(x的表達(dá)式（17（x xxf(xyy3（18（

的極值 存在(0,1使得f'( 33（19（為，求曲面求的形心坐標(biāo)（20（設(shè)A a,B 1，當(dāng)a,b為何值時(shí)，存在矩陣C使得ACCAB，并求所有矩陣C 0 b （21（fxxx2axaxax2bxb

ab。 1 2 3 1 2 3 2 2ab。a b3 3f對應(yīng)的矩陣為2TT 若f在正交變化下的標(biāo)準(zhǔn)形為二次型2y2y2 （22（

1 0x x設(shè)隨量的概率密度為f(x)

，令隨量Y其

1x2x（23（

2Xfxx3ex X的簡單隨機(jī)樣本求的最大似然估計(jì)量

x

44k已知極限lim c，其中c,k為常數(shù)，且c0，則（k1 1（A）k2,c2（B）k2,c2（C）k3,c3（D）k3,c3【答案】

x(x

x3o(x3

1【解析】limxarctanx

lim c,k3,c x0 曲面x2cos(xy)yzx0在點(diǎn)(0,1,1)處的切平面方程為 xyzxyzx2yzxyz【答案】F(xyzx2cos(xyyzxFx(xyz2xysin(xy1Fx(0,1,1)1；Fy(x,yz)xsin(xyzFy(0,1,1)1；Fz(xyz)yFz(0,1,1)1，xyz2A55f(x

x

12x[0,1]bn20f(xsinnxdx(n1,2S(xbnsinnx12nS(9) 4341444【答案】

x1 0x 1212

x是以 為周期的，則當(dāng)x(1,1)且f(x)S( f(S(9)S(92)S(1) 1 1S( f(

1xx處連續(xù)時(shí)，S(x)f(x)lx2y21,lx2y22,lx22y22,l2x2y22,為四條逆時(shí)針的平面曲線，記 y3)dx(2xIi

lil

3)dy(i1,2,3,4)，則MAX(Ii) yO1yO12x【答案】y3)dx(2xx3)dy(i1,2,3,l li(1x2y2D2Di66設(shè)矩陣A,B,C均為n階矩陣，若ABC，且C可逆，則 1矩陣

2 0 0 與

1 0 （A）a0,ba2,ba2,b【答案】

1

1

0【解析】由于 a為實(shí)對稱矩陣，故一定可以相似對角化，從而 a與 0相似

1 1充分必要條件為 a的特征值為2,b,0 1 EA

設(shè)X，X，X是隨量，且X~N(0,1)，X~N(0,22），X~N(5,32) PjP{2Xj2}(j1,2,3),則 77

p1P2X12PX1p2P2X22PX

2221設(shè)隨量X~t(n),Y~F(1,n),給定a(0a0.5),常數(shù)c滿足P{Xc}a,則P{Yc2}（11X~t(n),Y~F(1,nYX2PYc2PX2c2PXc或Xclimn(f( 設(shè)函數(shù)f(x)由方程yxex(1y)確定，limn(f(

f(x)

flimn(f()1)lim 方程兩邊取對數(shù)ln(yxx(11y

y1(1y)x0y1f(0)已知y1e3xxe2x，y2exxe2x，y3xe2x是某二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的3個(gè)解，該方程的通解為y yC1e3xC2ex88ye3xxe2xyexxe2xyye3xex ypCe3xCex yC1e3xC2ex

設(shè)ytsintcos

（t為參數(shù)

tt422，dysinttcostsinttcostdxcost，dytcost， 1dx1，所以d21

2424

dx2tlnxdx (1【答案】ln

ln dx

lnxd

1) ln

1(1

1

1

x(1 dx 1dx[lnxln(1x)] ln x(1 1x1x （13）Aaij是三階非零矩陣，|A|為A的行列式，Aijaij的代數(shù)余子式，若aijAij0(i,j1,2,3),A由aA0可知，AT Aai1Ai1ai2Ai2ai3Ai3a1jA1ja2jA2ja3jA3 a2a2 j AATA*A2A=-（14）設(shè) 99 1x22 EXe2X xe2 e2dx xe2 dx2e2 三、解答題：15—2394分.請將解答寫在指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或（15（fx xfx計(jì)算 dx,其中f(x)

1f

xln(t1)1dx1

dx

dx1ln(t1) 1xt1dttln(t1) dx21ln(t1)tdt21ln(t1)1xt

tt tt

4

ln(t1)00t1dt4ln24 dt4ln24

0t 1u2

0u21 u21du4ln2801u214ln28 arctanu14ln28(1

（16（設(shè)數(shù)列{a}滿足條件：a3,a1, n(n1)a0(n2),S(x)是冪級數(shù)axn的和函數(shù) S(x的表達(dá)式 【解析】（I）S(xaxnS(xanxn1S(xan(n1)xn n

an2n(n1)an0S(xann(n1)xn2an2xn2anxnS(x S(xS(x0的特征方程為210解得1,1S(xcexcex 又a0S(03c1c23a1S(0)1c1c21，解得c2,c1S(x)2exex。 33分）f(xy(y

x)e

x

的極值 2x x

'x

(y

(x2+y+3

x f'exy(y)exy )exy 解得(14),(1,23 32Afxx''(2xxx

x

yx

x

( x

xBfxy'' +(xy 3

x

Cf

''exy(1y

)exy +y2)ex 對于(14A3e3,Be3Ce3ACB20,A3

為極小值點(diǎn)，極小值為e 3 對于(1, ，Ae3,Be3,Ce3,=AC3（18（

0,不是極值 存在(0,1使得f'( 【解析】（1）F(xf(xxF(0)f(0)0,F(1f(1)1（2）令G(xexf'(x1則G(f(xf'(x為偶函數(shù)，可知G()0即ef'(1]ef''(0f''(f'(（19（為，求曲面求的形心坐標(biāo)

x1

y0

z

x1 x2 1 xy(1z)z (z )

y 2z(1z)2z22 可得z 0 2

7，所以形心坐標(biāo)為(0,0,（20（

設(shè)A a,B 1，當(dāng)a,b為何值時(shí)，存在矩陣C使得ACCAB，并求所有矩陣C 0 b x2 【解析】由題意可知矩陣C為2階矩陣，故可設(shè)C 4

x2ax3axxax xx x2ax3 0

1 0 1 1 1

1 1 1 0 0

1 1 b1 由于方程組（1）有解，故有1a0b1a0a1,b0,1010a001010a00a01001000100010b0000 ，故有

x 其中k、k任意x 從而有Ck1k2 k2（21（

x4fxxx2axaxax2bxb

ab。 1 2 3 1 2 3 2 2ab。a b3 3f對應(yīng)的矩陣為2TT 若f在正交變化下的標(biāo)準(zhǔn)形為二次型2y2y2 【解析】f(2a2b2)x2(2a2b2)x2(2a2b2)x2(4aa2bb)x 1 1 12a22aabb2aabb aa bb則f的矩陣為2aa1 2 1 1 22aab 1 1 2

1 22 aa a2

1 22b b2

2 3 1 2 3 （2）令A(yù)=2TT,則A2TT2A2TT1,2A的特征值為2,1,0，故f在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為2y2 （22（

1 0x x設(shè)隨量的概率密度為f(x)

，令隨量Y其

1x2xy2FYy1；當(dāng)1y2FYyPYyP{Y1P{1YyP{Y1P{1X=P{X2}P{1Xy}31x2dxy1 (y

2 18(2)P{XY}P{XY,X1}P{XY,1X2}P{XY,X2} （23（

2Xfxx3ex X的簡單隨機(jī)樣本求的最大似然估計(jì)量2

x

【解析】(1)EX xf(x)dx x3ex exd

n2n2 e x e x(2)L()f(xi;)

x

i1 其 xi0nlnL()2nln

lnxi

ni1 n

0xi1x 得

極大似然估計(jì)量 n

i1223344

2

x1x1xlimx2x1y1為水平的，沒有斜漸近線故兩條選xx2f'(xex(e2x2)(enxnex1)(2e2x2)(enxn(ex1)(e2x2)(nenxf(xy在0,0處連續(xù)，可知如果limf(xy)f(0,0)limf(xy

x2y

limf(xy) x

f(xyf(0,0)

f(xyf(0,0) f(x,y)f(0,

x

x

0f(xyf(0,0)0x0yo

f(xy在(0,0【解析】：

kkek

sinxdxkI'ek2sink0,k0,，即可知 kex2sinxdx關(guān)于k在0,上為單調(diào) 55函數(shù)，又由于1,2,30,，則I1I2I3010101c1 10，可知1,3,4線性相關(guān)。故選Q

1 0 0 1

，則

1 0 0 1

故

0

0 0PAP 0 0

0 1 1 1

2 1 2（B

ex4y,x0,yPXYf(x,y)dxdydxyex4ydxe5ydyx （8 的通解為f(x)CexCe2x.再由f'(x)f(x)2ex得2CexCe2x2ex，可知C1, 0 f(x662

【解析】：令tx1得0

2xx2dx

(t

1t2dt

1t2dt2 z 1【解析：gradxyy y,xy2,y

（12【解析：由曲面積分的計(jì) 可知y2dsy21(1)2(1)2dxdy 3y2dxdy，其 D(x,y)|x0,y0,xy1。故原式 31dy1yy2dx31y2(1y)dy

【解析：由條件概率的定義，PABC 2

三、解答題：15—2394分.請將解答寫在指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或【解析】：fxxln1xcosx1x21 77f'xln1xx1x sinx1 1x1ln1x11

11

sinxln1x1x2xsin1

1

1當(dāng)0x1時(shí)，有

1

0

1

1

xsinx0fx0f00xln1xcosx

x2xln1xcosxx21

1 1

1 1 1當(dāng)1x0，有l(wèi)n1x01x211x2xsinx0fx0xln1xcosx

x21 可知，xln1xcosx1x2,1x11x x2 2 先求函數(shù)的駐點(diǎn).fxyex0,fxyy0，解得函數(shù)為駐點(diǎn)為e,0 Afxxe,01,Bfxye,00,Cfyye,0B2AC0,A0fxy在點(diǎn)e,0fe,01e22

4n24n2n4n14n12n188 4n24n3 2n1

2n 4n124n14n24n3S(x)

2n x4n24n30S(t)dt

x2n

4n24n32n4n24n 2n 112n

2n4n24n3x2n和函數(shù)為S(x)

2n 【解析：（1）曲線L在任一處(x,y)的切線斜率

f(t)，過該點(diǎn)(x,y)處的切線為YcostsintXf(t)，令Y0Xf(tcostf點(diǎn)的距離恒為

故有f(tcottf(t)f(t)2cos2t1f(t0(0t2f(tsintf(tlnsecttantsintCf(0)0所以C0.f(tlnsecttantsint

S

2cost0

499【解析】：設(shè)圓x2y22x為圓C,圓x2y24為圓C，下補(bǔ)線利用即可，設(shè)所補(bǔ)直線L x0(0y

3x2ydx(x3x2y)dy3x2ydx(x3x22(3x213x2)dxdy022D14

1

4 2

（Ⅰ 01 aa(1)41

1 1

1 0 0

a a 02 1 a 可知當(dāng)要使得原線性方程組有無窮多解，則有1a40及aa20a1 1 0此時(shí)，原線性方程組增廣矩陣為 1，進(jìn)一步化為行最簡形得 0 0 0 0

0

0 可知導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為， 方程的特解為 ，故其通解為k Axb2個(gè)不同的解，有|A|0

0 0

0 0即 A

1)21)0，得1或- 當(dāng)1

，顯然不符，故1 1

2 x 1 3

a10a xfxTATAxx,x,x x 4x 32x22x24x24xx4x 1 2 2則矩陣B 2 EB

261 對于0,解EBX0得對應(yīng)的特征向量為 對于2,解EBX0得對應(yīng)的特征向量為： 0 0 1對于6,解EBX0得對應(yīng)的特征向量為：1 21111

11

，

11， 3 ，

2

6 Q1,2,3

X012PY012P0124P0（1）PX2YPX0,Y0PX2,Y110 233 33covX,YEXYEXEYEX2EX21,EY1,EY25DXEX2EX2233 33DYEY2EY2

51

,EXY ,XY0 所以，Z的概率密度為f(z,2) e102,(z

1n n1nz

2

2L()f(zi,) ne10

1022 lnL() ln10 ln

dlnL(2) z2d 102

z，iz，

2

ZiZ 2 n 5nEE5nZi5nEZi5nEZi i 5nn 曲線y(x1)(x2)2(x3)3(x4)4的拐點(diǎn)是 (A)(1,0) (B)(2,0) (C)(3,0) (D)(4,0)設(shè)數(shù)列anliman0Snn

ak(n1, kan(x1)n的收斂域?yàn)?(A)(1,1] (B)[1,1) (C)[0,2) (D)(0,2]f(x)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(x)0，f(0)0，則函數(shù)zf(x)lnf(y)在點(diǎn)(0,0)處取得極小值的一個(gè)充分條件是 f(0)1，f(0)0 (B)f(0)1，f(0)0(C)f(0)1，f(0)0 (D)f(0)1，f(0)0 I

4lnsinxdx，J

4lncotxdx，K

4lncosxdxI,JK (A)IJK (B)IKJ(C)JI (D)KJIP

0 0，

1 0 0

，則A 1

0 12 (B)P1P2 (C) (D)PP112Ax0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則A*x0的基礎(chǔ)解系可為 f1(x)f2(x) (B)2f2(x)F1(x) (D)f1(x)F2(x)f2(x)F1(x)設(shè) 量X與Y相互獨(dú)立，且E(X)與E(Y)存在，記UmaxX,YVminX,Y則E(UV) E(U)E(V) (B)E(X)E(Y) (D)E(X)E(V)xytantdt(0xsx 微分方程yyexcosx滿足條件y(0)0的解為y 22F(xy01t2dt

yy2dz 若二次曲面的方程x23y2z22axy2xz2yz4，經(jīng)過正交變換化為 y24z24，則a 設(shè)二維隨機(jī)變量X,YEXY2

N;2,20，則ln(1 求極限lim( )ex1 zf(xyyg(xfg(xx22

y數(shù)．(18)(本題滿分10分)

)

n 設(shè)a

lnn(n1,2,，證明數(shù)列a f(x,y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且f(1y0，f(x,1)0DIxyf''(xy)dxdyD 設(shè)向量組(1,0,1)T，0,1,1)T，(1,3,5)T 1,2,3)T3,4,a)T 求a(2111

1 11A為三階實(shí)對稱矩陣，A的秩為2，即rA2，且A 0 0 11 11分)設(shè)隨量X與Y的概率分布分別X01P1/2/Y01P1/1/1/PX2Y21求二維隨量(X,Y)的概率分布ZXYX與YXY（23（ XX,XN(,2已知，20 求參數(shù)2的最大似然估計(jì)量2 2011 yx1,y1,y0yx2)2y2(x2),y y(x3)3,y3(x3)2,y6(x y(x4)4,y4(x4)3,y12(x yx3)PxP(3)0yx30x3故選

kn處發(fā)散，(D)不正確．當(dāng)x0時(shí)，交錯(cuò)級數(shù)(1)na滿 n時(shí)(1)nan收斂．故正確答案為【解析】z f(x)lnf(y) f(0)lnf(0)0x f(xfy) f(0)0,f(0)0 f(y)2A

f(x)lnf(y)|(0,0)f(0)lnf(0)2 f( [fBxy|(0,0)f(x)f(y)|(0,0) f C2 f(y)f(y)[f( [f(0)]2 y2 f f2( f f fACB2f(0)]2lnf(0)0,f(0)1,f(0)0【解析】因?yàn)?x4

時(shí)，0sinxcosx1cotx又因lnx是單調(diào)遞增的函數(shù)，所以lnsinxlncosxln 0 0B 1 APBABP1 0 1BE 0 PBEBP1PAPP1，故選 2rA)413，即0A0A*A|A|EO，即 A*,,,O，這說明,,,A*x0 rA3130，所以2,3,4線性無關(guān)．又由于rA)3r(A*1A*x0的基礎(chǔ)解系中含有413個(gè)線性無關(guān)的解向量．而,,線性無關(guān)，且為A*x0的解，所以,, (x)F(x)f(x)F(x)dxF(x)dF(x)F(x)dF( dF(x)F(x)F(x)F(x)|1 度．(8)【答案】(B)．UmaxX,YX

XY

VminX,YY

XY

Y

XY

X

X所以，UVXY，于是E(UV)E(XY E(X)E(Y)【答案】ln12 所以s4secxdxlnsecxtanx4 2) 【解析】由通解yedx(excosxedxdxex(cosxdxex(sinxC)y(0)0故C=0yexx11)【答案】

1tan2xdxsec

sin1

y

y [1(xy)2 x2|(0,2)4【答案】【解析】取S:xyz0,x2y21，取上側(cè)，則由得S

ydydzxdzdxdxdyS 2zxyz'1,z'1. ydydzxdzdxdxdy [y(1)x(1)1]dxdy x2y2 x2y2

(xy1)dxdy

x2y2

dxdy特征值，故A的特征值為0，1，4．二次型所對應(yīng)的矩陣 1 3 3由于Ai0，故 10ai

量X,Y服從N,;2,2;0．因?yàn)?，所以由二維正態(tài)分布的性質(zhì)知隨量X,Y獨(dú)立，所以X,Y2．從而有EXY2EXEY2DYE2Y22ln(1x) lim[ x【解析】 ]e1 exx x1x2o(x2)limln(1x) lim 1x2o(x2lim e2z

fxy,f1xy,yg(x)yf2xy,yg(x)2

g(x)f2xy,yg(x)yg(x)f12[xy,yg(x)]xf22[xy,

y

當(dāng)x0時(shí)，令fx

2fx 1x2x xRx1x 1x2x 2xgx

01x ,g00，

0x0f'x0x0f'x0x又由limfxlim k1k limfxlim k xarctan所以當(dāng)1k0fx在(0)(0,當(dāng)1k0時(shí)，則fx在(,0)，(0, fxln1xx0,1n顯然f(x)在0,1上滿 n f1f0ln11ln1ln11 所以0,1 n 1

n

1 10 1 亦即：

ln111

n n n（II）設(shè)an lnn

k1

n1

n1

n

1 n

lnnn1lnn1n1ln1n

k1

k

利用（I）的結(jié)論可以得到

ln(11

ln110得到 a，

n n n n 1 an lnnln lnn k 1 nk1 23 n1 ln ln k1 12 n 1 an lnnln lnnlnn1lnn0 k 斂．(19)(本題滿分11分)I 1xdxyfxy(x,y)dyxdxydfx(x, 0 1 xdxyfx,y| fx,y x01xdxf'(x,1)1f'(x,y)x0xf(x,1)0f'(x,1xI I 01xdx0fx(x,y)dy0dy0xfx(x, dyxf(x,y)|11f(x,y)dx1dyf(1,y)1f(x, fdxdyaD

,)

(, ,

1 1

1 0 1 2 a

4

a

0 故1,2,3不能由1,2,3線性表示．0(,,,,) 1 30 0 0

011100111010 2

5 1 11 【解析】(I)由于A 0 0，

101T,10,1T 11 1為11,21k11k10k22k20．rA2A0，所以30 A是三階實(shí)對稱矩陣，故不同特征值對應(yīng)的特征向量相互正交，設(shè)30對應(yīng)的特征向量為x,x, T xx2 解此方程組，得0,1,0T，故0kk0 3 1 1,0,1T,2

0,1,0T33，令Q，則，

AQ

1 0 2 0 0

1

2 0

0 2 0

2 1

2 0 0

0 0 （22（即PX0,Y1PX0,Y1PX1,Y00． PX0,Y0PX0PX0,Y1PX0,Y1 3PX1,Y1PY1PX0,Y113PX1,Y1PY1PX0,Y113YX0100010(II)Z的所有可能取值為1,0,1PZ1PX1,Y113PZ1PX1,Y1133ZXYZ01PCovXY EXYEXEY(III)因?yàn)閄Y EXYEZ 0 0，EY 0 0 （23（XXf(xx

(x0 22 (x 1

2(xi0

) f(xi

)[

n(x

dlnL(2 n

[(xi0) dlnL(2

1

n

2

令

0，解得 (xi0nn 10的最大似然估計(jì)量為20

(nn

)2 1 X~N(,)，令YX~N(0,)，則2 Y

)E(n

nY)EY)E(Y)D(Y)[E(Y)] iD(2)D(1Y2)1D(Y2Y2Y2)1D(Y2ini

2

n

)

)]} n

) nX

nXXi~N(0,)， i 0~N2

，得到Y(jié) i 0

~2n，即 YXi0

i1 2 2 E E(Xi0)

n D2 D(X)2 D2Y 4DY 42n

4

i 極限lim x(xa)(xb)

(A) (B)e (C)eab (D)eba設(shè)函數(shù)zz(xy),由方程Fy,z0確定,其中F為可微函數(shù),且F0 xxxzyz 1mln21 n(A)x1mln21 n設(shè)m,n是正整數(shù),則反常積分 dx的收斂性 僅與m的取值有關(guān) (B)僅與n的取值有關(guān)(C)與m,n取值都有關(guān) (D)與m,n取值都無關(guān)n ni1j1nin2j2

2dy (B)0dx0 dy 01x1y

1x1y (C)0dx01x1ydy (D)0dx01x1y2dy設(shè)A為mn矩陣,B為nm矩陣,E為m階單位矩陣,若ABE,則 (B)秩rAm,秩rBn(C)秩rAn,秩rBm (D)秩rAn,秩rBn設(shè)A為4階實(shí)對稱矩陣,且A2AO,若A的秩為3,則A相似于

(B) 0

0

(C) (D) 0 0

0 0 x設(shè)隨量X的分布函數(shù)F(x)

0x1,則PX1= 2

1 2

x 2

f1(x為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度,af1(x),x

f2x為1,3上均勻分布的概率密度,若f(x)

(x),x0,(a0,b0)為概率密度,則a,b應(yīng)滿足 (A)2a3b4 (B)3a2b4 (C)ab (D)ab2 設(shè)ytln1u2du,求d

t(10)

x xdx0分

xydxx2dy 設(shè)x,y,zx2y2z1,則的形心的豎坐標(biāo)z 設(shè)1,2,1,0T,1,1,0,2T,2,1,1,aT,若由,,生成的向量空 PXkPXk設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為.

k!k0,1,2,,則E

2fx

x2x2tet2dt (I)1lntln1tndt1tnlntdtn12, (II)記un0lntln1t

dtn1,2,,求極限limun

2n

PSx2y2z2yz1SPxOyx 3yP的軌跡CI

dS,其中S于曲線C上方的部分. A01，b

1 1 I)求aIIAxb的通解.(21)(本題滿分11分)f(xxxxTAxxQyy2y2,且Q 三列為(2, IA(22)(本題滿分11分)設(shè)二維隨量(X,Y)的概率密度f(x,y)Ae2x22xyy2,x,yAfY|Xy|xXP123XP123其中參數(shù)0,1NiX的簡單隨機(jī)樣本(樣本容量為n)中等于i32010

lim xxaxb

lim

xaxb xaxb x2(xa)(xb)limxlnxaxblimx 1

(xa)(

xx2(xa)( (xa)(xb)(ab)x2abxlim(xa)(a故原式極限為eab,所以應(yīng)該選擇

FyF

yF x x

2 F FzFy

xF1F Fz

F F

yFzF

Fxxyy

2 12

z F 11mln21 n

mln21n1mln21n0 dx0

dx2

n dx1用比較判別法的極限形式,對于0

mln2mln21n

111xn

顯然,當(dāng)0121 12

0,lim[ln(1n

mlnmln21n

n

1mln21mn是什么正整數(shù),0

dx總收斂.對于 2

dx,取xx1 1mln21

1

limln2(1x)m(1

0所以2

n j j j 【解析】nin2j2ni(n2j2) j j j

lim1

j10nj1n2j nnj10

j0n0

1lim

nlim1

1

n nn

1(in

1 ni1j1ninj nj1n i1n(lim

)(lim nnj1n2 ni1n 1dx)( 1011

01

1dx

dy2

01x1yABE,故rABr(E)m.又由于rABrArABr(Bmr(A),m r(A)m,r(B) 【解析】設(shè)AA2AO,所以20,即(1)0A的特征值只能為-1或0.由于A為實(shí)對稱矩陣,故A可相似對角化,即 ArAr(3

A

0PX1PX1PX1F1F101e111e1

1x

e2(x),f2xfxdx1fxdx0afxdxbfxdx

a

fxdxb3

dx

a

b 2所以整理得到2a3b4,故本題應(yīng)選

0

ln1t2dx

d2d2ydln1t2etdt2tetln1t2etetd2 1t 【答案】4

t

0x t,xt2,dx2tdt,利用分部積分法x 原式tcost2tdt2t2costdt2t2d 2t2sint2tsintdt4tdcos 4tcostcostdt4cos4sint4 【答案】0xydxx2dyxydxx2dyxydx 0x1xdxx2dx1x1xdxx2 02x2xdx1x2x2 x2 2x332 23 2112 2 3 2【答案】3

z21 2d1

10

r2

1r2

1r1

r4

2drr 0 2 222 22221

1

0 .對 2 2 2

(,,) 1 3 a6

1

PXk

CCe,整理得到Ce1k k0k 1kPXk ek k EX2DXEX21122 方程的特征方程為2320,解得特征根

方程的通解為ycCexCe2x y*x(axb)exy*ax22axbxbexy*ax24axbx2a2bexa1,b2y*x(x2)exyycy*C1exC2e2xx(x2)ex 2x2

f(x

(x dtx

dt

dt

3

3

x2所

(x)2x

dt2x

2x

2x ,令

f(x) ,則