專題六第2講隱圓問題

第2講隱圓問題隱圓問題近幾年在各地模考和高考的填空題和解答題中都出現(xiàn)過，難度為中、高檔題．在題設(shè)中沒有明確給出圓的相關(guān)信息，而是隱含在題目中的，要通過分析、轉(zhuǎn)化，發(fā)現(xiàn)圓(或圓的方程)，從而最終利用圓的知識來求解，我們稱這類問題為“隱圓”問題．例1(1)已知圓C：(X—3)2+(y—4)2=1和兩點A(—m,0),B(m,0),且m>0.若圓C上存在一點P，使得∠APB=90°,則m的最大值是()A．7B．6C．5D．4答案B解析如圖所示，圓C：(X-3)2+(y-4)2=1的半徑為1,IOCI=5,所以圓C上的點到點O距離的最大值為6，最小值為4,由∠APB=90°可得，以AB為直徑的圓和圓C有交點，連接OP,故IPO∣=2abI=m，故4≤m≤6.所以m的最大值是6.⑵在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓X2+y2=1交X軸于A,B兩點，且點A在點B的左側(cè)，若直線X+√3y+m=0上存在點P,使得IPAI=2IPBI,則m的取值范圍為.答案［-呈L解析由題意得A(-1,0),B(1,0)，設(shè)P(X,y),則由IPAI=2IPBI,得(X+1)2+y2=2'：'(X-1)2+y2,即(X-I)2+y2=196，5—+m因此圓(X-5)2+y2=號與直線X+√∣y+m=0有交點，即--≤4，解得-4≤m≤1.3/ 9 ' 2 3 3故m的取值范圍為1-133,1. ，一 一一一，一一 f r. ，一 ，一.ff例2(1)在平面直角坐標(biāo)系XOy中，點A(—12,0),B(0,6),點P在圓O：X2+y2=50上，若PA?PB≤20,則點P的橫坐標(biāo)的取值范圍是()A.[0,?⑵ B.[—5√2,1]C.[—?,12,√2] D.[—2,0]答案B→→解析設(shè)P(X,y)，由PA?PB≤20可得(x+6)2+(y-3)2≤65,則點P為圓。在圓(x+6)2+(y-3)2:65內(nèi)部及其上的點，IX2+y2=50,聯(lián)立LX2+y2+12X-6y=20,解得X=1，或,X=-5,Ly=-5.Ly=7結(jié)合圖形(圖略)可知-5√2≤X≤1.???一?. ?.......?……――> .??⑵已知等邊三角形ABC的邊長為2,點P在線段AC上，若滿足PA?PB—2A+1=0的點P恰有兩個，則實數(shù)力的取值范圍是.<31答案18,2」解析如圖，以AB的中點。為坐標(biāo)原點，AB所在的直線為X軸，OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(-1,0),B(1,0)，設(shè)P(X,y),則→?→-2A+1=0,即為(-1-X)(1-X)+y2-2A+1=0，化簡得X2+y2=2A(A>0)，故所有滿足→?→-2A+1=0的點P在以O(shè)為圓心，戶為半徑的圓上.過點O作OM⊥AC，垂足為點M，由題意知，線段AC與圓X2+y2=2A有兩個交點，所以IOM∣<√2A≤lOAI,即^3<√2A≤1,解得^≤2.■能力提升發(fā)現(xiàn)隱圓的方法(1)利用圓的定義或圓的幾何性質(zhì)確定隱圓．⑵在平面上給定相異兩點A,B，設(shè)點P在同一平面上且滿足IPAI=AIPBI,當(dāng)A>0且A≠1時，點P的軌跡是個圓，這個圓我們稱作阿波羅尼斯圓.⑶兩定點A,B，動點P滿足→?PB二丸，確定隱圓?(4)兩定點A,B,動點P滿足IPA∣2+∣PB∣2是定值，確定隱圓?O跟蹤演練1.已知圓O：x2+y2=1,圓M：(X—a)2+(y—2)2=2.若圓M上存在點P，過點P作圓O的兩條切線，切點為A,B，使得PA⊥PB，則實數(shù)a的取值范圍為()A.[0,2] B.[—5?'2,1]C.[—\,,2,√2] D.[—2,2]答案D解析由題意可知四邊形PAOB為正方形，IOPI=\12,???點P在以O(shè)為圓心，以\/2為半徑的圓上，又P也在圓M上，???IOMI≤2λ,'r2，.??a2+4≤8，???-2≤a≤2..已知圓O：x2+y2=5,A,B為圓O上的兩個動點，且ABI=2,M為弦AB的中點，C(2√2,a),D(2λ,'2,a+2).當(dāng)A,B在圓O上運動時，始終有∠CMD為銳角，則實數(shù)a的取值范圍為 .答案(一8,—2)∪(0,+∞)解析由題意得IOMI=[U=2,所以點M在以O(shè)為圓心，半徑為2的圓上.設(shè)CD的中點為N,則N(2√2,a+1),且\CDI=2.因為當(dāng)A,B在圓O上運動時，始終有∠CMD為銳角，所以以O(shè)為圓心，半徑為2的圓與以N(2√2,a+1)為圓心，半徑為1的圓外離，所以?j(2√2)2+(a+1)2>3,整理得(a+1)2>1,解得a<-2或a>0,所以實數(shù)a的取值范圍為(-∞,-2)∪(0,+∞)..已知圓C：(x—2)2+y2=2,直線l：y=k(X+2)與X軸交于點A,過l上一點P作圓C的切線，切點為T，若IPAI=PPT，則實數(shù)k的取值范圍是 .答案3--；177,解析由題意知A(-2,0),C(2,0),設(shè)P(X,y),則由IPAI二率IPTI,得IPAI2=2IPTI2=2(IPCI2-2),故(X+2)2+y2=2[(x-2)2+y2-2],化簡得(X-6)2+為=36,所以滿足IPAI=，、,②PT的點P在以(6,0)為圓心，6為半徑的圓上，由題意知，直線y=k(X+2)與圓(％-6)2+為=36有公共點，所以d=「BU≤6，解得-學(xué)k+2+1 7≤k≤7..在平面直角坐標(biāo)系XOy中，已知圓C：(X—a)2+(y—a+2)2=1,點A(0,2)，若圓C上存在點M,滿足IMAI2+IMOI2=10,則實數(shù)a的取值范圍是 .答案[0,3]解析設(shè)M(X,y),由IMAI2+imoi2=1