2021-2022學(xué)年河南省開封市第十七中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

2021-2022學(xué)年河南省開封市第十七中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)變量滿足,則的最大值為(

)A.20

B.35

C.45

D.55參考答案：D2.已知集合，，則A.

B.

C.

D.或參考答案：B【考點(diǎn)】集合的運(yùn)算，一元二次不等式。解析：集合B＝{x|1＜x＜3}，所以，，故選B。3.若對(duì)所有正數(shù)x、y，不等式都成立，則a的最大值是

（

）

A．1

B．

C．2

D．4參考答案：D4.函數(shù)的最小值為A.1

B.2

C.

D.4參考答案：C【考點(diǎn)】基本不等式，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。解析：因?yàn)椋?，所以，有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最小值。選C。5.《算法統(tǒng)宗》是明朝程大位所著數(shù)學(xué)名著，其中有這樣一段表述：“遠(yuǎn)看巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一”，其意大致為：有一七層寶塔，每層懸掛的紅燈數(shù)為上一層的兩倍，共有381盞燈，則塔從上至下的第三層有（）盞燈．A．14 B．12 C．8 D．10參考答案：B【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】設(shè)第一層有a盞燈，則由題意知第一層至第七層的燈的盞數(shù)構(gòu)成一個(gè)以a1為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，由此能求出結(jié)果．【解答】解：設(shè)第一層有a盞燈，則由題意知第一層至第七層的燈的盞數(shù)構(gòu)成一個(gè)以a1為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，∴=381，解得a1=192，∴a5=a1×（）4=192×=12，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查頂層有幾盞燈的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．6.設(shè)全集U={x∈N|x＜8}，集合A={2，0，1，6}，B={2，0，1，7}，C={2，0，1，5}，則?U（（A∩C）∪B）=（）A．{2，0，1，7} B．{0，6，7，8} C．{2，3，4，5} D．{3，4，5，6}參考答案：B【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．【分析】用列舉法寫出全集U，根據(jù)交集、并集和補(bǔ)集的定義寫出運(yùn)算結(jié)果即可．【解答】解：全集U={x∈N|x＜8}={0，1，2，3，4，5，6，7}，集合A={2，0，1，6}，B={2，0，1，7}，C={2，0，1，5}，A∩C={2，0，1}，（A∩C）∪B={2，0，1，7}，?U（（A∩C）∪B）={3，4，5，6}．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合的表示法與基本運(yùn)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．7.已知，為常數(shù)，且的最大值為2，則＝A．2

B．4

C．

D．參考答案：C當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。因?yàn)榈淖畲笾禐?，所以，所以，選C.8.圓錐的母線長(zhǎng)是4，側(cè)面積是4π，則該圓錐的高為A.

B.4

C.3

D.2參考答案：A9.集合A={x|ln（x－l）＞0}，B={x|x2≤9}，則A∩B=

（

）

A．（2,3）

B．[2,3）

C．（2,3]

D．[2,3]參考答案：C10.如圖，在正三棱柱ABC—A1B1C1中已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，若AD與平面AA1C1C所成的角為α，則α=

（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.求值：=

．參考答案：2【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)lgM﹣lgN=lg以及l(fā)gMn=nlgM進(jìn)行化簡(jiǎn)運(yùn)算即可得到答案．【解答】解：=，∴=2．故答案為：2．12.已知集合，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：13.已知斜率為的直線與拋物線交于位于軸上方的不同兩點(diǎn)，記直線的斜率分別為，則的取值范圍是

▲

．參考答案：14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A為橢圓E：的左頂點(diǎn)，B、C在橢圓上，若四邊形OABC為平行四邊形，且∠OAB＝30°，則橢圓E的離心率等于

．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．H5答案

解析：∵AO是與X軸重合的，且四邊形OABC為平行四邊形，∴BC∥OA，B、C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，B、C的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，∴B、C兩點(diǎn)是關(guān)于Y軸對(duì)稱的．由題知：OA=a，四邊形OABC為平行四邊形，所以BC=OA=a

可設(shè)代入橢圓方程解得：

設(shè)D為橢圓的右頂點(diǎn)，因?yàn)椤螼AB=30°，四邊形OABC為平行四邊形，所以∠COD=30°

對(duì)C點(diǎn)：，解得：a=3b，根據(jù)：得：，

，故答案為：．【思路點(diǎn)撥】首先利用橢圓的對(duì)稱性和OABC為平行四邊形，可以得出B、C兩點(diǎn)是關(guān)于Y軸對(duì)稱，進(jìn)而得到BC=OA=a；設(shè)，從而求出|y|，然后由∠OAB=∠COD=30°，利用，求得a=3b，最后根據(jù)得出離心率．15.函數(shù)的最小正周期是______________參考答案：16.已知三棱錐O－ABC，∠BOC＝90°，OA⊥平面BOC，其中AB＝，BC＝，AC＝，O，A，B，C四點(diǎn)均在球S的表面上，則球S的表面積為________．參考答案：14π17.給出下列四個(gè)命題：①若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，則②函數(shù)的定義域是③當(dāng)且時(shí)，有④圓上任意一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)M’也在該圓上。所有正確命題的題號(hào)為_____________.參考答案：答案：（1）（4）三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（13分）（2007?福建）已知函數(shù)f（x）=ex﹣kx，（1）若k=e，試確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若k＞0，且對(duì)于任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）+f（﹣x），求證：F（1）F（2）…F（n）＞（n∈N*）．參考答案：【考點(diǎn)】：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)恒成立問(wèn)題；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；不等式的證明．【專題】：計(jì)算題；壓軸題．【分析】：（1）先確定函數(shù)的定義域然后求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0，f′（x）＜0（2）f（|x|）是偶函數(shù)，只需研究f（x）＞0對(duì)任意x≥0成立即可，即當(dāng)x≥0時(shí)f（x）min＞0（3）觀察結(jié)論，要證F（1）F（2）…F（n）＞，即證[F（1）F（2）…F（n）]2＞（en+1+2）n，變形可得[F（1）F（n）][F（2）F（n﹣1）]…[F（n）F（1）]＞（en+1+2）n，可證F（1）F（n）＞en+1+2，F(xiàn)（2）F（n﹣1）＞en+1+2，F(xiàn)（n）F（1）＞en+1+2．問(wèn)題得以解決．解：（Ⅰ）由k=e得f（x）=ex﹣ex，所以f'（x）=ex﹣e．由f'（x）＞0得x＞1，故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞），由f'（x）＜0得x＜1，故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（﹣∞，1）．（Ⅱ）由f（|﹣x|）=f（|x|）可知f（|x|）是偶函數(shù)．于是f（|x|）＞0對(duì)任意x∈R成立等價(jià)于f（x）＞0對(duì)任意x≥0成立．由f'（x）=ex﹣k=0得x=lnk．①當(dāng)k∈（0，1]時(shí)，f'（x）=ex﹣k＞1﹣k≥0（x＞0）．此時(shí)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增．故f（x）≥f（0）=1＞0，符合題意．②當(dāng)k∈（1，+∞）時(shí)，lnk＞0．當(dāng)x變化時(shí)f'（x），f（x）的變化情況如下表：x（0，lnk）lnk（lnk，+∞）f′（x）﹣0+f（x）單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由此可得，在[0，+∞）上，f（x）≥f（lnk）=k﹣klnk．依題意，k﹣klnk＞0，又k＞1，∴1＜k＜e．綜合①，②得，實(shí)數(shù)k的取值范圍是0＜k＜e．（Ⅲ）∵F（x）=f（x）+f（﹣x）=ex+e﹣x，∴F（x1）F（x2）=，∴F（1）F（n）＞en+1+2，F(xiàn)（2）F（n﹣1）＞en+1+2，F(xiàn)（n）F（1）＞en+1+2．由此得，[F（1）F（2）F（n）]2=[F（1）F（n）][F（2）F（n﹣1）][F（n）F（1）]＞（en+1+2）n故，n∈N*．【點(diǎn)評(píng)】：本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、導(dǎo)數(shù)、不等式等基本知識(shí)，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查分類討論、化歸以及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．19.如圖5，已知拋物線C:和圓M：，過(guò)拋物線C上一點(diǎn)H作兩條直線與圓M相切于A,B兩點(diǎn)，圓心M到拋物線準(zhǔn)線的距離為.(1)求拋物線C的方程；(2)若直線AB在y軸上的截距為t，求t的最小值.

參考答案：(1)(2)解析：（1）∵點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為，∴，即拋物線的方程為．（2）方法一：設(shè)，∵，∴，可得，直線的方程為，同理，直線的方程為，∴，，∴直線的方程為，令，可得，∵關(guān)于的函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴．方法二：設(shè)點(diǎn)，，．以為圓心，為半徑的圓方程為，①⊙M方程為．②①②整理得直線的方程為：．當(dāng)時(shí)，直線在軸上的截距，∵關(guān)于的函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴．

略20.已知函數(shù)f(x)=lnx.（1）證明：當(dāng)x＞1時(shí)，；（2）若函數(shù)g(x)=f(x)+x-ax2有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2（x1＜x2，a＞0），證明：.參考答案：解：（1）欲證證，，在上遞增，（2），，取..，.，在上遞減，，故，，令，易知在遞減，，，，，，，，，，，，，要合題意，如圖，，，右大于左，原題得證21.某市隨機(jī)抽取部分企業(yè)調(diào)查年上繳稅收情況（單位：萬(wàn)元），將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖），年上繳稅收范圍是[0，100]，樣本數(shù)據(jù)分組為第一組[0，20），第二組AA1⊥平面ABC，第三組[40，60），第四組[60，80），第五組[80，100]．（1）求直方圖中x的值；（2）如果年上繳稅收不少于60萬(wàn)元的企業(yè)可申請(qǐng)政策優(yōu)惠，若共抽取企業(yè)1200個(gè)，試估計(jì)有多少企業(yè)可以申請(qǐng)政策優(yōu)惠；（3）若從第一組和第二組中利用分層抽樣的方法抽取6家企業(yè)，試求在這6家企業(yè)中選2家，這2家企業(yè)年上繳稅收在同一組的概率．參考答案：【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；頻率分布直方圖．【分析】（1）由頻率和為1，列方程求出x的值；（2）計(jì)算上繳稅收不少于60萬(wàn)元的頻率與頻數(shù)即可；（3）根據(jù)第一組與第二組的企業(yè)家數(shù)比求出每組抽取的家數(shù)，用列舉法計(jì)算基本事件數(shù)，計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率值．【解答】解：（1）由頻率分布直方圖可得：20×（x+0.025+0.0065+0.003×2）=1，解得x=0.0125；（2）企業(yè)上繳稅收不少于60萬(wàn)元的頻率為0.003×2×20=0.12，∴1200×0.12=144，∴1200個(gè)企業(yè)中有144個(gè)企業(yè)可以申請(qǐng)政策優(yōu)惠；（3）第一組與第二組的企業(yè)數(shù)之比為0.0125：0.025=1：2，用分層抽樣法從中抽取6家，第一組抽取2家，記為A、B，第二組抽取4家，記為c、d、e、f；從這6家企業(yè)中抽取2家，基本事件數(shù)是AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf、cd、ce、cf、de、df、ef共15種，其中兩家企業(yè)在同一組的基本事件數(shù)是AB、cd、ce、cf、de、df、ef共7種，故所求的概率為P=．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了頻率分布直方圖與列舉法求古典概型的概率問(wèn)題，也考查了分層抽樣原理的應(yīng)用