2023年新高考藝考生40天突破數(shù)學(xué)90分講義 專題04 基本不等式及其應(yīng)用（原卷版）

專題04基本不等式及其應(yīng)用【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】1、基本不等式如果，那么，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．其中，叫作的算術(shù)平均數(shù)，叫作的幾何平均數(shù)．即正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．基本不等式1：若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；基本不等式2：若，則（或），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正數(shù)，“二定”指求最值時(shí)和或積為定值，“三相等”指滿足等號(hào)成立的條件．（2）連續(xù)使用不等式要注意取得一致．【方法技巧與總結(jié)】1、幾個(gè)重要的不等式（1）（2）基本不等式：如果，則（當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取“”）．特例：（同號(hào)）．（3）其他變形：①（溝通兩和與兩平方和的不等關(guān)系式）②（溝通兩積與兩平方和的不等關(guān)系式）③（溝通兩積與兩和的不等關(guān)系式）④重要不等式串：即調(diào)和平均值幾何平均值算數(shù)平均值平方平均值（注意等號(hào)成立的條件）．2、均值定理已知．（1）如果（定值），則（當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取“=”）．即“和為定值，積有最大值”．（2）如果（定值），則（當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取“=”）．即積為定值，和有最小值”．3、常見(jiàn)求最值模型模型一：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；模型二：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；模型三：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；模型四：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．【題型歸納目錄】題型一：基本不等式及其應(yīng)用題型二：直接法求最值題型三：常規(guī)湊配法求最值題型四：消參法求最值題型五：換元法求最值題型六：“1”的代換求最值題型七：利用基本不等式證明不等式題型八：利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題【典例例題】題型一：基本不等式及其應(yīng)用例1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．例2．（2023春·安徽·高三蚌埠二中校聯(lián)考階段練習(xí)）下列幾個(gè)不等式中，不能取到等號(hào)的是（

）A． B．C． D．例3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）給出下面三個(gè)推導(dǎo)過(guò)程：①∵a、b為正實(shí)數(shù)，∴＋＝2；②∵a∈R，a≠0，∴＋a＝4；③∵x、y∈R，xy＜0，∴＋＝－＝－2.其中正確的推導(dǎo)為（

）A．①② B．①③C．②③ D．①②③變式1．（多選題）（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第一二二中學(xué)校校考期末）下列命題中，真命題的是（

）A．，都有B．，使得C．任意非零實(shí)數(shù)，都有D．若，則的最小值為4變式2．（多選題）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列推導(dǎo)過(guò)程，正確的為（

）A．因?yàn)?、為正?shí)數(shù)，所以B．因?yàn)?，所以C．，所以D．因?yàn)?、，，所以【方法技巧與總結(jié)】熟記基本不等式成立的條件，合理選擇基本不等式的形式解題，要注意對(duì)不等式等號(hào)是否成立進(jìn)行驗(yàn)證．題型二：直接法求最值例4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知a＞0，b＞0，且a+2b＝ab，則ab的最小值是（）A．4 B．8 C．16 D．32例5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)a，b滿足，則ab的最大值為（

）A．2 B．1 C． D．例6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，且，則的最大值為（

）A．2 B．5 C． D．變式3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．6變式4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3變式5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最小值為（

）A．4 B． C．3 D．【方法技巧與總結(jié)】直接利用基本不等式求解，注意取等條件．題型三：常規(guī)湊配法求最值例7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值例8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最小值是（

）A． B．C． D．例9．（2023·上海·高三專題練習(xí)）若，則函數(shù)的最小值為_(kāi)__________.變式6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（1）求函數(shù)的最小值及此時(shí)的值；（2）已知函數(shù)，，求此函數(shù)的最小值及此時(shí)的值.【方法技巧與總結(jié)】1、通過(guò)添項(xiàng)、拆項(xiàng)、變系數(shù)等方法湊成和為定值或積為定值的形式．2、注意驗(yàn)證取得條件．題型四：消參法求最值例21．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)正實(shí)數(shù)，，滿足，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的最大值為（

）A． B． C． D．例22．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值是（）A．2 B． C． D．6例23．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為_(kāi)_____．【方法技巧與總結(jié)】消參法就是對(duì)應(yīng)不等式中的兩元問(wèn)題，用一個(gè)參數(shù)表示另一個(gè)參數(shù)，再利用基本不等式進(jìn)行求解．解題過(guò)程中要注意“一正，二定，三相等”這三個(gè)條件缺一不可！題型五：換元法求最值例29．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，，則取到最小值為_(kāi)_______．例30．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，且，則的最小值為_(kāi)________例10．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）（1）已知，求函數(shù)的值域；（2）已知，，且，求：的最小值．【方法技巧與總結(jié)】若題目中含是求兩個(gè)分式的最值問(wèn)題，對(duì)于這類問(wèn)題最常用的方法就是雙換元，分布運(yùn)用兩個(gè)分式的分母為兩個(gè)參數(shù)，轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)參數(shù)的不等關(guān)系．1、代換變量，統(tǒng)一變量再處理．2、注意驗(yàn)證取得條件．題型六：“1”的代換求最值例11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，，且滿足，則的最小值為_(kāi)_．例12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）非負(fù)實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為_(kāi)_____．例13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為_(kāi)__________．變式7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正數(shù)a，b滿足，則的最小值為_(kāi)__________.變式8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足x＋y＝1，則的最小值為_(kāi)_________．變式9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知a，b為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為_(kāi)_____．【方法技巧與總結(jié)】1的代換就是指湊出1，使不等式通過(guò)變形出來(lái)后達(dá)到運(yùn)用基本不等式的條件，即積為定值，湊的過(guò)程中要特別注意等價(jià)變形．1、根據(jù)條件，湊出“1”，利用乘“1”法．2、注意驗(yàn)證取得條件．題型七：利用基本不等式證明不等式例14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知a，b，c為正數(shù).(1)求的最小值；(2)求證：.例15．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且，證明：(1)；(2)．例16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知：，求證：.【方法技巧與總結(jié)】類似于基本不等式的結(jié)構(gòu)的不等式的證明可以利用基本不等式去組合、分解、運(yùn)算獲得證明．題型八：利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題例17．（2023春·廣東東莞·高三東莞市東華高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）為了加強(qiáng)“平安校園”建設(shè)，保障師生安全，某校決定在學(xué)校門口利用一側(cè)原有墻體，建造一間墻高為3米，底面為24平方米，且背面靠墻的長(zhǎng)方體形狀的校園警務(wù)室.由于此警務(wù)室的后背靠墻，無(wú)需建造費(fèi)用，甲工程隊(duì)給出的報(bào)價(jià)為：屋子前面新建墻體的報(bào)價(jià)為每平方米400元，左右兩面新建墻體報(bào)價(jià)為每平方米300元，屋頂和地面以及其他報(bào)價(jià)共計(jì)14400元.設(shè)屋子的左右兩面墻的長(zhǎng)度均為米.(1)當(dāng)左右兩面墻的長(zhǎng)度為多少時(shí)，甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)最低？并求出最低報(bào)價(jià)；(2)現(xiàn)有乙工程隊(duì)也要參與此警務(wù)室的建造競(jìng)標(biāo)，其給出的整體報(bào)價(jià)為元，若無(wú)論左右兩面墻的長(zhǎng)度為多少米，乙工程隊(duì)都能競(jìng)標(biāo)成功，試求的取值范圍.例18．（2023春·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）習(xí)總書(shū)記指出：“綠水青山就是金山銀山”.某市一鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)號(hào)召，因地制宜地將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”.調(diào)研過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：某水果樹(shù)的單株產(chǎn)量（單位千克）與施用發(fā)酵有機(jī)肥費(fèi)用（單位：元）滿足如下關(guān)系：，這種水果樹(shù)單株的其它成本總投入為元.已知該水果的市場(chǎng)售價(jià)為元/千克，且銷路暢通供不應(yīng)求，記該水果樹(shù)的單株利潤(rùn)為（單位：元）.(1)求函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為多少元時(shí)，該單株水果樹(shù)獲得的利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?例19．（2023春·山東菏澤·高三巨野縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）2021年9月17日13時(shí)34分，神舟12號(hào)返回艙在東風(fēng)著陸場(chǎng)成功著陸，它是中國(guó)成為太空大國(guó)的里程碑．2021年6月17日將神舟12號(hào)載人飛船送入太空的長(zhǎng)征二號(hào)F運(yùn)載火箭在設(shè)計(jì)生產(chǎn)中采用了很多新技術(shù)新材料．甲工廠承擔(dān)了某種材料的生產(chǎn)，并以千克/時(shí)（為保證質(zhì)量要求）的速度勻速生產(chǎn)，每小時(shí)可消耗A材料（）千克，已知每小時(shí)生產(chǎn)1千克該產(chǎn)品時(shí)，消耗A材料10千克．(1)設(shè)生產(chǎn)m千克該產(chǎn)品，消耗A材料y千克，試把y表示為x的函數(shù)．(2)要使生產(chǎn)1000千克該產(chǎn)品消耗的A材料最少，工廠應(yīng)選取何種生產(chǎn)速度?并求消耗的A材料最少為多少．【方法技巧與總結(jié)】1、理解題意，設(shè)出變量，建立函數(shù)模型，把實(shí)際問(wèn)題抽象為函數(shù)的最值問(wèn)題．2、注意定義域，驗(yàn)證取得條件．3、注意實(shí)際問(wèn)題隱藏的條件，比如整數(shù)，單位換算等．【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若兩個(gè)正實(shí)數(shù)，滿足且存在這樣的，使不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則的最小值為（）A．6 B．4 C．3 D．24．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某次國(guó)際象棋比賽規(guī)定，勝一局得3分，平一局得1分，負(fù)一局得0分，某參賽隊(duì)員比賽一局勝的概率為a，平局的概率為b，負(fù)的概率為c（），已知他比賽一局得分的數(shù)學(xué)期望為1，則ab的最大值為（

）A． B． C． D．5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）小王用籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻且面積為的矩形菜園，墻長(zhǎng)為，小王需要合理安排矩形的長(zhǎng)寬才能使所用籬笆最短，則最短的籬笆長(zhǎng)度為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A． B． C． D．6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知都是正數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．310．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，，則（

）A． B．C．的最小值為 D．12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，是兩個(gè)正數(shù)，4是與的等比中項(xiàng)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的最小值是1 B．的最大值是1C．的最小值是 D．的最大值是13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列函數(shù)最小值為2的是（

）A． B．C． D．14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，且，則（

）A． B．C． D．15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中是偶函數(shù)，且值域?yàn)榈挠校?/p>

）A． B．C． D．三、填空題16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若正數(shù)a，b滿足，則的最小值為_(kāi)__________.17．（2023·上海·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)________.18．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為_(kāi)__________.19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)，滿足，且，則的最大值為_(kāi)_____.20．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是_______．21．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則的最小值是___________.22．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則的最小值是______．23．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最小值是___________.四、解答題24．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某企業(yè)生產(chǎn)一種電子設(shè)備，通過(guò)市場(chǎng)分析，每臺(tái)設(shè)備的成本與產(chǎn)量滿足一定的關(guān)系式.設(shè)年產(chǎn)量為（，）（單位：臺(tái)），若年產(chǎn)量不超過(guò)70臺(tái)，則每臺(tái)設(shè)備的成本為（單位：萬(wàn)元）；若年產(chǎn)量超過(guò)70臺(tái)不超過(guò)200臺(tái)，則每臺(tái)設(shè)備的成本為（單位：萬(wàn)元），每臺(tái)設(shè)備售價(jià)為100萬(wàn)元，假設(shè)該企業(yè)生產(chǎn)的電子設(shè)備能全部售完.(1)寫出年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（臺(tái)）的關(guān)系式；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少臺(tái)時(shí)，年利潤(rùn)最大，最大值為多少萬(wàn)元？25．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求函數(shù)的值域.26．（2023·