2021年江蘇省南通市啟東東南中學(xué)高三數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析

2021年江蘇省南通市啟東東南中學(xué)高三數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為,若，,則當(dāng)取最大值時(shí)等于（）A．4

B．5

C．6

D．7

參考答案：B2.將函數(shù)y=cosx+sinx（x∈R）的圖象向左平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則m的最小值是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的正弦函數(shù)；函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】函數(shù)解析式提取2變形后，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，利用平移規(guī)律得到平移后的解析式，根據(jù)所得的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，即可求出m的最小值．【解答】解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），∴圖象向左平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=2sin[（x+m）+]=2sin（x+m+），∵所得的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，∴m+=kπ+（k∈Z），則m的最小值為．故選B【點(diǎn)評(píng)】此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．3.若集合，集合,則

(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C略4.函數(shù)的零點(diǎn)屬于區(qū)間A.

B.

C.

D.

參考答案：B略5.下列命題錯(cuò)誤的是(

)

A．若則；B．點(diǎn)為函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心；C．已知向量與向量的夾角為°，若，則在上的投影為；D．“”的充要條件是“，或（）”.參考答案：C略6.若函數(shù)的零點(diǎn)與的零點(diǎn)之差的絕對(duì)值不超過(guò)，則可以是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A7.（5分）（2015?嘉興二模）已知函數(shù)，其中a∈R．若對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)x1，存在唯一的非零實(shí)數(shù)x2（x1≠x2），使得f（x1）=f（x2）成立，則k的取值范圍為（）A．k≤0B．k≥8C．0≤k≤8D．k≤0或k≥8參考答案：D【考點(diǎn)】：分段函數(shù)的應(yīng)用．【專(zhuān)題】：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】：由于函數(shù)f（x）是分段函數(shù)，且對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)x1，存在唯一的非零實(shí)數(shù)x2（x2≠x1），使得f（x2）=f（x1）成立，得到x=0時(shí)，f（x）=k（1﹣a2），進(jìn)而得到，關(guān)于a的方程（3﹣a）2=k（1﹣a2）有實(shí)數(shù)解，即得△≥0，解出k即可．解：由于函數(shù)f（x）=，其中a∈R，則x=0時(shí)，f（x）=k（1﹣a2），又由對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)x1，存在唯一的非零實(shí)數(shù)x2（x2≠x1），使得f（x2）=f（x1）成立．∴函數(shù)必須為連續(xù)函數(shù)，即在x=0附近的左右兩側(cè)函數(shù)值相等，∴（3﹣a）2=k（1﹣a2）即（k+1）a2﹣6a+9﹣k=0有實(shí)數(shù)解，所以△=62﹣4（k+1）（9﹣k）≥0，解得k≤0或k≥8．8.若圓的方程為（為參數(shù)），直線(xiàn)的方程為（t為參數(shù)），則直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系是（

）.A.相交而不過(guò)圓心

B.相交過(guò)圓心

C.相切

D.相離參考答案：A略9.如果執(zhí)行如圖的程序框圖，那么輸出的值是A.2016

B.2

C.

D.參考答案：B10.設(shè)全集,，則圖中陰影部分表示的集合為

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B，.圖中陰影部分為，所以，所以，選B.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.觀察下列等式：1×2=×1×2×3，

1×2+2×3=×2×3×4，

1×2+2×3+3×4=×3×4×5，……，照此規(guī)律， 計(jì)算1×2+2×3+……+n（n+1）=

。（n*）參考答案：觀察等式規(guī)律：1×2=×1×2×3，

1×2+2×3=×2×3×4，

1×2+2×3+3×4=×3×4×5，……，等式右邊和相乘的有三個(gè)數(shù)，第幾個(gè)式子就從幾開(kāi)始乘起，照此規(guī)律，1×2+2×3+……+n（n+1）=。12..已知函數(shù)定義在上，對(duì)任意的，已知，則

參考答案：1略13.已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤－2，xR}，B＝{x|x＜1，xR}，則(?UA)∩B＝

▲

．參考答案：14.若函數(shù)的最小值為，最大值為，則＝_________．參考答案：【測(cè)量目標(biāo)】數(shù)學(xué)基本知識(shí)和基本技能/理解或掌握初等數(shù)學(xué)中有關(guān)方程與代數(shù)的基本知識(shí).【知識(shí)內(nèi)容】函數(shù)與分析/函數(shù)及其基本性質(zhì)/函數(shù)的基本性質(zhì);方程與代數(shù)/數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法/數(shù)列的極限.【試題分析】因?yàn)?，所以，所以?15.若某程序框圖如圖所示，則該程序運(yùn)行后輸出的值是

參考答案：30略16.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，，則

．參考答案：2117.已知上所有實(shí)根和為

參考答案：10

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知橢圓E：+=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F1與拋物線(xiàn)y2=﹣4x的焦點(diǎn)重合，橢圓E的離心率為，過(guò)點(diǎn)M（m，0）（m＞）作斜率不為0的直線(xiàn)l，交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P（，0），且?為定值．（Ⅰ）求橢圓E的方程；（Ⅱ）求△OAB面積的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（Ⅰ）由拋物線(xiàn)方程求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，即橢圓左焦點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合橢圓離心率可得長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，再由b2=a2﹣c2求出短半軸，則橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程可求；（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線(xiàn)l的方程為：x=ty+m，由整理得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0由?為定值，解得m，|AB|=|y1﹣y2|=，點(diǎn)O到直線(xiàn)AB的距離d=，△OAB面積s=即可求得最值【解答】解：（Ⅰ）設(shè)F1（﹣c，0），∵拋物線(xiàn)y2=﹣4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），且橢圓E的左焦點(diǎn)F與拋物線(xiàn)y2=﹣4x的焦點(diǎn)重合，∴c=1，又橢圓E的離心率為，得a=，于是有b2=a2﹣c2=1．故橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線(xiàn)l的方程為：x=ty+m，由整理得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0，，==（t2+1）y1y2+（tm﹣t）（y1+y2）+m2﹣=．要使?為定值，則，解得m=1或m=（舍）當(dāng)m=1時(shí)，|AB|=|y1﹣y2|=，點(diǎn)O到直線(xiàn)AB的距離d=，△OAB面積s==．∴當(dāng)t=0，△OAB面積的最大值為，19.函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值記為.試寫(xiě)出的函數(shù)表達(dá)式；作出的圖像并求出的最小值.參考答案：略20.已知數(shù)列滿(mǎn)足：，其中為數(shù)列的前項(xiàng)和.（Ⅰ）試求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列滿(mǎn)足：，試求的前項(xiàng)和公式.參考答案：解：（Ⅰ）

①②ks5u②-①得

又時(shí)，……6分[（Ⅱ）

③④③-④得整理得：…………12分-略21.如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，將△，△，分別沿，折起，使，兩點(diǎn)重合于點(diǎn)，連接．（Ⅰ）求證:平面； （Ⅱ）求與平面所成角的正弦值．參考答案：（Ⅰ），平面，又平面,,由已知可得，平面；…………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面平面，則為與平面所成角，設(shè)，交于點(diǎn)，連，則，，又平面，平面，，………………12分在△中，，與平面所成角的正弦值為．…………………15分22.公差不為零的等差數(shù)列{an}中，a3=7，且a2，a4，a9成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)an=bn+1﹣bn，b1=1，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．參考答案：考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．專(zhuān)題：計(jì)算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：（1）由等差數(shù)列{an}中a2，a4，a9成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)系式，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)，得出首項(xiàng)與公差的關(guān)系，根據(jù)a3的值，確定出首項(xiàng)與公差，即可得到等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）分別把n=1，2，…，n﹣1代入an=bn+1﹣bn，等式左右兩邊分別相加，左邊利用等差數(shù)列的求和公式化簡(jiǎn)，右邊抵消合并后將b1的值代入，整理后即可得到數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．解答： 解：（1）∵等差數(shù)列{an}中，a2，a4，a9成等比數(shù)列，∴a42=a2?a9，即（a1+3d）2=（a1+d）（a1+8d），整理得：6a1d+9d2=9a1d+8d2，即d2=3a1d，∵d≠0，∴d=3a1，又a3=a1+2d=7a