2022-2023學(xué)年吉林省長春市高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題2-附答案

2022-2023學(xué)年吉林省長春市高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求處在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，根據(jù)點(diǎn)斜式直線方程求解.【詳解】，在點(diǎn)處的切線方程為：，即；故選：A.2．10支步槍中有6支已經(jīng)校準(zhǔn)過，4支未校準(zhǔn)，一名射擊運(yùn)動員用校準(zhǔn)過的槍射擊時(shí)，中靶的概率為，用未校準(zhǔn)的槍射擊時(shí)，中靶的概率為，現(xiàn)從10支中任取一支射擊，則中靶的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)從10支中任取一支取得校準(zhǔn)槍支為事件，取得未校準(zhǔn)槍支為事件，分別求其概率，根據(jù)全概率公式求解即可.【詳解】設(shè)從10支中任取一支取得校準(zhǔn)槍支為事件，取得未校準(zhǔn)槍支為事件，中靶為事件，則,，所以.故選：B3．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意得，令，解得或，故其單調(diào)增區(qū)間為，故選：A.4．盒子中有9個(gè)大小質(zhì)地完全相同的小球，其中3個(gè)紅球，6個(gè)黑球，從中依次隨機(jī)摸出3個(gè)小球，則第三次摸到紅球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】對第一，二次抽到的球的顏色進(jìn)行分類討論，利用獨(dú)立事件的概率乘法公式以及互斥事件的概率加法公式可求得結(jié)果.【詳解】第三次摸到紅球包括四種情況：第一次摸到紅球，第二次摸到紅球，第三次摸到紅球，概率為；第一次摸到紅球，第二次摸到黑球，第三次摸到紅球，概率為；第一次摸到黑球，第二次摸到紅球，第三次摸到紅球，概率為；第一次摸到黑球，第二次摸到黑球，第三次摸到紅球，概率為；所以第三次摸到紅球的概率為，故選：C5．假設(shè)某射手每次射擊命中率相同，且每次射擊之間相互沒有影響.若在兩次射擊中至多命中一次的概率是，則該射手每次射擊的命中率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)該射手射擊命中的概率為，兩次射擊命中的次數(shù)為，由可得答案.【詳解】設(shè)該射手射擊命中的概率為，兩次射擊命中的次數(shù)為，則，由題可知：，即，解得.故選：C.6．若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系列出關(guān)于實(shí)數(shù)a的不等式，解之即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】，則由函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，可得在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，又由，可得，則故選：D7．設(shè)隨機(jī)變量，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題知，，進(jìn)而根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求解即可.【詳解】解：因?yàn)殡S機(jī)變量，所以，因?yàn)椋?，所以，根?jù)正態(tài)分布的對稱性，.故選：A8．已知函數(shù)，關(guān)于x的方程恰有4個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得函數(shù)的圖象，再根據(jù)，分別根據(jù)與和圖象的關(guān)系列不等式求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，由，得，由，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的大致圖象如圖所示.，即，解得或.由圖可知或或或，解得或，即m的取值范圍是.故選：C二、多選題9．下列命題中正確的為（

）A．隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，若，，則；B．將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來的2倍后，則方差也隨之?dāng)U大為2倍；C．隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則；D．某人在10次射擊中，擊中目標(biāo)的次數(shù)為X，，則當(dāng)時(shí)概率最大．【答案】ACD【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布數(shù)學(xué)期望和方差的公式，結(jié)合數(shù)學(xué)方差的性質(zhì)、正態(tài)分布的對稱性、二項(xiàng)分布的概率公式逐一判斷即可.【詳解】由題意，得，解得，故A正確；由，故將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來的2倍后，則方差也隨之?dāng)U大為4倍，故B錯(cuò)誤；由題意，得，，，由正態(tài)曲線的對稱性，得，故C正確；記，（這里），，當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，遞增，當(dāng)時(shí)，，即時(shí)遞減，又，故，所以，即當(dāng)時(shí)概率最大，故D正確，故選：ACD10．已知函數(shù)，其中，則下列說法正確的有（

）A．的極大值為 B．的極小值為C．的單調(diào)減區(qū)間為 D．的值域?yàn)椤敬鸢浮緼BD【分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值，比較端點(diǎn)值，求函數(shù)的值域.【詳解】，，令，得或，當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)，極大值，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，極小值，故AB正確；C錯(cuò)誤；，，比較函數(shù)的極大值和極小值，可知，函數(shù)的最小值是0，函數(shù)的最大值是，所以函數(shù)的值域是，故D正確.故選：ABD11．將5個(gè)質(zhì)地和大小均相同的小球分裝在甲、乙兩個(gè)口袋中，甲袋中裝有1個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球．采用不放回抽取的方式，先從甲袋每次隨機(jī)抽取一個(gè)小球，當(dāng)甲袋中的1個(gè)黑球被取出后再用同一方式在乙袋中進(jìn)行抽取，直到將乙袋中的2個(gè)黑球全部取出后停止．記總抽取次數(shù)為X，下列說法正確的是（

）A．B．C．已知從甲袋第一次就取到了黑球，則D．若把這5個(gè)球放進(jìn)一個(gè)袋子里去，每次隨機(jī)抽取一個(gè)球，取后不放回，直到將袋中的黑球全部取出后停止，記總抽取次數(shù)為Y，則【答案】AB【分析】依題意，X的可能取值有3，4，5，Y的可能取值有3，4，5，求出相應(yīng)的概率，再利用公式求出期望可驗(yàn)證選項(xiàng)ABD，計(jì)算條件概率驗(yàn)證選項(xiàng)C.【詳解】設(shè)從甲袋第一次就取到了黑球?yàn)槭录嗀，則，設(shè)為事件B，則，所以，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；X可能的取值為3，4，5，，，，，選項(xiàng)AB正確；Y可能的取值為3，4，5，，，，，，選項(xiàng)D錯(cuò)誤故選：AB12．關(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（

）A．是的極大值點(diǎn)B．函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)C．對不等式在上恒成立D．對任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且，若，則【答案】BC【分析】對于A，直接對函數(shù)求導(dǎo)研究即可；對于B，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，利用單調(diào)性來判斷即可；對于C，將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求其最大值即可；對于D，將問題轉(zhuǎn)化為證明，，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最值可得答案.【詳解】對于A，，，令，得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，為的極小值點(diǎn)，A錯(cuò)誤；對于B，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，所以函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)，B正確；對于C，若在上恒成立，得在上恒成立，則令，則，令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，即，在上單調(diào)遞減，故函數(shù)，則，C正確；對于D，令，，則在上單調(diào)遞減，則，即，，，結(jié)合A選項(xiàng)可得，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即對任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且，若，則，D錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題難點(diǎn)在選項(xiàng)D，將問題轉(zhuǎn)化為證明，是關(guān)鍵，然后構(gòu)造出函數(shù)來解決問題.三、填空題13．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足關(guān)系式，則的值等于________．【答案】【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，然后將代入化簡可求出的值，進(jìn)而得出.【詳解】由，得，令，則，解得，.故答案為：.14．若p為非負(fù)實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量X的分布列為下表，則的最大值是______．X012P【答案】1【分析】根據(jù)所給的分布列，寫出關(guān)于概率p的不等式組，解出p的范圍，寫出期望和方差的表示式，根據(jù)p的范圍，求出最值.【詳解】，，，，，當(dāng)時(shí)，.故答案為：115．針對“中學(xué)生追星問題”，某校團(tuán)委對“學(xué)生性別和中學(xué)生追星是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，其中女生人數(shù)是男生人數(shù)的，男生追星的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生追星的人數(shù)占女生人數(shù)的，若根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷中學(xué)生追星與性別有關(guān)，則男生至少有______人．參考數(shù)據(jù)及公式如下：0.0500.0100.0013.8416.63510.828參考公式：，其中．【答案】30【分析】設(shè)男生人數(shù)為，依題意可得列聯(lián)表；根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，代入求觀測值的公式，求出觀測值同臨界值進(jìn)行比較，列不等式即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)男生人數(shù)為，依題意可得列聯(lián)表如下：喜歡追星不喜歡追星總計(jì)男生女生總計(jì)根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷中學(xué)生追星與性別有關(guān)，則，由，解得，由題知應(yīng)為6的整數(shù)倍，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷中學(xué)生追星與性別有關(guān)，則男生至少有30人，故答案為：30.16．已知函數(shù).若，，且都有.則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【分析】先求導(dǎo)判斷在上單調(diào)性，將化簡為，進(jìn)而得到在上單調(diào)遞增，再利用構(gòu)造函數(shù)法即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】，則則在上恒成立則在上單調(diào)遞減不妨設(shè)，則則可化為即令，則在上單調(diào)遞增則在上恒成立即在上恒成立令，則令，，則，在上恒成立則在上單調(diào)遞減，又，則在上恒成立則在上恒成立則在上單調(diào)遞增則，在上恒成立，則，又，則故實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為：四、解答題17．已知某電器市場由甲、乙、丙三家企業(yè)占有，其中甲廠產(chǎn)品的市場占有率為40％，乙廠產(chǎn)品的市場占有率為36％，丙廠產(chǎn)品的市場占有率為24％，甲、乙、丙三廠產(chǎn)品的合格率分別為，，．(1)現(xiàn)從三家企業(yè)的產(chǎn)品中各取一件抽檢，求這三件產(chǎn)品中恰有兩件合格的概率；(2)現(xiàn)從市場中隨機(jī)購買一臺該電器，則買到的是合格品的概率為多少？【答案】(1)(2)【分析】（1）由相互獨(dú)立事件的概率可得；（2）根據(jù)各產(chǎn)品的市場占有率和合格率，由條件概率公式計(jì)算可得.【詳解】（1）記隨機(jī)抽取甲乙丙三家企業(yè)的一件產(chǎn)品，產(chǎn)品合格分別為事件，，，則三個(gè)事件相互獨(dú)立，恰有兩件產(chǎn)品合格為事件D，則．故從三家企業(yè)的產(chǎn)品中各取一件抽檢，則這三件產(chǎn)品中恰有兩件合格的概率是．（2）記事件B為購買的電器合格，記隨機(jī)買一件產(chǎn)品，買到的產(chǎn)品為甲乙丙三個(gè)品牌分別為事件，，，，，，，，，．故在市場中隨機(jī)購買一臺電器，買到的是合格品的概率為．18．已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為．（1）求實(shí)數(shù)，的值；（2）若曲線，求曲線過點(diǎn)的切線方程．【答案】（1），；（2）或．【分析】(1)由已知可得，，列方程求a，b，(2)設(shè)設(shè)曲線與過點(diǎn)的切線相切于點(diǎn)，，則與直線PA的斜率相等，由此可求切點(diǎn)坐標(biāo)，并求出對應(yīng)的切線方程.【詳解】解：（1）的導(dǎo)數(shù)為，由曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為，可得，即，又（1），解得，即有，；（2）曲線，即，導(dǎo)數(shù)，設(shè)曲線與過點(diǎn)的切線相切于點(diǎn)，，則切線的斜率，所以切線方程為，即，因?yàn)辄c(diǎn)在切線上，所以，即，即有，所以，解得或，故所求的切線方程為或．19．為貫徹落實(shí)全民健身國家戰(zhàn)略，增強(qiáng)全民自我健身意識，某社區(qū)組織開展“我運(yùn)動，我健康，我快樂”全民健身月活動，并在月末隨機(jī)抽取了300名居民并統(tǒng)計(jì)其每天的平均鍛煉時(shí)間，得到的數(shù)據(jù)如下表，并將日均鍛煉時(shí)間在內(nèi)的居民評為“陽光社員”．日均鍛煉時(shí)間（分鐘）總?cè)藬?shù)156090754515(1)請根據(jù)上表中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷是否能認(rèn)為“該社區(qū)居民的日均鍛煉時(shí)間與性別有關(guān)”；性別居民評價(jià)合計(jì)非陽光社員陽光社員男女6090合計(jì)(2)從上述非陽光社員的居民中，按性別利用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取15名居民，再從這15名居民中隨機(jī)抽取4人，調(diào)查他們鍛煉時(shí)間偏少的原因．記所抽取的4人中男性的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率來估計(jì)全市居民的情況．現(xiàn)在從該市的居民中抽取5名居民，求其中恰有2名居民被評為“陽光社員”的概率；參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：．【答案】(1)2×2列聯(lián)表見解析，能認(rèn)為“該社區(qū)居民的日均鍛煉時(shí)間與性別有關(guān)”；(2)分布列見解析，期望為；(3).【分析】（1）完善2×2列聯(lián)表，計(jì)算的觀測值，再與臨界值表比對作答.（2）利用分層抽樣求出15人中男性、女性人數(shù)，再求出的可能值，求出各個(gè)值對應(yīng)的概率，列出分布列求出期望作答.（3）求出社區(qū)居民為陽光社員的頻率，再利用二項(xiàng)分布求出概率作答.【詳解】（1）依題意，2×2列聯(lián)表如下：性別居民評價(jià)合計(jì)非陽光社員陽光社員男45165210女306090合計(jì)75225300所以,所以，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為“該社區(qū)居民的日均鍛煉時(shí)間與性別有關(guān)”.（2）依題意，所抽取的15名居民中,男性為(名),女性為(名),所有可能取值為0,1,2,3,4，，，所以的分布列為：01234

.（3）設(shè)所抽取的5名居民中“陽光社員”的人數(shù)為，由（1）知，表中社區(qū)居民為陽光社員的頻率為，將頻率視為概率，因此，則，所以5名居民中恰有2名居民被評為“陽光社員”的概率為.20．已知函數(shù).(1)若在處取得極值，求a的值；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）求得，由，求得，經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，符合題意；（2）由，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，不符合題意；當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，結(jié)合，即可求解.【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得函數(shù)的定義域?yàn)?，且，因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極值，所以，解得，當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，符合題意.（2）解：由，其中，當(dāng)時(shí)，可得，單調(diào)遞減，函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)極小值，也是最小值，最小值為，當(dāng)時(shí)，，且，要使得函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則滿足，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.21．某市為了傳承發(fā)展中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，組織該市中學(xué)生進(jìn)行了一次文化知識有獎(jiǎng)競賽，競賽獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下，得分在內(nèi)的學(xué)生獲三等獎(jiǎng)，得分在內(nèi)的學(xué)生獲二等獎(jiǎng)，得分在內(nèi)的學(xué)生獲一等獎(jiǎng)，其他學(xué)生不得獎(jiǎng)．為了解學(xué)生對相關(guān)知識的掌握情況，隨機(jī)抽取100名學(xué)生的競賽成績，并以此為樣本繪制了如下樣本頻率分布直方圖．(1)現(xiàn)從該樣本中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生的競賽成績，求這兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生獲獎(jiǎng)的概率；(2)若該市所有參賽學(xué)生的成績X近似服從正態(tài)分布，其中，為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，利用所得正態(tài)分布模型解決以下問題：①若該市共有10000名學(xué)生參加了競賽，試估計(jì)參賽學(xué)生中成績超過79分的學(xué)生數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）；②若從所有參賽學(xué)生中（參賽學(xué)生數(shù)大于10000）隨機(jī)抽取4名學(xué)生進(jìn)行訪談，求其中競賽成績在64分以上的學(xué)生人數(shù)的期望與方差．附參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，，．【答案】(1)(2)①人；②期望為，方差為.【分析】（1）根據(jù)題意得到有30人獲獎(jiǎng)，70人沒有獲獎(jiǎng)，利用組合數(shù)公式，結(jié)合古典摡型的概率計(jì)算公式，即可求解；（2）利用由樣本頻率分布直方圖的平均數(shù)的公式，求得，得到成績近似服從正態(tài)分布，①結(jié)合正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，即可求解參賽學(xué)生中成績超過分的概率及人數(shù)；②根據(jù)題意得到隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，結(jié)合獨(dú)立重復(fù)事件的概率公式，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，利用期望和方差的公式，即可求解.【詳解】（1）解：由樣本的頻率分布直方圖得，樣本中獲一等獎(jiǎng)的有6人，獲二等獎(jiǎng)的有8人，獲三等獎(jiǎng)的有16人，共有30人獲獎(jiǎng)，70人沒有獲獎(jiǎng)，從該樣本中隨機(jī)抽取2名學(xué)生的競賽成績，基本事件的總數(shù)為種不同抽法，設(shè)“抽取的兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生獲獎(jiǎng)”為事件，則事件包含的基本事件的個(gè)數(shù)為種不同的抽法，所以這兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生獲獎(jiǎng)的概率為.（2）解：由樣本頻率分