2022-2023學(xué)年福建省寧德市高一上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試題

絕密★啟用前

寧德市2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期高一第三次月

考

o|r

槌數(shù)學(xué)

★?？荚図樌?/p>

溫馨提示：請(qǐng)將全部答案填寫在答題卡上，拍照上傳.

本試卷有第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，考試時(shí)間12。分鐘，滿分

150分.

第I卷（選擇題共60分）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)

選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.

1.設(shè)全集U=R,集合4=卜產(chǎn)-X-240},8={x|lgx>0},則AA8=()

照

A.{x|-l<x<2|B.{x|l<x<2}

莒!C.{x|l<x<2}D.{x|x>-l}

2,已知A={x|照W2},B={y\}^2）,下列圖形能表示以A為定義域，8為值域的

函數(shù)的是（）

料

欄

*?-??

題

3.如圖所示，函數(shù)產(chǎn)cosx|tanx|(且力)的圖象是()

4.若。=1(^3,6=3-3,c=]Og3l,則。、b、c的大小關(guān)系為()

A.b>a>cB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c

5.不等式/用＞16的解集為()

35u(|,+8

A.—,+ooB.—00,-------

22

55

C.—co,-----行D.-00,-------

2u(|,2

6.若關(guān)于x的方程(sinx+cosx)2+cos=in在區(qū)間(0,句上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根xi,

IT

X2,且m-也巨7,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

A.[0,2)B.[0,2]

C.[1,夜+1]D.[1,&+1)

7.“字節(jié)”(Byte,B)常用于表示存儲(chǔ)容量或文件的大小.隨著網(wǎng)絡(luò)存儲(chǔ)信息量的增大，

我們還用干(K,kilo)、兆(M,mega)、吉(G,giga)、太(T,tera)、拍(P,peta)

等單位表示存儲(chǔ)容量.各單位數(shù)量級(jí)之間的換算關(guān)系如下：1KB=1O24B;1MB=1024KB;

1GB=1024MB;1TB=1024GB;!PB==1024TB=xBo已知x是一個(gè)機(jī)位整數(shù)，貝［|加=

()(參考數(shù)據(jù)：姓2/0.3010)

A.8B.9C.15D.16

8.函數(shù)/（x）的定義域?yàn)椤?若對(duì)于任意的,當(dāng)占時(shí)，都有/（%）工”々）,

則稱函數(shù)/（x）在。上為非減函數(shù).設(shè)函數(shù)在［0』上為非減函數(shù)，且滿足以下三個(gè)

條件：①"0）=0；②個(gè)）=?（力；③〃1）=一（力，則）島，等于（）

A.—B.—C.—D.----

163264128

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)

中有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的

得0分

9.已知。?0,兀），sin0+cos0=l,則下列結(jié)論正確的是（）

A.^e|—,7tIB.cos^=--C.tan0=--D.sin0-cos0=—

\2J545

10.下列說法正確的是（）

A.幕函數(shù)產(chǎn)（療-機(jī)+1卜”+2是奇函數(shù)，則利=1

B.在（》-1）（》-2乂*-3）（》-4）的展開式中，含『的項(xiàng)的系數(shù)是-10

2的展開式中第項(xiàng)的系數(shù)最大

C.（X+4=］6

D.已知函數(shù)/（x）=《；］與函數(shù)&（x）=ku?的值域相同，則實(shí)數(shù)〃的取值

范圍是（—1）

11.若6“=2,6〃=3,則下列不等關(guān)系正確的有（）

A.Ja+1+Jl+lv2B.，+［>4C.a2+b2>D.—|+—j>2

ab2a\3b)

12.已知函數(shù)"x)=1og力］I>。，則方程嚴(yán)(x)-2/(x)+/_i=。的根的個(gè)數(shù)可能

為()

A.2B.6C.5D.4

第n卷(非選擇題共90分)

三、填空題:本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)

位置

13.方程電(Gsinx)=lg(cosx)的解集為.

io

14.已知函數(shù)4x)=log,(2x-a)在區(qū)間上恒有/(x)>0,則實(shí)數(shù)”取值范圍—

15.給出下列四個(gè)命題：

①〃x)=sin(2x-?卜勺對(duì)稱軸為x=g+eZ;

②函數(shù)/(x)=sinx+6COSX的最大值為2；

③Vxe(0,;r),sinx>cosx;④函數(shù)了⑶=sin(g-2x］在區(qū)間0,y上單調(diào)遞增.

其中正確命題的序號(hào)為

16.市勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它得名于荷蘭數(shù)學(xué)

家魯伊茲.布勞威爾，簡單地講就是對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)f(x),存在一個(gè)點(diǎn)3,

使得〃毛)=看，那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)''函數(shù)，而稱所為該函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).現(xiàn)

新定義：若%滿足/5)=』,則稱4為f(x)的次不動(dòng)點(diǎn)有下列結(jié)論：

①定義在R上的偶函數(shù)既不存在不動(dòng)點(diǎn)，也不存在次不動(dòng)點(diǎn)

②函數(shù)"X)=e'+2(X-1)僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)

③當(dāng)144蠟時(shí)，函數(shù)/'（切=1。81（4'-丈2'+1）在［0』上僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)和次不動(dòng)點(diǎn)

22

上述結(jié)論正確的是___________.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演

算步驟.

17.（本小題滿分10分）

已知函數(shù)/"）=1083不彳.

（1）判斷函數(shù)〃X）的奇偶性并證明；

⑵判斷函數(shù)/（X+3）在區(qū)間（0,+8）上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明你的結(jié)論.

18.（本小題滿分12分）

/,、土sin7°+cos15°sin8°

（1）求值：-----------------；

cos70-sin15°sin8°

711

（2）己知<x<0,sinx+cosx=—,,求sinx-cosx的值.

25

19.（本小題滿分12分）

設(shè)函數(shù)〃力=（%-1）“'+小3>0且OH1）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，/（1）=|

（1）求。的值并用定義法證明〃x）在（0,+8）上的單調(diào)性；

⑵若/（m+2）-〃加-4）>0,求實(shí)數(shù)加的取值范圍；

（3）若g（x）=/*+a-2，（2m+l）f（x）在［1,m）上的最小值為-3,求機(jī)的值.

20.（本小題滿分12分）

2022年年底，與冬奧會(huì)相關(guān)的周邊產(chǎn)品,因可愛而聞名的冰墩墩為迎接兔年2023,搖

身一變，成為了在國內(nèi)外深受大家追捧的“兔墩墩”.對(duì)某商戶所售的“兔墩墩'’在過去的一個(gè)月

內(nèi)（以30天計(jì)）的銷售情況進(jìn)行調(diào)查發(fā)現(xiàn)：“兔墩墩”的日銷售單價(jià)P（x）（元/套）與時(shí)間

X(被調(diào)查的一個(gè)月內(nèi)的第尤天)的函數(shù)關(guān)系近似滿足P(X)=2000+R^(常數(shù)k>0),

“兔墩墩'’的日銷量。(力(套)與時(shí)間x的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：

381524

。(工)(套)12131415

已知第24天該商品日銷售收入為32400元，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：

@Q(x)=tax+b,?12(x)=p(x-l6)2+q,@Q(x)=m>Jx+l+n

(1)選出你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)模型，來描述銷售量與時(shí)間的關(guān)系，并說明理由；

(2)根據(jù)你選擇的模型，預(yù)估該商品的日銷售收入/(X)(14x430,xwN+)在哪天

達(dá)到最低.

21.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(x)=3-21nx,g(x)=lnx.

⑴若xeUd],求函數(shù)喋x)=(7(x)+l>g(x)的值域;

(2)已知neN*,且對(duì)任意的xe[e",e"T不等式/(/)"(?)2必*)恒成立，求―的

取值范圍.

22.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/")=1嗝(2'+切伏€用的圖象過點(diǎn)2(0,2).

(1)求上的值并求函數(shù)/(x)的值域；

(2)若關(guān)于x的方程/(x)=x+〃?在[-2,0)有實(shí)根，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍;淅

(3)若函數(shù)/7(力=2/(')_4.2/')，則是否存在實(shí)數(shù)。，對(duì)任意百目0,4],存在

毛€[0,2]使|〃&)|2"%)+2成立？若存在，求出〃的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

參考答案:

1.B

【分析】利用一元二次不等式的解法和又掇不等式的解法求解.

【詳解】由x2—x-240解得-14x42，所以A={x|-14x42},

由lgx>0解得x>l,所以3={小>1},

所以AcB={x|K2},

故選:B.

2.B

【分析】A.其值域?yàn)椤?],故不符合題意；B.符合題意；CD是函數(shù)圖象，值域?yàn)閁2,

故不符合題意.

【詳解】解：A是函數(shù)圖象，其值域?yàn)閇。⑵，與已知函數(shù)的值域?yàn)?={y|展62）不符，

故不符合題意；

B是函數(shù)的圖象，定義域?yàn)椤尽＃?1,值域?yàn)閁,2],故符合題意；

C是函數(shù)圖象，值域?yàn)榭冢?},與已知函數(shù)的值域?yàn)锽={y|掇62}不符，故不符合題意；

D是函數(shù)圖象，值域?yàn)閧1,2},故不符合題意.

故選：B

3.C

【分析】根據(jù)絕對(duì)值的定義化簡函數(shù)式,然后可判斷.

sinx,O<x<—,

2

【詳解】由已知.v=cosx|tanx|=，-sinx,5<x4肛，對(duì)照各選項(xiàng)，C是正確.

.34

SinX.7T<x<—

故選：c.

（也可以根據(jù)函數(shù)值在三個(gè)區(qū)間上的正負(fù)判斷）

4.D

【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值法判斷可得出結(jié)論.

【詳解】因?yàn)閍=log23>log22=l,b=y3=-^j,c=log,y<log,1=0,故a>b>c.

故選：D.

5.B

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式，得到解集.

【詳解】不等式2PM>16,

2|2X+I|>24,即|2x+l|>4.

2x+l<~4或2x+l>4,

解得：知,5或工嗎3,

?.?解集是‘°°，-'|）口（1+8）-

故選：B.

6.A

【分析】首先化簡方程為sin（2x+?）=*,通過換元設(shè)r=2x+?,若滿足條件，利

用圖象分析可知-#4*〈寄,求得實(shí)數(shù)，”的取值范圍.

【詳解】關(guān)于x的方程（sinx+cos?2+cos2x=zn可化為sin2x+coslx-/n-1,gp

Sin（2x+^=W.

易知sin［2x+f=苗在區(qū)間（0,句上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根X?,⑶且|XL陽吟.

Tim—\（7194

令2x+7=t，即sint=再在區(qū)間［丁彳］上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根

作出y=sinY等）的圖象，如圖所示，

TTTT

由|Xz-悶之7得|七-fe|>y,

所以一正正

2-722（

故0</77<2.

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)三角方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化與

化歸的思想，數(shù)形結(jié)合分析問題的能力，屬于中檔題型，本題的關(guān)鍵是理解條件，并

會(huì)數(shù)形結(jié)合分析問題，轉(zhuǎn)化為不等式解集問題.

7.D

【分析】先算得1PB=25OB,然后利用對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為10進(jìn)制，得出結(jié)論.

【詳解】1PB=2IOTB=22OGB=23OMB=24＜）KB=25OB,lg250=50xlg2?15，則250alOG,

因?yàn)閤是一〃，位整數(shù)，則機(jī)=16,

故選：D.

8.D

【解析】由③可得/0）=1,；，然后由②可得（擊）,

f（小卜去，然后結(jié)合f（x）在［0,1］上非減函數(shù)可得答案.

【詳解】由③得〃1-0）=1-/（0）=1，=l-嗚），二，⑴T，嗎）=；?

故選：D

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是由條件得到七）="腎）=*,

9.ABD

【分析】由題意得（sin，+cos，）2=l+2sinOcose=*,可得2sinOcosO=-||，根據(jù)。

的范圍，可得sin。,cos。的正負(fù),即可判斷A的正誤；求得sine-cos。的值,即可判

斷D的正誤，聯(lián)立可求得sin。,cos。的值，即可判斷B的正誤；根據(jù)同角三角函數(shù)的

關(guān)系，可判斷C的正誤，即可得答案.

【詳解】因?yàn)閟in，+cos，=（,

所以（sin，+cos，『=]+2sin，cos，=支，則2sin9cos0=-^^,

因?yàn)??！辏?,兀），所以sin8>0,cos^<0,

所以O(shè)eg],故A正確；

所以（sinO—cos。）？=l-2sin9cos0=^1,

7

所以sine-cose=gz故D正確；

sin6+cos6=一

543

聯(lián)立7,可得sin"g,cosO=--,故B正確；

sin6-cose=一

sin04

所以te蓊，，故C錯(cuò)誤

故選：ABD.

10.ABC

【分析】選項(xiàng)A,由黑函數(shù)的定義可知其系數(shù)為1,求得機(jī)后再驗(yàn)證奇偶性；選項(xiàng)B,

展開式中丁的項(xiàng)的系數(shù)是從其4個(gè)括號(hào)的3個(gè)括號(hào)中分別取x,剩余括號(hào)中取常數(shù)項(xiàng)相

乘得到；選項(xiàng)C,展開式中每一項(xiàng)的系數(shù)恰好和二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以只需找到展開

式中間一項(xiàng)即可；選項(xiàng)D,分段函數(shù)的值域是指每一段函數(shù)值域的并集，所以需要判

斷含有參數(shù)的一段函數(shù)的單調(diào)性以及邊界點(diǎn)處的函數(shù)值大小關(guān)系.

【詳解】選項(xiàng)A,依題意)，=(川-機(jī)+1卜布幕函數(shù),則/_〃?+i=i,解得〃?=0或I,

當(dāng)他=0時(shí)，y=/是一個(gè)偶函數(shù)，不合題意；當(dāng)，〃=1時(shí)，y=V是一個(gè)奇函數(shù)，滿足

題意，故A正確；

選項(xiàng)B,a(x-l)(x-2)(x-3)(x-4)的展開式中，V的項(xiàng)的系數(shù)是從其4個(gè)括號(hào)的3

個(gè)括號(hào)中分別取x,剩余括號(hào)中取常數(shù)項(xiàng)相乘得到的，所以F的項(xiàng)的系數(shù)為

-1-2-3-4=-10,故B正確；

選項(xiàng)c，]2+白]的展開式中每一項(xiàng)的系數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù)相等，展開式共11項(xiàng)，中

間一項(xiàng)即第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即系數(shù)最大，故C正確；

選項(xiàng)D,函數(shù)8(加成的值域?yàn)镽,所以函數(shù)小)=號(hào)一"卜+/'；二的值域?yàn)镽.

因?yàn)椤癤)=3、是一個(gè)增函數(shù)，所以當(dāng)X》時(shí)，〃x)=3、Z3,即〃x)w[3,+oo);

若函數(shù)“X)的值域?yàn)镽,則當(dāng)X<1時(shí)，(Yo,3)u{.f(x)"(x)=(l-a)x+/,x<l},

所以〃x)=(j)x+〃滿足條件1I；；、，即1I:220，解得金1，則實(shí)數(shù)”的

取值范圍是(r，T],故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

11.BCD

【分析】指對(duì)互化后求得。+匕=1,對(duì)A、C選項(xiàng)可利用不等式“2+〃N立誓及變形

判斷結(jié)論是否正確；

對(duì)B選項(xiàng)可用的代換判斷結(jié)論是否正確；

對(duì)D選項(xiàng)：由換底公式得小+「=［|x傳|+黑］，分別計(jì)算警與黑+船的范

a\3b）ln2<ln631n3）In2ln63In3

圍可判斷結(jié)論是否正確.

【詳解】由6"=2,6=3，得”1暇2,6=1暇3,所以，對(duì)于A,由不等式

x2+y2>2x.y得x?+y2>（,“；））,r.x+y4^2（x2+y2）,

又a'b,.?.而T+歷T<何許不而可="，所以A不正確；

對(duì)于B,因?yàn)閍=k>g62>0,Z?=log63>0,a+人=1,所以

，+：=［，+：］（4+6）=2+。+**4,因?yàn)椤╞,所以等號(hào)不成立，所以工+）>4,所

ao\ab）abab

以B正確；

對(duì)于C,因?yàn)槠?加22",所以反等=；,因?yàn)闃?biāo)h,所以等號(hào)不成立，

所以片+尸，所以C正確；

對(duì)于D,因?yàn)?需ln6ln4

加黑所嗎由于>——2

ln2ln2

口ln3ln6ln3ln6Jlln3ln6

且——+——>2J--------=2J-,因?yàn)橐?，—?所以等號(hào)不成立，所以

ln631n3Vln631n3V3ln631n3

所以=當(dāng)義［［|+黑］>2><24>2,所以:L+《)>2,所以D正確，

八3b)ln21ln631n3)V3八如)

故選：BCD.

12.ACD

【分析】先畫出〃x）的圖象，再討論方程尸⑺-2〃刈+/_1=0的根，求得/（X）的范

圍，再數(shù)形結(jié)合，得到答案.

【詳解】畫出“X）的圖象如圖所示：

令t=/(x),則『—2f+er—1=0,則△=4(2—a~),

當(dāng)A=0,即/=2時(shí)，r=l,此時(shí)/(x)=l,由圖.v=l與y=〃x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，

即方程.產(chǎn)3-2/(尤)+6?-1=0的根的個(gè)數(shù)為2個(gè)，A正確；

當(dāng)A>0時(shí)，即/<2時(shí)，t=l±yj2-a2,貝/()<J2-/&收

故Icl+JZ—Y41+拒,1->/2<1->/2-?2<1,

當(dāng)f=l一亞二/時(shí)，即/（x）=l-=，貝［|x有2解，

當(dāng)f=l+6W時(shí)，若fe（l，2,則x有3解；若fw（2,l+也］,則“有2解,

故方程產(chǎn)（刈-2.“可+片_1=0的根的個(gè)數(shù)為5個(gè)或4個(gè)，CD正確；

故選：ACD

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的根的個(gè)數(shù)問題，函數(shù)圖象的畫法，考查了分類討論思想和

數(shù)形結(jié)合思想，難度較大.

13.\x\x=—+2k7r,keZ＞

【分析】對(duì)數(shù)函數(shù)y=igx是增函數(shù)，方程的解轉(zhuǎn)化為豆豆叱=3乂＞0求解即可。

【詳解】因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)＞=lgx是增函數(shù)，所以方程】g（右sinx）=lg（cosx）的解,

tanx=

即是由sinx=cosx＞（）的解，即,sinx>0,x=—+2k7r9kEZ

cosx>0

故答案為：\x\x=^+2k7r,keZ

【點(diǎn)睛】此題考查三角函數(shù)方程的解，注意正切值解的寫法是加氏,屬于簡單題目。

【分析】將對(duì)數(shù)型函數(shù)的底數(shù)”分類討論：,然后根據(jù)對(duì)數(shù)式恒大于零列

出對(duì)應(yīng)的不等式組并求解出解集，即可得到。的取值范圍.

[2

【詳解】若函數(shù)/（x）=log“（2x-〃）在區(qū)間f(x)>0,

413

0<2x-a<\^l\2x-a>]

0<6f<l

一.

a<2x-々,1/1

0<2x-a<l時(shí)，4，解得廣。<5；

2

a>2x——1

3

當(dāng)：,時(shí)，V。2「此時(shí)”無解.

\2x-a>1a<2x——1

i3

綜上實(shí)數(shù)〃的取值范圍是[-§1，51、.

鉆依一%r1一

故答條為：->-1.

【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)以及不等式恒成立問題，難度一般.

（1）討論指數(shù)型、對(duì)數(shù)型函數(shù)的值域時(shí)，若底數(shù)是參數(shù)形式，一定要注意對(duì)底數(shù)作分類

討論；

（2）不等式恒成立問題的兩種處理方法：分類討論法、參變分離法.

15.①②

【分析】對(duì)①，由正弦型函數(shù)的通式求解即可；

對(duì)②，結(jié)合輔助角公式化簡，再進(jìn)行最值判斷；

對(duì)③，由特殊函數(shù)值可判斷錯(cuò)誤；

對(duì)④,先結(jié)合誘導(dǎo)公式將函數(shù)化為/（x）=fin[2x-?）,由xe0號(hào)求出2x-《的范圍，

再結(jié)合增減性判斷即可

【詳解】令2x-g=--F卜兀、%￡ZX=---1---,k",故①正確；

4ZZo

/(x)=sinx+Geosx=2sin口+?),故該函數(shù)的最大值為2,故②正確；

JT

當(dāng)x=W時(shí)，sinx=cosx,故③錯(cuò)誤；

由xe0,fng-J，故/。)=可］-2+-5m(2犬-：|在區(qū)間0,(上

單調(diào)遞減，故④錯(cuò)誤.

故答案為①②

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用，正弦型函數(shù)對(duì)稱軸的求法，輔助角公式的用

法，函數(shù)在給定區(qū)間增減性的判斷，屬于中檔題

16.②③

【分析】對(duì)于①舉反例，對(duì)于②研究函數(shù)g(x)=/a)7的單調(diào)性由零點(diǎn)存在性定理可判

斷，對(duì)于③分別研究/(X)=X與/(X)=T分離參數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性，再由交點(diǎn)個(gè)

數(shù)確定參數(shù)的范圍，兩者取交集后即可判斷.

【詳解】對(duì)于①，取函數(shù)"x)=V,〃0)=0,0既是,“X)的不動(dòng)點(diǎn)，又是f(X)的次不動(dòng)

點(diǎn)，故①錯(cuò)誤，

對(duì)于②，f(x)=e'+2(x-l)=x,

令g(x)=e'+x-2,易知g(x)為R上的增函數(shù),

又g(0)=e°+0-2<0,g⑴=3+1-2>0,

由零點(diǎn)存在性定理得g(x)在區(qū)間(0,1)存在唯一的零點(diǎn)，故②正確；

又寸于③，當(dāng)［ogl(4'_a.2'+l)=x時(shí).?.4r_..2*+］=4,即a=2*+J—2.

令2』,問1,2］,w+；d在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞增,故。=2，+,或在［0,1］上單

調(diào)遞增，滿足陷(4、-。2+1)=》有唯一解，則14”蜷.

24

當(dāng)log1(4,-a-2v+l)=-x時(shí)，

2

:.4x-a-2'+\=2x,即a=2'+呆1.

令2'=/"5,2］,.5=/+：-1在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞增，故”=2，+!-1在［0,1］上單調(diào)遞增，

滿足log,(4'-a2+1)=t有唯一解，則14a42

22

3

綜上14。4］.故③正確；

故答案為：②③.

17.(1)函數(shù)〃x)為奇函數(shù)，證明見解析

(2)函數(shù)〃x+3)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減，證明見解析

【分析】(1)先求得f(x)的定義域，然后利用單調(diào)性的定義判斷出f(x)的奇偶性.

(2)利用單調(diào)性的定義，由/&+3)-〃/+3)>0作出判斷.

【詳解】(1)因?yàn)槿?gt;0,即(x-3)(x+3)>0,解得x<—3或x>3,

所以函數(shù)〃x)的定義域?yàn)?TO，-3)U(3,+?O),定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

f(-X)=1%=]og.3|

-x-3x+3

x+3x+3

=log|=-1嗚=-/W-

37^3x—3

因?yàn)?-x)=-/(x)，所以y=/(x)為奇函數(shù).

(2)f(x+3)=log3早=10g3(l+g)J(x+3)在區(qū)間(0,m)上單調(diào)遞減,

證明：任取用,9€(0，”)且不＜*2,

/(與+3)—+3)=log-log=log*尸：

3331,

X|X2x(&+6)

因?yàn)椤?lt;%<無2,所以0<6%|<6X2,X,X2+6X2>x1x2+6x,>0,

可得x^(x北>4-6方)I，所以噫X>(懸M+6才)°，

所以〃％+3)>〃9+3),

所以〃x+3)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減.

7

18.(1)2-6；(2)sinx-cosx=--

【分析】(1)將7。改寫成15。-8。的形式，然后根據(jù)兩角差的正余弦公式展開并化簡，最

后借助兩角差的正切公式即可得到結(jié)果；

(2)利用(sinx+cosx)?=1+sin2x以及角的范圍完成計(jì)算即可.

【詳解】(1)

sin7+cos15sin8_sin(15-8)+cosl5sin8_sin15cos8-cos15sin8+cosl5sin8

cos7-sin15sin8cos(15°-8°)-sin15°sin8"cos15cos8+sin15sin8"-sin15°sin8

V3

r13-6

sin15cos8sin15tan450-tan30

-=tan15=tan(45-30)=

cos15cos8cos151+tan45tan30.x/33+石

1d-----

3

(3-6)x(3-揚(yáng)12-6色2皿

一(3+G)x(3-G)-6一'

(2)由題意得(sinx+cosx)?=sin2x+cos2x+2sinxcosx=l+sin2x=則

sin2x=-—,

25'

49

因?yàn)?sinx-cosx)2=sin2x+cos2x-2sinxcosx=1-sin2x=1-

25,

冗

又一萬<》<0,則sinx<0,cosx>0,所以sinx-cosx<0,

7

所以sinx-cosx=-—

【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的化簡與計(jì)算，難度一般.

(1)計(jì)算非特殊角的三角函數(shù)值時(shí)，可通過非特殊角與特殊角之間的和、差、倍、分關(guān)

系，轉(zhuǎn)而去計(jì)算特殊角的三角函數(shù)值；

(2)注意三角恒等式：(sinx+cosx)-=l+sin2x,(sinx-cosx)2=l-sin2x.

19.(皿=2或者”;,證明見解析；

(2)。，”)；

【分析】(1)根據(jù)偶函數(shù)的定義，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求

解即可；

(2)根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可；

(3)利用換元法，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)??由函數(shù)f(x)=("l)a'+a-'是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，

，滿足/(X)寸(-X),

即(1)/+武="+(,

=\t即Z=2,

:.f(x)=ax+ax,

又〃1)=9,即…T=|,

化簡為：2a2-5a+2=0,

解得：。=2或者。=3,

.-./(x)=r+2-v,

設(shè)西,々€(0,+<?)且看,則

/(%)-“七)

=2為+2f一(2%+2-迎)

=2&_2jJ——L

=2再—2》2+±——_

2XI+X2

xl2)/

由王，得2F一2-<0

??,0<%)<X2,

*<1，即1一手>>°，

”(內(nèi))-〃々)=(2"-2"“1-/<0

\/（X）在xe（0,y）單調(diào)遞增；

（2）/（可是R上的偶函數(shù),

\/（X）在x?0，M）單調(diào)遞增，在x?e,0）單調(diào)遞減.

,.,/(zn+2)-/(/H-4)>0,

即〃〃?+2)>〃…)，

.,.|m+2|>|/n-4|/

兩邊平方彳導(dǎo)：/M2+4+Am>m2+16—8/w

解得：力>1,

實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為：（1，”）；

(3)由(1)知，g(x)=a2、+a3-(2〃?+l)/(x)=2"+22，-(2,1)(2'+2-v)

將g(x)變形得：g(x)=22x+2&-(2機(jī)+1乂2,+2-*)=(2,+2-，丫-(2m+1乂2、+2-，)-2

令f=2，+2-，，因?yàn)閤c[l,+8）,由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)得已|.

則原函數(shù)化為：y="—（2m+l）”2,摩|,

由題知，y=--（2m+l）/-2在fe|,）上的最小值為-3,

函數(shù)）=/一（2m+1），一2的對(duì)稱軸為：-一（2；+1）=*,

①當(dāng)加+；＞|,即心2時(shí)，-（2/n+l）（，〃+；卜2=-3,

31

解得：m=-5或'"=5，均不符合題意,舍去，

②當(dāng)機(jī)+g=|,即機(jī)=2時(shí)，）嬴=（1|一5xg-2=-曰/一3，不符合題意，

③當(dāng)團(tuán)+；＜|,即加＜2時(shí),ymi?=f|'|-（2m+l）x|-2=-3,

19

解得：機(jī)=句符合題意，

所以"的值為1那9

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用換元法，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論是解題的

關(guān)鍵.

20.（1）模型③最合適，理由見解析；

（2）第3天達(dá)到最低.

【分析】（1）結(jié)合表中數(shù)據(jù)及其增速較慢的特點(diǎn)，分別對(duì)指數(shù)型、二次函數(shù)型、幕函

數(shù)型三種函數(shù)模型進(jìn)行分析，即可選出最合適的一種函數(shù)模型；

（2）由表中數(shù)據(jù)和第24天日銷售收入，分別求出第（1）問中選擇的Q（x）模型和

網(wǎng)”中的參數(shù)，代入〃X）=P（X）Q（X），化簡后使用基本不等式求解.

【詳解】（1）模型③最合適，理由如下：

對(duì)于模型①Q(mào)（x）=〃'+6,為指數(shù)型函數(shù)模型，表格中對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)遞增的速度較

慢，故模型①不合適；

對(duì)于模型②。（x）=P（x-16）2+q,為二次函數(shù)模型，其圖象關(guān)于直線."16對(duì)稱，有

2（8）=0（24）,與表中數(shù)據(jù)不符，故模型②不合適；

對(duì)于模型③Q（x）=mG+〃，幕函數(shù)型增長模型滿足表格中Q（x）對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)較慢的遞

增速度，將表中數(shù)據(jù)（3,12）,（8,13）代入模型③,有

。⑶=mJ3+1+〃=12（2m+n=12/g（/n=l

Q（8）=my/8+l+n=13^>l3m+n=13恬j〃=]0，

Q（x）=^m+10,

經(jīng)驗(yàn)證Q（15）=>/Bm+10=14,。（24）=技11+10=15均滿足表中數(shù)據(jù)，

因此，使用模型③來描述銷售量與時(shí)間的關(guān)系最合適.

（2）:?第24天冰墩墩的日銷售單價(jià)2（24）=P（"=2000+罟7=2000+1（元/套），

???第24天的日銷售收入為尸（24）、2（24）=（2000+1b15=32400（元），

...左=800,

/,尸(x)=2000+-_

\J/x+\

由(1)所選模型③，當(dāng)14x430且xeN.時(shí)，

〃x)=P(x)Q(x)=(

2000+

=20800+2000^/7+T+4221

Vx+1

>20800+2J2000VX+T-4^

VVTM

=20800+2x4000

=28800(元)

當(dāng)且僅當(dāng)2000而？=萼;，即“3時(shí)，等號(hào)成立，

Vx+l

?-?在第3天時(shí)，該商品的日銷售收入“X)達(dá)到最低28800元.

21.(1)[0,2]；

9

⑵當(dāng)〃=1時(shí)，k<-3；當(dāng)心2且〃eN*時(shí)，k<4n+--15.

n

【分析】(1)由題設(shè)，令f=lnxe[0,2]則產(chǎn)也)=-2"1)2+2,即可求值域.

9

(2)令仁Inx,將問題轉(zhuǎn)化為心4f+：-15在+上恒成立，再應(yīng)用對(duì)勾函數(shù)的

性質(zhì)，討論〃=1、〃N2,〃eN*分別求出％的取值范圍.

【詳解】(1)因?yàn)椤?x)=(f(x)+l)g(x)=(4-21nx)lnx=-2(lnx)2+41nx,

設(shè)r=lnx,則y=_2產(chǎn)+今=_2?_1>+2,

因?yàn)閤ellQ],所以lnxe[0,2],即為[0,2].

當(dāng)r=1時(shí)，Jmax=2,當(dāng)f=0或/=2時(shí)，ymin=0,

所以心)=g)+l)g(x)的值域?yàn)閇0,21.

(2)因?yàn)閤e[e",e",],所以+,

又2kg(x)可化成(3-41nx)(3-Inx)2-nx,

因?yàn)椤╡N',所以lnx>0,

/4(lnx)2—151nx+99

所以&4-------;----------=41nx+------15,

InxInx

9

令，=lnx,則+7—15,+,

9

依題意，+時(shí)，4f+：-15恒成立，

9

設(shè)〃=41+—―15fre[/?,n+l]f

3

當(dāng)〃=1時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)/=y[L2],-=-3，故心-3；

9

當(dāng)〃22,"EN*時(shí)，〃=4，+：—15在[上拉+1]上單調(diào)遞增，

99

當(dāng)"〃時(shí)，—=4〃+——15，故心4"——15,

nn

9

綜上所述：當(dāng)"=1時(shí)，及4-3；當(dāng)〃2