2022-2023學(xué)年廣西欽州市高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題解析版

欽州市2022年秋季學(xué)期教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)

高二數(shù)學(xué)

（考試時(shí)間：120分鐘；賦分：150分）

第I卷

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)備

選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的.（溫馨提示：請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上作答，在

本試卷上作答無效

1.若直線過點(diǎn)（鳳3）和點(diǎn)（0,-4）,

則該直線的方程為

V3%電x+4

"丁-4

A.B.3

yX+2

C、=屈-6D^~

【答案】A

【解析】

【分析】

（法一）利用直線的兩點(diǎn)式方程直接求解；

（法二）利用斜率公式知直線的斜率，再用點(diǎn)斜式寫出直線方程.

和點(diǎn)（°T）,

【詳解】解：（法一）因?yàn)橹本€過點(diǎn)

所以直線的方程為歹u,整理得3

（法二）因?yàn)橹本€過點(diǎn)伊‘一3）和點(diǎn)（0T）,所以直線的斜率為'一行

VsGA

y+4=—xy=——x-4

所以直線的方程為3,整理得3

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的兩點(diǎn)式方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

22

rv/

C:——H—z-=1（Q>6>0）77p

2.已知橢圓ab的左、右焦點(diǎn)分別為4,%,若橢圓上一點(diǎn)

P（X'J’）到焦點(diǎn)耳的最大距離為7,最小距離為3,則橢圓C的離心率為（）

A.2B,5c.3D,2

【答案】B

【解析】

《+《=1

【分析】根據(jù)點(diǎn)P(XJ)在橢圓上得b2，且一aWxWa,再利用兩點(diǎn)距離求得

\PF]\=—x+aiprl

a,從而可確定?”的最大值與最小值，即可求得應(yīng)c的值，即可得離心率

c

a的值.

江+片=1

【詳解】解：設(shè)橢圓的半焦距為。，若橢圓上一點(diǎn)POM,則〃〃一，且

-a<x<a

又F[(—c,0),力=62+c?

Jp與I=J(x+c)2+y2=J(x+c)2+<2一與iX+a)-—x+a

由于-aWxWa,所以附L=a+c=7,附.="。=3

c2

€——=一

于是可得。=5,c=2,所以橢圓。的離心率a5.

故選：B

3.已知"=(一2，1，2),3=(-51),若力兀則實(shí)數(shù)f的值為()

A.0B.-4C.2D,4

【答案】B

【解析】

【分析】由空間向量垂直的坐標(biāo)表示進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】

,a?B=(-2)x(-l)+lxf+2xl=4+/=0

??，

?,?/=-4

故選：B.

4.我們知道，在日常學(xué)習(xí)與生活中養(yǎng)成根據(jù)現(xiàn)實(shí)世界的情景提出問題的習(xí)慣對(duì)培養(yǎng)自己的

創(chuàng)新素養(yǎng)起著至關(guān)重要作用.關(guān)于實(shí)際情景“日常洗衣服都要經(jīng)歷兩個(gè)階段，第一階段是用

去污劑搓洗衣服，第二階段是漂洗衣服.一般來講要漂洗多次，漂洗的次數(shù)越多衣服越干凈”

,提出的問題最恰當(dāng)?shù)氖牵ǎ?/p>

A.在給定漂洗所用的清水量的前提下，選擇什么牌子的洗衣粉能使衣服更干凈？

B.在給定漂洗衣服的前提下，漂洗所用的清水量多少合適？

C.在給定漂洗所用的清水量的前提下，漂洗時(shí)放多少衣物才能使衣服干凈？

D.在給定漂洗所用的清水量的前提下，漂洗多少次能使衣服干凈？

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合各選項(xiàng)的條件分析、判斷作答.

【詳解】對(duì)于A,好的洗衣粉，去污能力強(qiáng)，但必須經(jīng)過多次漂洗才能將洗衣粉及污物去

掉，所提出問題與漂洗次數(shù)無關(guān)，A不是；

對(duì)于B,漂洗所用的清水量多，附著衣服的污物經(jīng)過一次漂洗，去掉的不多，所提出問題

與漂洗次數(shù)無關(guān)，B不是；

對(duì)于C,漂洗時(shí)放一件衣物，若只漂洗一次，去掉的污物不多，所提出問題與漂洗次數(shù)無

關(guān)，C不是；

對(duì)于D,用適當(dāng)?shù)那逅?，多次漂洗，能使衣服干凈，提出的問題最恰當(dāng)，D是.

故選：D

c?二上=1

5.雙曲線,不一而一的左右焦點(diǎn)分別為大，網(wǎng),點(diǎn)尸在雙曲線C上且歸凰=20,則

|明等于（）

A.14B.26C.14或26D.16或24

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線的方程可得a也,-，由II*-也1=2。即可求解.

【詳解】由雙曲線的方程可得a=3,"=4,c=5,故|「段"-"=2

因?yàn)閻懿逢J=2叫6,故網(wǎng)-20|=6,解得附|=14或26.

故選:C.

6.已知向量々=（一2，°，一2）,“=（2,2,0）分別為平面。和平面方的法向量，則平面

a與平面’的夾角為（）

A.30°B.45°c,60°6120。

【答案】C

【解析】

1

COS(/?],/72

【分析】根據(jù)坐標(biāo)可求出'2,根據(jù)夾角的范圍以及平面的夾角與平面法向

量之間的關(guān)系即可求出答案.

n,=2A/2

【詳解】解：由己知可得

n=

22^2勺.〃2=-2x2+0x2+(-2)x0=-4

CT=1

C0S(〃],〃2

4n22V2x2^22

所以

設(shè)'為平面a與平面’的夾角，則如段‘9°u

cos9=cos。％,%

又、2,

所以。=6。,

故選：C.

7.已知圓O：/+/=/(->°)上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線/：3x—4、-15=°的距離為

1,則圓。半徑r的取值范圍為。

AGW)B區(qū)4]c(2,31DI>)

【答案】A

【解析】

【分析】求出到直線/的距離為1的點(diǎn)的軌跡，再根據(jù)給定條件，數(shù)形結(jié)合列出不等式求

解作答.

【詳解】平面內(nèi)到直線/距離為1的點(diǎn)的軌跡是與直線/平行且距離為1的兩條直線4'，2,

設(shè),的方程為3x-4y-m=0(〃?N15),貝心+(一4)2,解得加=10或〃?=20,

即直線4：3x—4y—10=0直線4：3》_4y-20=0

如圖，圓。：/+夕2=’(->°)上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線/的距離為1,則圓。與4相交,

與2相離,

y

|-20|

d

2西+（守

即re(2,4)

所以圓。半徑廠的取值范圍為2<r<4

故選：A

8.設(shè)(x-Z，/)是1,2,3,4,5的一個(gè)排列，若&一七+1)即一須+2)<°對(duì)一切

''{1，2,3}恒成立，就稱該排列是“交替”的，則“交替”的排列的數(shù)目是()

A.16B.25C.32D.41

【答案】C

【解析】

【分析】由已知可知當(dāng)須<乙時(shí)，此時(shí)有％=5或匕=5由“交替”的排列的概念可得，

當(dāng)“2=5時(shí)，4=3或工4=4,分別求解即可得到當(dāng)X2=5時(shí)，4=3或%=4時(shí)，有.8

種方法.同理可求得當(dāng)匕=5,%=3或超=4,此時(shí)也有8種方法.然后得出玉時(shí)，

“2=1或％=1時(shí)“交替，，的排列數(shù)目，相加即可得出結(jié)果.

【詳解】由已知可得(I2)(23)，(23)(34)，

(x3-x4)(x4-x5)<0

(j)當(dāng)X1一*2<0時(shí)，玉<,可推出“2〉,X3<X4,>/，

此時(shí)有W=5或X,=5

①當(dāng)馬=5時(shí)，由已知可得》4=3或z=4

當(dāng)Z=5,七=3時(shí)，此時(shí)必有石=支排列可以是(45,L3,2)或(4,5,2,3,1)兩種；

當(dāng)％=5時(shí)，工4=4時(shí)，此時(shí)再,毛,七可選擇1,2,3中的任意排列，共入；=6中排列.

綜上所述，共有8種方法；

②同理可得當(dāng)巧=5,可得=3或4=4,也有8種方法.

綜上所述，當(dāng)當(dāng)〈》2時(shí)，“交替”的排列的數(shù)目是16：

(ii)當(dāng)再一“2〉0時(shí)，X］〉工2,可推出'2<工3,工3>,工4<%5,

此時(shí)有“2=1或Z=l.

①當(dāng)"2=1時(shí)，由已知可得甚=2或%=3

當(dāng)*2=1,5=3時(shí)，此時(shí)必有占=2,排列可以是(2,1,4,3,5)或(2,1,5,3,4)兩種；

當(dāng)“2=1時(shí)，％=2時(shí)，此時(shí)玉，工3，毛可選擇3,4,5中的任意排列，共入；=6中排列

綜上所述，共有8種方法；

②同理可得當(dāng)％=1,可得跖=2或々=3,此時(shí)也有8種方法.

綜上所述，當(dāng)當(dāng)<彳2時(shí)，“交替”的排列的數(shù)目是16.

所以，“交替”的排列的數(shù)目是32.

故選：C.

二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，

有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

(溫馨提示：請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上作答，在本試卷上作答無效.)

9.已知兩條不重合的直線4丁=占'+偽，4疊=卷苫+4，下列結(jié)論正確的是()

A.若4〃，2,則仆=&B.若勺=&，則4〃，2

C.若"的=1,貝|/D.若442,則桃2=T

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)直線的位置關(guān)系與斜率關(guān)系即可判斷.

【詳解】對(duì)A,若4〃￡則占=《2,故A正確；

對(duì)B,若匕=心，又兩直線不重合，則4〃‘2,故B正確；

對(duì)C,若匕&=1,則人與12不垂直，故C錯(cuò)誤；

對(duì)D,若4工￡則"2=-1,故D正確.

故選：ABD.

V-2V2

°：二+々=1仙>0）rp

10.若橢圓8b-的左、右焦點(diǎn)分別為4,%,則下列6的取值能使以

6瑪為直徑的圓與橢圓C有公共點(diǎn)的是。

A.b=CB.b=^C.6=2口~=也

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)給定的條件，確定以耳耳為直徑的圓半徑，再結(jié)合橢圓的性質(zhì)列出不等式求

出b的范圍作答.

22

C：---FJ^~=10〉O）pp

【詳解】令橢圓8b-的半焦距為e,則以44為直徑的圓的方程為

+J?=。2,

因圓/+/=。2與橢圓C有公共點(diǎn)，則有c2z〃，即8_〃之62,解得0<bW2,顯然

選項(xiàng)A,B,C滿足，D不滿足.

故選：ABC

11.下列結(jié)論正確的是（）

A,兩條不重合直線4,12的方向向量分別是"（2,3,-1）,6=（-2,-3,1）（則/J4

B.兩個(gè)不同的平面。，夕的法向量分別是“=（2,2,-1）,v=（-3,4,2）,則a"

C,直線/的方向向量"=02一1）,平面。的法向量"=（3,6,左），若Ua,則4=15

D.若，）,則點(diǎn)尸在平面Z8C內(nèi)

【答案】ABD

【解析】

—*-*—?—?

【分析】對(duì)于A,驗(yàn)證a力是否平行即可；對(duì)于B,驗(yàn)證〃#是否垂直即可；對(duì)于C,根據(jù)

線面關(guān)系得R4，求解左得值即可判斷；對(duì)于D,驗(yàn)證是否四點(diǎn)共面即可.

【詳解】解：對(duì)于A,因?yàn)椤岸?,3，T）,3二（一2,-3,1）,所以。=一（又兩條不重合

直線4,￡所以/J4,故A正確；

對(duì)于B,平面a,?的法向量分別是“=（2,2,T）,"=（-3,4,2）,且

”.丫=—6+8-2=0,所以M_LV,則a，尸，故B正確：

對(duì)于C直線/的方向向量"=02一1）,平面a的法向量加=（364），若/_La,則

a〃加，則％=—3,故c錯(cuò)誤；

對(duì)于D,因?yàn)椋?'），（‘‘），（‘‘），存在實(shí)數(shù)4〃使得

2=42

--1=22-4/7[?-]一]_

~7nA—AB——ACAP

AB=2iT4TCi+〃AP,貝武一%2//，解得^=—2,~//=—2,則2H—2，所

以48,C,P四點(diǎn)共面，即點(diǎn)尸在平面N8C內(nèi)，故D正確.

故選：ABD.

12.天山社區(qū)將紅樹林中學(xué)的甲、乙、丙、丁4名紅志愿者分別安排到小B,C三個(gè)村民

小組進(jìn)行暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，要求每個(gè)村民小組至少安排一名志愿者，則下列選項(xiàng)正確的

是（）

A.共有18種安排方法

B,若甲、乙兩名志愿者被安排在同一村民小組，則有6種安排方法

C.若兩名志愿者被安排在A村民小組，則有24種安排方法

D.若甲志愿者被安排在“村民小組，則有12種安排方法

【答案】BD

【解析】

【分析】對(duì)于A：4名志愿者先分為3組，再分配到3個(gè)社區(qū)，對(duì)于B：甲、乙被安排到

同一村民小組，先從3個(gè)村民小組中選一個(gè)安排甲和乙，對(duì)于C：1村民小組需要兩名志

愿者，所以先從4名志愿者中選擇2名安排到“村民小組，對(duì)于D；甲志愿者被安排在N

村民小組，分兩種情況討論，即可判斷各個(gè)選項(xiàng)的正誤.

【詳解】對(duì)于A：4名志愿者先分為3組，再分配到3個(gè)社區(qū)，

所以安排方法為：或8=36,人錯(cuò)誤；

對(duì)于B：甲、乙被安排到同一村民小組，先從3個(gè)村民小組中選一個(gè)安排甲和乙，

剩余兩個(gè)村民小組和志愿者進(jìn)行全排列，所以安排方法為：C；A；=6,B正確；

對(duì)于C：4村民小組需要兩名志愿者，

所以先從4名志愿者中選擇2名安排到A村民小組，

再把剩余兩個(gè)村民小組和志愿者進(jìn)行全排列，

所以安排方法為：C：A；=12,c錯(cuò)誤；

對(duì)于D；甲志愿者被安排在/村民小組，分兩種情況討論，

當(dāng)A村民小組安排兩名志愿者時(shí)，先從剩余3名志愿者選出一個(gè)，分到A村民小組，

再把剩余兩個(gè)村民小組和志愿者進(jìn)行全排列，

所以安排方法為：C；A；=6,

當(dāng)/村民小組只安排甲志愿者時(shí)，剩余3名志愿者安排到兩個(gè)村民小組中去，

所以安排方法為：C；A；=6,

所以一共有安排方法為：6+6=12,D正確；

故選：BD.

第n卷

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分

13.已知點(diǎn)尸（見〃）為拋物線上的點(diǎn)，且點(diǎn)尸到拋物線c的焦點(diǎn)下的距離為

3,則加二.

【答案】2

【解析】

【分析】由拋物線的方程求出拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，然后利用拋物線的定義結(jié)合已知條件

列方程求解即可.

【詳解】拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)為（L°）,準(zhǔn)線為

因?yàn)辄c(diǎn)尸（九〃）為拋物線。：歹=4x上的點(diǎn)，且點(diǎn)p到拋物線。的焦點(diǎn)F的距離為3,

所以加+1=3,得機(jī)=2,

故答案為：2

14.當(dāng)直線/：x-〃少+機(jī)_2=0截圓0：》2+/_2》_3=0所得的弦長最短時(shí)，實(shí)數(shù)

m的值為.

【答案】-1

【解析】

【分析】由已知可得直線/過定點(diǎn)"（2』），當(dāng)CN'/時(shí)，弦長最短.根據(jù)斜率關(guān)系即可求

出實(shí)數(shù)方的值.

【詳解】由已知可將直線/的方程化為“一2一"（）'—1）=°,

x-2=0Jx=2

解］》一1二°可得1丁=1,所以直線/過定點(diǎn)'°」）.

>J（2）2+024X（3）_2

又由圓的方程可得圓心半徑2,

22

n,\AC\=J（l-2）+（O-l）=V2<r—

則?17V7,所以點(diǎn)A在圓內(nèi).

當(dāng)/cu時(shí)，圓心。a°）到直線/的最大距離，直線/被圓截得的弦長最短.

,0-1,1,

kAC=---=1—x1=-1

因?yàn)?—2,所以直線/的斜率為-1,即加，所以"?=T.

故答案為：T.

15,已知（》-3）（》+2）4=%+4產(chǎn)+42/+。3/+%/+生/，則實(shí)數(shù)4的值為.

【答案】-40

【解析】

【分析】先求出G+2）的展開式的通項(xiàng)71+1=2&C2/",再分別求出X—3選取X以及

一3時(shí)，x的系數(shù)，相加即可得出結(jié)果.

【詳解】G+2）的展開式的通項(xiàng)加1=C1xJx2'=2y后=0,1,2,3,4

當(dāng)x-3選取x時(shí)，應(yīng)?。▁+2）展開式中含x的項(xiàng)，令4一左=1,則左=3,

n=20*=32匕此時(shí)3的手?jǐn)?shù)為32：

當(dāng)x—3選取—3時(shí)，應(yīng)?。▁+2）展開式中含V的項(xiàng)，令4-k=2,則左=2,

22

T3=2Cl-x=24x2,此時(shí)式的系數(shù)為-3x24=-72.

所以出=32-72=-40.

故答案為：一40.

16.“結(jié)題”是研究小組向老師和同學(xué)們報(bào)告數(shù)學(xué)建模研究成果并進(jìn)行答辯的過程，結(jié)題會(huì)是

展示研究小組“會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語言表

達(dá)現(xiàn)實(shí)世界'’的重要場(chǎng)合.一般來說，結(jié)題會(huì)是結(jié)題的基本形式，小組長負(fù)責(zé)呈現(xiàn)研究的核

心內(nèi)容.假設(shè)你是研究小組的組長，研究的實(shí)際問題是“車輛的運(yùn)行速度和剎車距離之間關(guān)

系”，那么，為了準(zhǔn)備結(jié)題會(huì)材料，你整理研究成果的核心內(nèi)容是：.

【答案】論文

【解析】

【分析】根據(jù)課題結(jié)題的一般形式即可寫出答案.

【詳解】根據(jù)課題結(jié)題的一般形式而言，論文是整理研究成果的核心內(nèi)容，

故答案為：論文.

四、解答題：本大題共6題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.

17.已知點(diǎn)PQ，4）和直線乙2x+y+l=0

（1）求經(jīng)過點(diǎn)尸且與/平行的直線方程；

（2）求經(jīng)過點(diǎn)P且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程.

【答案】⑴2x+y-8=0；

（2）?=2x或x+y-6=0

【解析】

【分析】（1）根據(jù)已知可設(shè)直線方程為2x+V+m=°,代入點(diǎn)尸坐標(biāo)求出加的值即可得

出直線的方程；

（2）當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上截距都為。時(shí)，求出直線的斜率，得出直線的方程；當(dāng)截距不為

o時(shí)，可設(shè)直線方程為x+?+”=°,代入點(diǎn)P坐標(biāo)求出〃的值即可得出直線的方程.

【小問1詳解】

設(shè)與直線/平行的直線方程為2x+歹+加=0

因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)P（2M）,所以2x2+4+m=0,解得加=一8.

所以直線方程為2*+歹一8=0.

【小問2詳解】

當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)尸（2,4）且在兩坐標(biāo)軸上截距都為o時(shí)，

,4-0-

斜率2-0,此時(shí)所求直線為歹=2x；

當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)0（2,有且在兩坐標(biāo)軸上截距都不為o時(shí)，

由已知可設(shè)直線方程為x+N+〃=°,

因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)0G'4）,所以2+4+〃=0,解得〃=-6.

所以直線方程為x+夕一6=°.

綜上所述，直線的方程為歹=2*或x+y-6=0

18.已知橢圓°的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)片和右焦點(diǎn)8都在*軸上，長軸長為12,離

2

心率為

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知點(diǎn)河為橢圓C上一點(diǎn)且在第一象限.若△町鳥為等腰三角形，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

￡.+/_1

【答案】(1)3620

(2)(3,后)

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意布列基本量的方程組，即可得到結(jié)果;

(2)討論兩腰的位置，結(jié)合橢圓定義即可得到結(jié)果.

【小問1詳解】

12a=12

c_2

根據(jù)題意:a3,解得4=6,c=4

■)

-x-~--F——=1

?b2=a2-c2=20,.?.橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為3620.

【小問2詳解】

VM在第-象限，/孫?＞I”周，

當(dāng)|叫|=|耳段=2。=8時(shí)，周=2”|M周=4與阿耳|＞幽閭矛盾

所以附凰=閨勾=2C=8,叩眼見=4,

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為G。/。始。＞°,y。＞°),則""IM周"=僅，

乂S/f4xF7=4而，儀=4后，解得％=”

片?(V^)-=]/r-z\

...3620，解得/=3(x°=—3舍去)，的坐標(biāo)為9)

19.如圖，在四棱錐P—48co中，底面N6CO是矩形，尸D1平面N8CO,

(1)證明：平面。工加；

（2）求平面P4M與平面PDC的夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

百

（2）3.

【解析】

【分析】（1）利用坐標(biāo)法或幾何法利用線面垂直的判定定理證明；（2）利用空間向量計(jì)算面面

角.

【小問1詳解】

證明：由題平面力88,底面〃3CD為矩形，以。為原點(diǎn)，直線以，DC,

。夕所在直線分別為x軸、V軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系。一型如圖：

則力（2,0,0）,D（0,0,0）C（O,1,O）"（1,1,0）,尸（0,0,2）,°口5司，

/）2=（3,3,3）^7=（-1,1,0）萬=（-2,0,2）

，，，

.?.DQ-^AM=0??.DQLAM9

...而.簫=0...。014尸，

.../"0/尸=〃,且工",工尸口平面尸切11,...QQJ■平面PZM

（法二）證明：由題W平面"88,底面/BCD為矩形，以。為原點(diǎn)，直線

DC,。尸所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系。一肛z如圖：

XB

皿/(2,0,0)D(0,0,0)C(O,1,O)M(1,1,0)P(0,0,2)Q[3，3,

設(shè)〃=(x,y,z)是平面尸/”的一個(gè)法向量.

^A/=(-1,1,0)AP=(-2,0,2)

X=1

nAM=-x+y=0y=l

n.AP=-lx+2z=0z=1

./、麗豐2,2]

.n=(1,1,1)L(333),

—?2—

則迎=5〃，DQ//n

...平面尸ZM

(法三)證明：連接。河

,/PD1平面ABCD,AMU平面ABCD,：.PD1AM

在△NA/。中，AM=DM=正,AD=2.

VAM2+DM2=AD-,：.AMLDM,且尸0coM=Q,

Z.AM1平面PDM,

又...DQu平面PDM,/.4M±DQ

2。河嗡=魯?shù)?乂.「os血。嗡=%邛

..sDQM...DQ±PM

且/加口「加="，且口平面PZA1,平面.

【小問2詳解】

麗

（接向量法）由（1）可知平面的法向量為1333J（也可為=(LL1))

平面PCD的一個(gè)法向量為切=0'°'°）.

V3

:.平面21M與平面ADC的夾角的余弦值為3.

（法二）延長4W,DC,交于點(diǎn)N,連接尸N.

,/NeAM,Ne平面PAM，?:NGCD,：.Ne平面PCD

：.平面PAMc平面PCD=PN

過D做DT1PN于T,連接NT.

?ZPD1平面ABCD，:.PDL4D.

又4DLCD,CDCPD=D,

/0_L平面PCD,又PNu平面PCD,：.AD工PN

又?：DT工PN,DTcAD=D,Or，/°u平面/。7

.?.印1_平面4。7,；.印_1/7',

二4477）為二面角Z-PN—D的平面角.

在此中，AT=m,

DTV2_V3

cosZ.ATD-

~AT

旦

.?.平面與平面的夾角的余弦值為3.

20.用0,1,2,3,…，9這十個(gè)數(shù)字.

（1）可組成多少個(gè)三位數(shù)？

（2）可組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

（3）可組成多少個(gè)小于500且沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)?

【答案】（1）900；

（2）648；（3）379.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意，分別得出三位數(shù)各位的種數(shù)，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理相乘即可得

出結(jié)果；

（2）根據(jù)題意，分別得出三位數(shù)各位的種數(shù)，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理相乘即可得出結(jié)果；

（3）根據(jù)題意，分成三種情況，分別計(jì)算得出各種情況的種數(shù)，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理相

加即可得出結(jié)果.

【小問1詳解】

要確定一個(gè)三位數(shù)，可分三步進(jìn)行：

第一步，確定百位數(shù)，百位不能為0,有9種選法；

第二步，確定十位數(shù)，有10種選法；

第三步，確定個(gè)位數(shù)，有10種選法.

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有9x10x10=900種.

【小問2詳解】

要確定一個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，可分三步進(jìn)行：

第一步，確定百位數(shù)，有9種選法；

第二步，確定十位數(shù)，有9種選法；

第三步，確定個(gè)位數(shù)，有8種選法.

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有9x9x8=648個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).

【小問3詳解】

由已知，小于500且沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)分為以下三類，

第一類，滿足條件的一位自然數(shù)：有10個(gè)，

第二類，滿足條件的兩位自然數(shù)：有9x9=81個(gè)，

第三類，滿足條件的三位自然數(shù)：

第一步，確定百位數(shù)，百位數(shù)字可取1,2,3,4,有4種選法；

第二步，確定十位數(shù)，有9種選法；

第三步，確定個(gè)位數(shù)，有8種選法.

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，有4x9x8=288個(gè).

由分類加法計(jì)數(shù)原理知共有10+81+288=379,共有379個(gè)小于500且無重復(fù)數(shù)字的自

然數(shù).

21.平行六面體-44CA中，以頂點(diǎn)N為端點(diǎn)的三條棱長都為1,且兩兩夾角為

60°

G

5

(i)求線段的長；

(2)若在=￡,'4=c，用空間向量的一組基底后+表示向量48.

【答案】⑴艮

⑵一泊