圖形學(xué)第二章物體的幾何表示

圖形學(xué)第二章物體的幾何表示第一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二內(nèi)容參數(shù)曲面表示參數(shù)表示的數(shù)學(xué)原理參數(shù)曲線參數(shù)曲面2第二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二內(nèi)容參數(shù)曲面表示參數(shù)表示的數(shù)學(xué)原理參數(shù)曲線參數(shù)曲面3第三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二考慮直線段P0(x0,y0,z0)→P1(x1,y1,z1)

參數(shù)表示分量表示參數(shù)空間：參數(shù)表示的數(shù)學(xué)原理：直線段

4第四頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二參數(shù)表示的數(shù)學(xué)原理：直線段直線段參數(shù)表示的直觀幾何意義參數(shù)空間中每一個參數(shù)(點(diǎn))都對應(yīng)于直線段上一個點(diǎn)參數(shù)空間的兩個端點(diǎn)對應(yīng)于直線段的兩個端點(diǎn)

5第五頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二一般三維參數(shù)曲線形式：參數(shù)空間中每一個t對應(yīng)于曲線上一個點(diǎn)R(t)

圖形學(xué)中，參數(shù)空間通常是有限區(qū)間，此時參數(shù)曲線稱為參數(shù)曲線段圖形學(xué)中，參數(shù)函數(shù)通常為分段多項式或有理多項式曲線參數(shù)表示的數(shù)學(xué)原理：曲線6第六頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二參數(shù)表示的數(shù)學(xué)原理：平面雙線性四邊面片：

(u,v)∈[0,1]×[0,1]四邊面片的四個頂點(diǎn)P0、P1、P2和P3對應(yīng)于參數(shù)曲面的四個角點(diǎn)R(0,0)、R(1,0)、R(1,0)和R(0,1)

7第七頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二曲面參數(shù)表示的數(shù)學(xué)原理雙線性四邊面片8第八頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二一般形式的空間參數(shù)曲面參數(shù)空間中每一點(diǎn)(u,v)對應(yīng)于曲面上一點(diǎn)R(u,v)如果曲面的參數(shù)空間是一個有限的定義域(如矩形)，則對應(yīng)的參數(shù)曲面稱為參數(shù)曲面片圖形學(xué)中常用的參數(shù)曲面為張量積分片多項式或有理多項式參數(shù)曲面參數(shù)表示的數(shù)學(xué)原理：曲面9第九頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二參數(shù)表示的優(yōu)勢參數(shù)表示是顯式的對每一個參數(shù)值，可以直接計算曲面上的對應(yīng)點(diǎn)參數(shù)表示的物體可以方便地轉(zhuǎn)化為多邊形逼近表示曲面上的幾何量計算簡便(微分幾何)：法向、曲率、測地線、曲率線等特殊形式的參數(shù)表示的外形控制十分直觀Bézier、B-樣條、NURBS(Non-UniformRationalB-Spline,非均勻有理B-樣條)曲線/曲面。10第十頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二內(nèi)容參數(shù)曲面表示參數(shù)表示的數(shù)學(xué)原理參數(shù)曲線Bézier曲線B-樣條曲線NURBS曲線參數(shù)曲面11第十一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二Bézier曲線PierreBézier(1910.9.1-1999.11.25)發(fā)音：[BEHzeeeh]Bézier曲線12第十二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二一條n次Bézier曲線： 多項式{Bi,n(t)}稱為Bernstein基函數(shù)：Bézier曲線定義

13第十三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二Bézier曲線性質(zhì)端點(diǎn)插值： R(0)=R0

R(1)=Rn端點(diǎn)切向：R(0)=n(R1?R0)R(1)=n(Rn?Rn-1)

對稱性： ∑iRn-iBi,n(t)=∑iRiBi,n(t)曲線的控制頂點(diǎn)的幾何地位是對稱的三次Bézier曲線14第十四頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二Bézier曲線性質(zhì)凸包性：Bézier曲線位于控制多邊形的凸包內(nèi)幾何不變性：Bézier曲線的形狀僅與控制多邊形有關(guān)，與坐標(biāo)系無關(guān)Bézier曲線的凸包性15第十五頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二Bézier曲線剖分性質(zhì)SubdivideBezierCurve(t0,R(t)){for(i=0;i<=n;i++)Ri(0)=Ri;for(s=1;s<=n;s++)for(i=0;i<=n-s;i++)

Ri(s)=(1-t0)Ri(s-1)+t0Ri+1(s-1);}Bézier曲線剖分示意圖Bézier曲線剖分算法描述16第十六頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二Bézier曲線剖分性質(zhì)每次剖分，曲線分為兩段新的Bézier曲線新的控制多邊形更加趨近于Bézier曲線當(dāng)剖分次數(shù)足夠大的時候，控制多邊形可以作為Bézier曲線的逼近17第十七頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二Bézier曲線的不足整體性質(zhì)：當(dāng)移動曲線的一個控制頂點(diǎn)時，整條曲線的形狀都會發(fā)生改變表示復(fù)雜形狀時，需要將多條Bézier曲線光滑拼接起來，即Bézier樣條曲線。位置連續(xù)：C0(或G0)n次導(dǎo)數(shù)(或幾何)連續(xù)：Cn(或Gn)18第十八頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二內(nèi)容參數(shù)曲面表示參數(shù)表示的數(shù)學(xué)原理參數(shù)曲線Bézier曲線B-樣條曲線NURBS曲線參數(shù)曲面19第十九頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二B-樣條曲線實(shí)列三次(四階)B-樣條曲線R0R1R2R3R4R5R6R720第二十頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二B-樣條曲線的定義B-樣條曲線是分段連續(xù)的多項式曲線，其定義與節(jié)點(diǎn)向量密切相關(guān)定義在節(jié)點(diǎn)向量u={u0,u1,…,ui,…,un+k+1}上的k次(k+1階)、具有(n+1)個控制頂點(diǎn)的B-樣條曲線為：

21第二十一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二B-樣條曲線的定義

Ri為控制頂點(diǎn)，{Ri}i=0,1,…,n順次連接稱為曲線的控制多邊形

Ni,k(u)為單位化的B-樣條基函數(shù)：22第二十二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二B-樣條基函數(shù)實(shí)例n=3(4個控制頂點(diǎn))k=3三次(四階)曲線u=[00012222]在u=0.6

處，基函數(shù)的和為：N1,3+N2,3+N3,3+N4,3=0.16+0.66+0.18+0.0=1.0u23第二十三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二B-樣條曲線性質(zhì)B-樣條曲線具有凸包性和幾何不變性。當(dāng)曲線的兩個端節(jié)點(diǎn)的重復(fù)度是k+1時B-樣條曲線具有類似于Bézier曲線的性質(zhì)端點(diǎn)插值性質(zhì)端點(diǎn)導(dǎo)數(shù)與控制的起始邊與終止邊相切當(dāng)n=k+1時，B-樣條曲線就是一條Bézier曲線24第二十四頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二B-樣條曲線性質(zhì)局部性：當(dāng)移動一個控制頂點(diǎn)時，只會影響曲線的一部分，而不是整條曲線三次B-樣條曲線的局部性質(zhì)25第二十五頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二內(nèi)容參數(shù)曲面表示參數(shù)表示的數(shù)學(xué)原理參數(shù)曲線Bézier曲線B-樣條曲線NURBS曲線參數(shù)曲面26第二十六頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二引入NURBS曲線的原因B-樣條情形不能精確表示二次曲面與平面的交線，如圓錐曲線(平面與圓錐的交線)拋物線橢圓(上)與圓(下)雙曲線27第二十七頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二NURBS(Non-UniformRationalB-Spline)：非均勻有理B-樣條的簡稱定義：NURBS曲線28第二十八頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二NURBS曲線{Ni,k(u)}為單位化的B-樣條基函數(shù){Ri}為控制頂點(diǎn)NURBS曲線新增加的曲線控制手段是權(quán)因子{ωi}，首末兩個權(quán)因子ω0>0、ωn>0其余的權(quán)因子滿足ωi≥029第二十九頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二NURBS曲線的權(quán)因子每一個權(quán)因子對應(yīng)于一個控制頂點(diǎn)通過調(diào)整權(quán)因子的大小可以調(diào)整曲線的形狀。當(dāng)所有的權(quán)因子ωi=1時，就是B-樣條曲線；當(dāng)某個權(quán)因子ωi=0時，對應(yīng)的控制頂點(diǎn)對曲線的形狀沒有影響當(dāng)ωi→∞時，曲線R(u)→Ri

，即曲線過點(diǎn)Ri

30第三十頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二NURBS曲線的例子NURBS曲線權(quán)因子對曲線形狀的影響31第三十一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二NURBS曲線表示圓用三個120°圓弧表示圓：u=[0001122333]k=3[ωi]=[1,?,1,?,1,?,1]控制頂點(diǎn)分布如右圖所示NURBS曲線表示圓R0R6R1R2R3R4R532第三十二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二內(nèi)容參數(shù)曲面表示參數(shù)表示的數(shù)學(xué)原理參數(shù)曲線參數(shù)曲面Bézier曲面B-樣條曲面NURBS曲面33第三十三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二雙三次Bézier曲面實(shí)列雙三次Bézier曲面實(shí)例34第三十四頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二m×n次Bézier曲面：Bi,m(u)和Bj,n(v)為Bernstein基函數(shù){Rij}規(guī)則連接形成控制網(wǎng)

Bézier曲面35第三十五頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二Bézier曲面性質(zhì)Bézier曲面的控制頂點(diǎn)所形成的控制網(wǎng)格大致反應(yīng)了曲面的形狀，所以可通過編輯控制頂點(diǎn)的方式來實(shí)現(xiàn)對曲面形狀的改變

36第三十六頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二Bézier曲面性質(zhì)Bézier曲面通過四個角點(diǎn)處的控制頂點(diǎn)37第三十七頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二Bézier曲面性質(zhì)在角點(diǎn)處曲面與控制多邊形相切Bézier曲面具有剖分算法：用加密的控制多邊形來逼近顯示Bézier曲面38第三十八頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二Bézier曲面的不足全局性：當(dāng)移動一個控制頂點(diǎn)的位置時，整個曲面的形狀會發(fā)生改變，這對于外形設(shè)計是很不方便的生成復(fù)雜外形需要多個Bézier曲面的光滑拼接，十分復(fù)雜39第三十九頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二內(nèi)容參數(shù)曲面表示參數(shù)表示的數(shù)學(xué)原理參數(shù)曲線參數(shù)曲面Bézier曲面B-樣條曲面NURBS曲面40第四十頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二B-樣條曲面定義：次數(shù)：ku×kv控制頂點(diǎn)數(shù)：(nu+1)×(nv+1)節(jié)點(diǎn)向量B-樣條曲面

41第四十一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二B-樣條曲面

{Rij}為控制頂點(diǎn)

Ni,ku(u)和Ni,kv(v)分別為定義在節(jié)點(diǎn)向量u和v上的規(guī)范化B-樣條基函數(shù)

42第四十二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二B-樣條曲面的重要性質(zhì)局部性質(zhì)控制頂點(diǎn)數(shù)目Bézier曲面的次數(shù)確定后，控制頂點(diǎn)數(shù)目就定了B-樣條曲面的次數(shù)確定后，控制頂點(diǎn)數(shù)目可任意其它性質(zhì)：參考曲線情形43第四十三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期二B-樣條曲面實(shí)例具有6×6個控制頂點(diǎn)雙三次B-樣條曲面：(a)均勻節(jié)點(diǎn)向量u=v=[-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5]，所構(gòu)造曲面不插值角點(diǎn)(b)具有端點(diǎn)處4階重節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)向量u=v=[0,0,0,0,1,2,3,3,3,3]，曲面插值角點(diǎn)(c)采用了與圖(b)相同的節(jié)點(diǎn)向量，擾動頂點(diǎn)R4,4的位置后，其形狀變化的紅色區(qū)域局限于變動頂點(diǎn)的鄰域中．(a)均勻節(jié)點(diǎn)(b)端點(diǎn)重