2023屆上海市寶山區(qū)高三上學(xué)期數(shù)學(xué)一模期末試卷及答案

高三上學(xué)期數(shù)學(xué)〔一模)期末試卷一、單項(xiàng)選擇題1.直線的一個(gè)法向量可以是〔

〕A.

B.

C.

D.

2.“函數(shù)〔，且〕的最小正周期為2〞，是“〞的〔

〕A.

充分非必要條件

B.

必要非充分條件

C.

充要條件

D.

既非充分也非必要條件3.從0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這10個(gè)數(shù)中任取5個(gè)不同的數(shù)，那么這5個(gè)不同的數(shù)的中位數(shù)為4的概率為〔

〕A.

B.

C.

D.

4.以下結(jié)論中錯(cuò)誤的選項(xiàng)是〔

〕A.

存在實(shí)數(shù)x，y滿足，并使得成立

B.

存在實(shí)數(shù)x，y滿足，并使得成立

C.

滿足，且使得成立的實(shí)數(shù)x，y不存在

D.

滿足，且使得成立的實(shí)數(shù)x，y不存在二、填空題5.假設(shè)集合，那么________．2=6x的準(zhǔn)線方程為_(kāi)_______．7.復(fù)數(shù)z滿足〔i為虛數(shù)單位〕，那么________．8.設(shè)，那么和的夾角大小為_(kāi)_______．〔結(jié)果用反三角函數(shù)表示〕9.二項(xiàng)式，那么其展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_______．10.假設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足，那么的最大值為_(kāi)_______．11.圓錐的底面半徑為1，高為，那么該圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角的大小為_(kāi)_______．12.方程在區(qū)間上的所有解的和為_(kāi)_______．13.函數(shù)的周期為2，且當(dāng)時(shí)，，那么________．14.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對(duì)任意，均有，那么________．15.設(shè)函數(shù)，給出以下的結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)；②當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)；③當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn)；④當(dāng)時(shí)，設(shè)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，那么．那么所有正確結(jié)論的序號(hào)是________．16.假設(shè)定義在N上的函數(shù)滿足：存在，使得成立，那么稱與在N上具有性質(zhì)，設(shè)函數(shù)與，其中，，與在N上不具有性質(zhì)，將a的最小值記為．設(shè)有窮數(shù)列滿足，這里表示不超過(guò)的最大整數(shù)．假設(shè)去掉中的一項(xiàng)后，剩下的所有項(xiàng)之和恰可表為，那么的值為_(kāi)_______．三、解答題17.如圖，在長(zhǎng)方體中，T為上一點(diǎn)，．〔1〕求直線與平面所成角的大小〔用反三角函數(shù)表示〕；〔2〕求點(diǎn)到平面的距離．18.函數(shù)．〔1〕當(dāng)時(shí)，解不等式；〔2〕設(shè)，且函數(shù)存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19.設(shè)函數(shù)的最小正周期為，且的圖像過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)．〔1〕求、的值；〔2〕在中，假設(shè)，且三邊，，所對(duì)的角分別為，，，試求的值．20.分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，M為上的一點(diǎn)．〔1〕

假設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，求的面積；〔2〕假設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)，且直線與交于兩不同點(diǎn)A、B，求證：為定值，并求出該定值；〔3〕如圖，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作圓〔其中r為定值，且〕的兩條切線，分別交于點(diǎn)P，Q，直線的斜率分別記為．如果為定值，試問(wèn)：是否存在銳角，使？假設(shè)存在，試求出的一個(gè)值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．21.假設(shè)有窮數(shù)列：滿足〔這里i，，常數(shù)〕，那么稱又窮數(shù)列具有性質(zhì)．〔1〕有窮數(shù)列具有性質(zhì)〔常數(shù)〕，且，試求t的值；〔2〕設(shè)〔，常數(shù)〕，判斷有窮數(shù)列是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由；〔3〕假設(shè)有窮數(shù)列：具有性質(zhì)，其各項(xiàng)的和為20000，中的最大值記為A，當(dāng)時(shí)，求的最小值．

答案解析局部一、單項(xiàng)選擇題1.【解析】【解答】直線的一個(gè)方向向量為，設(shè)直線的法向量為，因?yàn)?，所以，得，所以法向?故答案為：C.

【分析】由直線方向向量的定義得到個(gè)方向向量為，設(shè)出直線法向量的坐標(biāo)結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式代入數(shù)值計(jì)算出t的值，由此得到直線的法向量。2.【解析】【解答】解：當(dāng)函數(shù)〔，且〕的最小正周期為2時(shí)，所以,不能得出，故充分性不成立，當(dāng)時(shí)，的最小正周期為，故必要性成立綜上：“函數(shù)〔，且〕的最小正周期為2〞，是“〞的必要非充分條件.故答案為：B.

【分析】由周期的公式計(jì)算出，分情況討論當(dāng)取不同的值時(shí)求出函數(shù)的周期，結(jié)合充分和必要條件的定義即可得出答案。3.【解析】【解答】根據(jù)題意：從10個(gè)數(shù)中任取5個(gè)不同的數(shù)，那么根本領(lǐng)件為，那么這5個(gè)不同的數(shù)的中位數(shù)為4的有：，故概率.故答案為：C

【分析】根據(jù)題意由排列組合的定義即可求出根本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)以及滿足5個(gè)不同的數(shù)的中位數(shù)為4的事件的個(gè)數(shù)，再由古典概率的定義計(jì)算出結(jié)果即可。4.【解析】【解答】解：畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖陰影所示：，令，可知可行域內(nèi)的點(diǎn)在邊界時(shí)，取得最大值或最小值；對(duì)于A項(xiàng)，最優(yōu)解在時(shí)，，因?yàn)?，所以的最大值?，且此時(shí).所以A不符合題意；對(duì)于B項(xiàng)，即，由根本不等式知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，解得，且點(diǎn)在可行域內(nèi)，B項(xiàng)正確，不選；對(duì)于C項(xiàng)，最優(yōu)解在時(shí)，，因?yàn)椋?所以滿足，且使得成立的實(shí)數(shù)x，y不存在，所以C項(xiàng)正確，不選；對(duì)于D項(xiàng)，由對(duì)C項(xiàng)的分析可知，滿足，且使得成立的實(shí)數(shù)x，y不存在，所以D項(xiàng)正確，不選；故答案為：A.

【分析】根據(jù)題意作出可行域再由條件找出目標(biāo)函數(shù)，把目標(biāo)函數(shù)化為直線方程的截距由數(shù)形結(jié)合法即可得出當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)邊界點(diǎn)時(shí)，z取得最大值或最小值并由直線的方程求出邊界點(diǎn)的坐標(biāo)，然后把坐標(biāo)代入到目標(biāo)函數(shù)計(jì)算出z的值即可求出最值；對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可得出答案。二、填空題5.【解析】【解答】解：因?yàn)榧?，所?故答案為：〔-4，-3〕

【分析】利用交集的定義即可得出答案。6.【解析】【解答】解：拋物線方程可知p=3，∴準(zhǔn)線方程為x=﹣=﹣故答案為x=﹣【分析】根據(jù)拋物線方程求得p，進(jìn)而根據(jù)拋物線性質(zhì)求得其準(zhǔn)線方程．7.【解析】【解答】因?yàn)?，所以，?故答案為：1-i

【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)整理化簡(jiǎn)即可得出結(jié)論。8.【解析】【解答】解：向量，所以，所以.故答案為：.

【分析】根據(jù)題意由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式代入數(shù)值計(jì)算出，由此即可求出角的大小。9.【解析】【解答】由二項(xiàng)式展開(kāi)式為常數(shù)項(xiàng)，可知，所以常數(shù)項(xiàng)為.

【分析】首先根據(jù)題意由二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，令x的系數(shù)為零即6-2r=0即r=3并把數(shù)值代入到通項(xiàng)公式計(jì)算出結(jié)果即可求出常數(shù)項(xiàng)。10.【解析】【解答】不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影局部所示，由可得，那么表示直線在軸的截距，由圖像可得，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，在軸的截距最大，即有最大值；聯(lián)立，解得，故.故答案為：4.

【分析】根據(jù)題意作出可行域再由條件找出目標(biāo)函數(shù)，把目標(biāo)函數(shù)化為直線方程的截距由數(shù)形結(jié)合法即可得出當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，z取得最大值并由直線的方程求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后把坐標(biāo)代入到目標(biāo)函數(shù)計(jì)算出z的值即可求出最大值。

11.【解析】【解答】圓錐的底面半徑為1，高為，那么圓錐的母線長(zhǎng)為，即展開(kāi)后所得扇形的半徑為2，圓錐底面圓的周長(zhǎng)即為展開(kāi)后所得扇形的弧長(zhǎng)，所以根據(jù)弧長(zhǎng)公式可知，解得故答案為：π

【分析】根據(jù)圓錐的截面由勾股定理計(jì)算出母線的值，再由弧長(zhǎng)公式計(jì)算出結(jié)果即可。12.【解析】【解答】方程，即為：，解得或，因?yàn)?，所以或，所以方程在區(qū)間上的所有解的和為π故答案為：π

【分析】首先由二倍角的余弦定理整理得到關(guān)于sinx的方程，求解出sinx的值進(jìn)而求出角的值進(jìn)而得到答案。13.【解析】【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)是周期為2的周期函數(shù)，所以，又當(dāng)時(shí)，，所以.故答案為：

【分析】首先由周期公式整理得到結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求出函數(shù)的值即可。14.【解析】【解答】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減得，又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以，故答案為：

【分析】首先由數(shù)列余弦公式和數(shù)列前n項(xiàng)和公式的關(guān)系即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，由此得出數(shù)列為等比數(shù)列結(jié)合等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式計(jì)算出結(jié)果即可。15.【解析】【解答】①當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，且，函?shù)為偶函數(shù)，故①正確；②當(dāng)時(shí)，，由，得，那么在上不單調(diào)，故②錯(cuò)誤；③當(dāng)時(shí)，，由，即，那么，，共四個(gè)零點(diǎn)，故③錯(cuò)誤；④當(dāng)時(shí)，，周期，區(qū)間的長(zhǎng)度為，即為周期，所以當(dāng)區(qū)間為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間或單調(diào)遞減區(qū)間時(shí)，最大，令，即，故④正確；故答案為：①④.

【分析】由奇偶性的定義即可判斷出選項(xiàng)①正確；結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出選項(xiàng)②錯(cuò)誤；把a(bǔ)、b的值代入整理求出函數(shù)的解析式令計(jì)算出零點(diǎn)的個(gè)數(shù)由此判斷出選項(xiàng)③錯(cuò)誤；把a(bǔ)、b的值代入整理函數(shù)的解析式，然后求出周期由周期的性質(zhì)即可得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可知最大，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求出最值由此即可判斷出選項(xiàng)④正確；進(jìn)而得到答案。16.【解析】【解答】因?yàn)榕c在N上不具有性質(zhì)，所以在N上恒成立，令在N上恒成立，當(dāng)時(shí)，最小，所以聯(lián)立，得到，令，那么，當(dāng)時(shí)，，遞減，當(dāng)時(shí)，，遞增，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)椋?，所以，而，取，那么，所以，故答案為?626.

【分析】根據(jù)題意把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f〔x〕≥g〔x〕在N上恒成立，令在N上恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a0=e2，從而求出Sn，再求出答案即可．三、解答題17.【解析】【分析】法一：(1)根據(jù)題意作出輔助線結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理即可得出直線與平面所成的角即為，由直角三角形中的幾何關(guān)系計(jì)算出，進(jìn)而求出角的大小。

法二：根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系求出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)以及向量和平面ABCD法向量的坐標(biāo)，再由數(shù)量積的坐標(biāo)公式代入數(shù)值計(jì)算出,進(jìn)而求出直線與平面所成角的大小。

(2)法一：結(jié)合長(zhǎng)方體的性質(zhì)由三角形的幾何計(jì)算關(guān)系求出三角形的面積再由等體積法代入數(shù)值計(jì)算出點(diǎn)到平面的距離。

法二：根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系求出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)以及向量的坐標(biāo)，再由數(shù)量積的坐標(biāo)公式即可求出平面的法向量的坐標(biāo)，結(jié)合向量坐標(biāo)的運(yùn)算公式代入數(shù)值即可求出距離的值。18.【解析】【分析】(1)把m的值代入求出函數(shù)的解析式結(jié)合題意即可得到，利用不等式的性質(zhì)即可得出整理化簡(jiǎn)即可求出x的取值范圍。

(2)結(jié)合題意得到當(dāng)時(shí)，方程有解，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值即可求出函數(shù)f(x)的再由即m的取值范圍。19.【解析】【分析】(1)利用條件即可求出再由點(diǎn)在圖象上把點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求出。

(2)根據(jù)題意利用正弦定理整理化簡(jiǎn)即可得到，再由余弦定理得出結(jié)合根本不等式即可求出，即由此得到以及，從而即可求出結(jié)果。20.【解析】【分析】(1)根據(jù)題意首先求出焦點(diǎn)的坐標(biāo)，再由點(diǎn)在橢圓上計(jì)算出m的值，結(jié)合三角形的面積公式代入數(shù)值計(jì)算出面積值即可。

(2)根據(jù)題意聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去y等到關(guān)于x的一元二次方程結(jié)合韋達(dá)定理即可得到關(guān)于k的兩根之和與兩根之積的代數(shù)