2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第9講平面向量考點(diǎn)講義含答案

平面向量

一、向量的概念及表示

1、向量的概念：具有大小和方向的量稱為向量。（沒有位置、不能比較大小）

（1）數(shù)量與向量的區(qū)別：數(shù)量只有大小，是一個(gè)代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、比較大小；

向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小。

⑵向量的表示方法：

①具有方向的線段，叫做有向線段，以力為始點(diǎn)，8為終點(diǎn)的有向線段記作M,方的長度記作|瓦用有向

線段方表示向量，讀作向量刀；（有向線段的三要素：起點(diǎn)、方向、長度）

②用小寫字母表示：3、右。（印刷時(shí)，用黑體小寫字母，手寫時(shí)，小寫字母要帶箭頭）

（3）向量與有向線段的區(qū)別和聯(lián)系：

①向量只有大小和方向兩個(gè)要素，與起點(diǎn)無關(guān)，只要大小和方向相同，則這兩個(gè)向量就是相同的向量；

②有向線段有起點(diǎn)、大小和方向三個(gè)要素，起點(diǎn)不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段；

③向量可以用有向線段表示，但向量不是有向線段。向量是規(guī)定了大小和方向的量，有向線段是規(guī)定了起點(diǎn)和終

點(diǎn)的線段。

2、向量的模：向量方的大小一一長度稱為向量的模，記作|萬|。（能比較大?。?/p>

3、零向量：長度等于零、方向是任意的向量，記作6。（注意6與0的含義與書寫區(qū)別）

4、單位向量：長度為一個(gè)單位長度的向量。與非零向量3共線的單位向量￡=±二。

說明：零向量、單位向量的定義都只是限制了大小。

5、平行向量：⑴若非零向量3、3的方向相同或相反，則房力，又叫共線向量；

（2）規(guī)定6與任一向量平行。

說明：綜合（1）（2）才是平行向量的完整定義；三點(diǎn)N、B、C共線o茄、就共線；

向量平行無傳遞性，即2虎,芯〃?不能推出】/〃虎（Z可能為6）。

注意：共線向量僅僅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同。

6、共線向量與平行向量關(guān)系：平行向量就是共線向量，這是因?yàn)槿我唤M平行向量都可移到同一直線上（與有向線

段的起點(diǎn)無關(guān)）。

說明：①平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；

②共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系。

7、相等向量：若非零向量7、3方向相同且模相等，則向量1、7是相等向量。

⑴相等向量：H=模相等，方向相同；

（2）相反向量：：=-2=模相等，方向相反。

說明：任意兩個(gè)相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無關(guān)。

二、向量的加法

1、三角形法則

已知向量Z、b,在平面上任取一點(diǎn)作方=1^C=b,再作向量就，則向量就叫做

原理

［與Z的和（或和向量），記作）+3,即）+g=Q+^=就。

Caa

\b衿b..——b_

圖示

8ABCCAB

(1)(2)(3)

注意：（1）和向量的始點(diǎn)是第一個(gè)向量的始點(diǎn)，終點(diǎn)是第二個(gè)向量的終點(diǎn).

（2）零向量與任一向量4的和都有a+O=O+a=a。

2、平行四邊形法則

已知兩個(gè)不共線向量1、b,作方=5,BC=b,則/、B、。三點(diǎn)不共線，以布、而為鄰邊

原理

作平行四邊形，則對角線上的向量就="+6，這個(gè)法則叫做兩個(gè)向量求和的平行四邊形法則。

/DaC

圖示

a

3、多邊形法則

已知"個(gè)向量，依次把這〃個(gè)向量首尾相連，以第一個(gè)向量的始點(diǎn)為始點(diǎn)，第〃個(gè)向量的終點(diǎn)為終

原理

點(diǎn)的向量叫做這〃個(gè)向量的和向量，這個(gè)法則叫做向量求和的多邊形法則。

d9

圖示

0

4、向量加法的運(yùn)算律

交換律a+b=b+a

運(yùn)算律

結(jié)合律(a+b)+c=a+(6+c)

三、向量的減法

1、相反向量：與々長度相等、方向相反的向量，叫做￡的相反向量，記作-2。

（1）規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量；

⑵一（-4）=4;

（3）a+（-〃）=（一Q）+Q=0；

（4）若Z與Z互為相反向量，則）=—，，i=二,a+b=0.

注意：相反向量與相等向量一樣，從“長度”和''方向”兩方面進(jìn)行定義，相反向量必為平行向量。

—?f.—?.—?—?.—*,—?f

2、向量的減法：已知向量。與b（如圖），作=OB=b,則6+歷1=。，向量歷1叫做向量。與b的差，并

—?—*.-?—..B

記作。一6,BA=a-b=OA-OB,由定義可知：V\.

0aA

（1）如果把兩個(gè)向量的始點(diǎn)放在一起，則這兩個(gè)向量的差是以減向量的終點(diǎn)為始點(diǎn)，被減向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量:

(2)一個(gè)向量屈等于它的終點(diǎn)相對于點(diǎn)O的位置向量方減去它的始點(diǎn)相對于點(diǎn)。的位置向量赤，或簡記為“終

點(diǎn)向量減始點(diǎn)向量”：

(3)從一個(gè)向量減去另一個(gè)向量等于加上這個(gè)向量的相反向量。

注意：在用三角形法則作向量減法時(shí)，只要記住“連接向量終點(diǎn)，箭頭指向被減向量”即可。

四、數(shù)乘向量

1、數(shù)乘向量的定義：實(shí)數(shù)九和向量"的乘積是一個(gè)向量，記作九

⑴長度：|山|=|)卜日|,

⑵方向：標(biāo)/(。#6)的方向：當(dāng)九＞0時(shí)，與a同方向；當(dāng)九＜0時(shí)，與〃反方向。

特別地，當(dāng)九=0或5=6時(shí)，oG=6或Q6=6,九］中的實(shí)數(shù)大叫做向量々的系數(shù)。

(3)幾何意義：就是把向量Z沿著［的方向或［的反方向放大或縮小。

(4)運(yùn)算律:設(shè)九、geT?＞則①(九+R)a=)a+jia,②入(口")=(%)a；③九(°+3)=九a+需。

注意：①實(shí)數(shù)與向量可以進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算，但不能進(jìn)行加減運(yùn)算，如九+Z、入均無法運(yùn)算;

②匕的結(jié)果為向量，所以當(dāng)九=0時(shí)，得到的結(jié)果為6而不是0。

2、向量的線性運(yùn)算：向量的加法、減法和數(shù)乘向量的綜合運(yùn)算，通常叫做向量的線性運(yùn)算。

3、兩個(gè)非零向量a、B的夾角：已知非零向量a與3,記OZ=a、OB=b,則/力。8=。(04。4兀)叫做a與

Z的夾角。

說明：①當(dāng)。=0時(shí)，。與3同向；

②當(dāng)0=兀時(shí)，a與Z反向；

③當(dāng)0=四時(shí)，a與Z垂直，記a_L6；

2

④注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點(diǎn)的，夾角范圍為［0,兀］。

4、平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義：已知兩個(gè)非零向量鼠與九它們的夾角是0,則數(shù)量|Z"3|-cosO叫Z與Z的

數(shù)量積，記作々工,即有U=|k|B|-cosO(0404兀)。

規(guī)定6與任何向量的數(shù)量積為0。

說明：兩個(gè)向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積的區(qū)別：

(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號由cosO的符號所決定。

(2)兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成書寫時(shí)注意符號“?”在向量運(yùn)算中不是乘號，既不能省略，也不能

用“X”代替。

(3)(a+b)2=a±2a-b+b,(a+b)?(a-b)=a-b。

(4)在實(shí)數(shù)中，若a*0,且a-6=0,則6=0,

但是在向量中，若且a-Z=O,不能推出7=6,?其中cos0=0。

⑸已知實(shí)數(shù)a、b＞c(bwO),則==但是向量。=不能推出Q=C,.

如右圖：Z$=|Z|」g|-cosB=|3|?|E|,

ff―f—.―f—>一

b-c=\b\*\c\-cosa=\b\'\OA\,n〃,b=b,c但awe。

⑹在實(shí)數(shù)中有(a/)?c=Q?(b?c),但是在向量中(ab)-c=a(bc),

顯然，這是因?yàn)樽蠖耸桥c】共線的向量，而右端是與］共線的向量，而一般々與】不共線。

5、向量Z在Z方向上的投影：設(shè)。為Z、7的夾角，貝ij|5|-cos。為3在Z方向上的投影。

投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量。當(dāng)o為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)o為鈍角時(shí)投影為負(fù)值：當(dāng)e為直角時(shí)投影為o；

當(dāng)0=0。時(shí)投影為|山；當(dāng)0=180"時(shí)投影為-13|。

6、向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積D等于Z的長度與右在Z方向上投影|B|-cosO的乘積。

7、向量的運(yùn)算:

坐標(biāo)形式：

運(yùn)算向量形式

ci必)、by)

=(Xp=(x2,2

求兩個(gè)向量和的運(yùn)算/

平行四邊形法則：

起點(diǎn)相同，對角線為向量和，a

加法a+b=(x+xy+y)

記：7B+JD^AC?物//1v}2

三角形加法法則：^_/b

首尾相連，記：AB+BC=AC。a

求"與右的相反向量-1的和的運(yùn)算叫做々與Z的差

三角形減法法則：八

XV

減法

aa-b=(x]-x2,y}-y2)

起點(diǎn)相同的兩個(gè)向量的差，箭頭從后指向前，記：OA-OB=BA

終點(diǎn)相同的兩個(gè)向量的差，箭頭從前指向后，記：BA-CA=BC

運(yùn)算律：①交換律：a+b=b+a；②結(jié)合律：(a+b)+c^a+(b+c)；③Z+6=6+Z=Z+6。

實(shí)數(shù)九與向量［的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫向量的數(shù)乘，記作

Xa,入a是一個(gè)向量，

數(shù)乘九a=(Qq,孫)

方向：九＞0時(shí)，Mz與〃同向；入＜0時(shí)，入〃與Q反向；入=0時(shí)，

Xtz=6o

運(yùn)算律：①a.石=5?a；②九(|ia)=(%)(!〃，(ka)h=X(a-b)=a(kb)；

—?—?—?—*—?—?—*—*———?-ff

③(>+[x]a=,X(a+b)=Xa+Xb,(a+力)?c=a?c+6?c。

數(shù)量積

a-b=\a\-\b\'cos<aj)>a-b=x[-x2+y{-y2

五、向量的坐標(biāo)運(yùn)算

1、平面向量的正交分解：把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。

2、平面向量的坐標(biāo)表示：

(1)在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量；、J作為基底。對于平面內(nèi)的一個(gè)向量7,

有且只有一對實(shí)數(shù)x、y,使a=xi+"/,把有序數(shù)對(x,歹)叫做向量。的坐標(biāo)，記作。=(x,y),其中x叫做

a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)。在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都是可以用一對實(shí)數(shù)唯一表

示。

(2)向量坐標(biāo)的求法：①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)；②設(shè)/(王，切)、B6,%)，則

4B=*2—X],必—必)，I1=-X])+(%—必)。

(3)若O是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)5=￡+則向量方的坐標(biāo)(x,y)就是終點(diǎn)工的坐標(biāo)，即若況=(x,y),則“點(diǎn)坐

標(biāo)為(x,y),反之亦成立。

注意向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)的區(qū)別：要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的不同，盡管在形式上它們完全一樣，但意義

完全不同，向量坐標(biāo)中既有方向的信息也有大小的信息。

3、線段的定比分點(diǎn)及入：設(shè)石、巴是直線/上的兩點(diǎn)，尸是/上不同于今、巴的任一點(diǎn)，則一定存在實(shí)數(shù)入，使

9二入垣，九叫做點(diǎn)尸分而所成的比。有三種情況：

~~P)p:p??-~

入>0(內(nèi)分)(外分)九<0(入<-1)(外分)X<0(-1<X<0)

(1)定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：若點(diǎn)々(孫必)，8(工2,%)，入為實(shí)數(shù)，且至二入福，則點(diǎn)尸坐標(biāo)為

(毛口，鋁等)，我們稱九為點(diǎn)P分瓶所成的比。

(2)點(diǎn)；的位置與人的范圍的關(guān)系：

①當(dāng)入>0時(shí)，耳。與而同向共線，這時(shí)稱點(diǎn)P為根的內(nèi)分點(diǎn)：

②當(dāng)九<0(九x-1)時(shí)，呼與項(xiàng)反向共線，這時(shí)稱點(diǎn)尸為福的外分點(diǎn)。

⑶若尸分有向線段而所成的比為九，點(diǎn)M為平面內(nèi)的任一點(diǎn)，則訴=”\智絲；

特別地產(chǎn)為68的中點(diǎn)。而=網(wǎng)學(xué)經(jīng)。

4、向量的重要定理、公式、結(jié)論：

(1)一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用。

⑵三角形不等式：|向-山區(qū)日土石區(qū)0|+向。

證明：①非零向量。、g不共線時(shí)，。+工的方向與。、7的方向都不同且-|川|<|〃土皿<|〃|+向；

②非零向量3、g共線時(shí)，設(shè)|)|>|%|,

。與Z同向時(shí)，〃+Z?的方向與a、Z相同且|〃+Z|=|a\+\b\,a-b的方向與a相同且|""二|a\-\b\,

a與Z異向時(shí),a的方向與a相同且|。一皿=|。|一向，a-b的方向與Q相同且|a-Z|=|a|+|3|；

③3、Z至少有一個(gè)6時(shí)IRH而=3土臼=111+11。

(3)重要結(jié)論：若|。+1|二|。一臼，則。_L各。

⑷向量的模：；

非零向量3與g的夾角：cos<a,6>=^j^=7」一十號1月一。

la1x|6|而+心汨+%2

(5)非零向量Q=(再，必)、b=(x2,%)共線或垂直的坐標(biāo)表示：

①向量共線：allh<=>a=Nox［y2=x2y1；

-__TBAT~TDAC

②向量垂直：aVb<=>a-b=0-x2+y1-y2=0a特別地(^=-+^=^)_L(^----=^)。

\AB\\AC\\AB\\AC\

(6)兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)2、3、2為兩個(gè)非零向量，:是與［同向的單位向量。

?a-e-e-a^\a\cos0；

②當(dāng)a與石同向時(shí),a-b-\a\-\b\；當(dāng)a與石反向時(shí),a-b--\a\-\b\?特別的J=a-a=|a『或⑷=后二'；

@(a+b)(a-b)=|a|2-|6|2=4?2-ft2；

(a+b)2^a+b^a2+2a-b+b2=|Z『+2)$+而；

G-3)2=\a-b\2=a2-2^-b+b2=|a|2-2a^+|6|\

@|a-S|<|a|-|S|o

(7)向量共線定理和向量基本定理

①向量共線定理(兩個(gè)向量之間的關(guān)系)：向量Z與非零向量"共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)入，使得了=入"。

變形形式：已知直線/上三點(diǎn)X、B、P,O為直線/外任一點(diǎn)，有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)入，使得：

OP=(l-XyOA+XOB.

特別提醒：共線向量定理應(yīng)用時(shí)的注意點(diǎn)：向量共線的充要條件中要注意“Zw6”，否則九可能不存在，也

可能有無數(shù)個(gè)。證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向

量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線；另外，利用向量平行證明向量所在直線平行，必須說明這兩條直線不

重合。

②平面向量基本定理(平面內(nèi)三個(gè)向量之間關(guān)系)：若5、1是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，則對于這一平面內(nèi)

的任一向量Z,有且只有一對實(shí)數(shù)％、九2，使2=九荷+九2

特別提醒：不共線的向量［、l叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；

基底的不唯一性：只要兩個(gè)向量不共線，就可以作為平面的一組基底，對基底的選取不唯一，平面內(nèi)任意向

量)都可被這個(gè)平面的一組基底5、1線性表示，且在基底確定后，這樣的表示是唯一的。

⑻線段定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式的向量形式：若直線/上三點(diǎn)6、p。、P,且滿足西=兒即(大*-1),在直線/外任

取一點(diǎn)<?,設(shè)麗=),祿=5,可得而二"獨(dú)二」一"+-3。

21+X1+A.1+X

重要結(jié)論：若直線/上三點(diǎn)片、舄、P,O為直線/外任一點(diǎn)，

則5?=入斯+日砒。A.+g=lo

證明：麗=函+9=麗一九麗=麗+9,則麗一弧=入9+9=(1+入)所,

麗-麗麗+九誣Z+范一1一九工

貝廊=麗+9=麗+=—=ClTuo

14-X1+九1+九1+九1+九

(9)在AJ8C中：

重心----中線的交點(diǎn)：重心將中線長度分成2:1；

垂心一一高線的交點(diǎn)：高線與對應(yīng)邊垂直；

內(nèi)心一一角平分線的交點(diǎn)(內(nèi)切圓的圓心)：角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等:

外心一一中垂線的交點(diǎn)(外接圓的圓心)：外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等。

.+：+X3,)1+)；+)3

①若/(再，必)、B(X2,%)、C(x3,%),重心坐標(biāo)為P()。

②若尸為A/18C重心，則ZP=：(46+4C),BP=：(BA+BC),CP=^(CA+CB),PA+PB+PC=?！?/p>

證法1：設(shè)P(x,y),A(X[9必)、S(x2,%)、C(x3,%),

強(qiáng)+方+京=60(區(qū)一")+(々7)+57)=0,

。-y)+5-y)+(%-丁)=0

“…+匕,必+乃+乃。。為―重心。

33

證法2：如圖蘇+麗+正=強(qiáng)+2方=6,則萬=2萬，

二/、P、。三點(diǎn)共線，且尸分力。為2:1,，P是A48C的重心。

③方?麗=而?正=正力o尸為垂心;

A

證明：如圖P是A48C的垂心，

8E垂直/C、垂直SC,D、E是垂足，

PAPB=PBPC=PCPAoPB(PA—PC)=PBCA=Q=PBS.AC,

同理沙，萬正，方oP為A48C垂心。

~4RAC口

④向量入(3+=)(入No)所在直線過\ABC內(nèi)心(是/8/C角平分線所在直線)；

\AB\\AC\

⑤I刀|xA?+|旅|x2+|B|x方=。O尸為A48c內(nèi)心;

4RA—