第四章-分層抽樣課件

第四章分層抽樣第一節(jié)分層抽樣概述第二節(jié)總體參數(shù)的估計(jì)第三節(jié)總樣本量的分配第四節(jié)分層與提高精度

第一節(jié)分層抽樣概述分層抽樣是在抽樣之前，先將總體按一定標(biāo)志劃分為若干個(gè)層（組），然后在各層內(nèi)分別獨(dú)立地進(jìn)行抽樣。由此所抽得的樣本稱之為分層樣本。各層所抽的樣本也是互相獨(dú)立的。如果每層中的抽樣都是簡單隨機(jī)的，則這種抽樣就叫做分層隨機(jī)抽樣。由此所得到的樣本稱做分層隨機(jī)樣本。分層時(shí)應(yīng)遵循“盡可能使層內(nèi)差異小，而使層間差異大”的原則，同時(shí)要使分層的結(jié)果既無重復(fù)又無遺漏。進(jìn)行分層抽樣時(shí)應(yīng)注意：①層內(nèi)抽樣設(shè)計(jì)的選擇；②分層變量的選擇；③各層樣本量的分配；④層數(shù)；⑤層的分界。以前只重視③，近年來，④和⑤引起了越來越多的關(guān)注。分層抽樣具有以下特點(diǎn)：①分層抽樣能夠充分地利用關(guān)于總體的各種已知信息進(jìn)行分層，因此抽樣的效果一般比簡單隨機(jī)抽樣要好。但當(dāng)對(duì)總體缺乏較多的了解時(shí)，則無法分層或不能保證分層的效果。②在分層抽樣中，總體的方差一般可以分解為層間方差和層內(nèi)方差兩部分。由于分層抽樣的誤差只與層內(nèi)差異有關(guān)，而與層間差異無關(guān)，因此，分層抽樣可以提高估計(jì)量的精度。③由于分層抽樣是在每層內(nèi)獨(dú)立地進(jìn)行抽樣，因此，使得分層樣本能夠比簡單隨機(jī)樣本更加均勻地分布于總體之內(nèi)，所以其代表性也更好些。④分層抽樣的隨機(jī)性具體體現(xiàn)在層內(nèi)各單元的抽取過程之中，也即在各層內(nèi)部的每一個(gè)單元都有相同的機(jī)會(huì)被抽中，而在層與層之間則是相互獨(dú)立的。⑤分層抽樣適合于調(diào)查標(biāo)志在各單元的數(shù)量分布差異較大的總體。因?yàn)閷?duì)這樣的總體進(jìn)行合理的分層后可將其差異較多地轉(zhuǎn)化為層間差異，從而使層內(nèi)差異大大減弱。⑥分層抽樣中除了可以推斷總體參數(shù)外，還可以推斷各不同層的數(shù)量特征，并進(jìn)一步作對(duì)比分析，從而滿足不同方面的需要，也能幫助人們對(duì)總體作更全面、更深入的了解。但對(duì)各層的估計(jì)缺乏精度保證。⑦分層抽樣調(diào)查實(shí)施中的組織管理及數(shù)據(jù)收集和匯總處理可以分別在各層內(nèi)獨(dú)立地進(jìn)行，因此較之簡單隨機(jī)抽樣更方便。⑧分層抽樣中，由于各層的抽樣相互獨(dú)立，互不影響，且各層間可能有顯著的不同，因此，對(duì)不同層可以按照具體情況和條件分別采用不同的抽樣和估計(jì)方法進(jìn)行處理，從而提高估計(jì)的精確度。⑨當(dāng)總體有周期現(xiàn)象時(shí)，用分層比例抽樣法可以減少抽樣方差。⑩分層抽樣中在進(jìn)行分層時(shí)，需收集可用于分層的必要的各種資料，因此可能會(huì)增加一定的額外費(fèi)用。同時(shí)，分層抽樣中，總體參數(shù)的估計(jì)以及各層間樣本量的分配、總樣本量的確定等都更為復(fù)雜化。滿足下述條件時(shí)，分層在精度上會(huì)有很大的得益：①總體是由一些大小差異很大的單元組成的，即總體差異大；②分層后，每層所包含的總體單元數(shù)應(yīng)是可知的，也即分層后各層的權(quán)重是確知的或可以精確估計(jì)的；③要調(diào)查的主要變量（標(biāo)志）與單元的大小是密切相關(guān)的；④對(duì)單元的大小有很好的測量資料可用于分層，也即分層變量容易確定。第二節(jié)總體參數(shù)的估計(jì)一、分層抽樣相關(guān)符號(hào)說明在分層抽樣中，先將含有個(gè)單位的總體分成分別含有個(gè)單位的層，這些層之間互不重復(fù)，且有：從每層中抽取一個(gè)子樣本，而且抽樣在各層中獨(dú)立進(jìn)行，若各層內(nèi)樣本量分別用表示，則將這些子樣本合起來就是從總體中所抽取的一個(gè)樣本。其樣本容量顯然滿足：，對(duì)于分層抽樣，經(jīng)常使用下列一些符號(hào)：第層總體中的單位數(shù)；第層樣本中的單位數(shù)；第層的總體總量；第層的樣本總量；第層第個(gè)總體單元（單位）的取值；第層第個(gè)樣本單元（單位）的取值；第層的總體層權(quán)；第層的抽樣比；第層的總體均值；第層的樣本均值；第層的總體方差；第層的樣本方差。＝為總體總量；Ｌ表示分層的層數(shù)；h表示層的編號(hào)（h＝１，２，３,…,Ｌ）；

二、估計(jì)量１、總體均值的估計(jì)量在分層抽樣中，總體均值的估計(jì)量一般用表示，它是各層總體均值的估計(jì)量按層權(quán)的加權(quán)平均，即：如果得到的是分層隨機(jī)樣本，則總體均值的簡單估計(jì)為：一般情況下：原因在于權(quán)數(shù)問題。在中，每層都有精確的權(quán)數(shù)。如果每層都有或，即，則完全相等于。這種情況稱為按比例分配的分層抽樣，各層的抽樣比相同。２、總體總和Ｙ的估計(jì)量有了總體均值的估計(jì)量，就可推出總體總和的估計(jì)量：３、總體比例P的估計(jì)量按照總體均值估計(jì)量的公式，可推出總體比例（成數(shù)）Ｐ的估計(jì)量為：可以證明，在分層隨機(jī)抽樣中，是的無偏估計(jì)量，是的無偏估計(jì)量，是Ｐ的無偏估計(jì)量。三、估計(jì)量的方差１、總體均值估計(jì)量的方差對(duì)于一般的分層抽樣，由于各層的抽樣是相互獨(dú)立的，諸也相互獨(dú)立，因此總體均值估計(jì)量的方差是總體各層均值估計(jì)量方差的加權(quán)平均，即式中是第h層總體均值估計(jì)量的方差。對(duì)于分層隨機(jī)抽樣，則有：

可見，在分層抽樣中，總體均值估計(jì)量的方差只與各層內(nèi)的方差有關(guān)，而同層間方差無關(guān)。而總體方差又是由層內(nèi)方差與層間方差兩部分構(gòu)成的。所以，估計(jì)量的方差小于總體方差。

２、總體總和估計(jì)量的方差有了總體均值估計(jì)量的方差，就可推導(dǎo)出總體總和估計(jì)量的方差：對(duì)于分層隨機(jī)抽樣，則有：３、總體比例估計(jì)量的方差估計(jì)總體比例，當(dāng)充分大時(shí)，有：對(duì)于分層隨機(jī)抽樣，則有：四、方差的估計(jì)量按上述方法確定估計(jì)量的方差時(shí)，要求各層的總體方差應(yīng)事先已知，但實(shí)際工作中，各層的總體方差又常常是未知的，此時(shí)，一般可用對(duì)應(yīng)的各層樣本方差替代，以對(duì)估計(jì)量的方差作出估計(jì)。

此時(shí)：與分別是與無偏估計(jì)。當(dāng)用樣本資料估計(jì)方差時(shí)，可將用替代，則得：是的無偏估計(jì)。

第三節(jié)總樣本量的分配一、總樣本量在各層間的分配在分層抽樣中，一個(gè)重要的問題是總的樣本量如何在各層之間進(jìn)行分配。通?？紤]：⑴精度和費(fèi)用問題。即如何分配才能在費(fèi)用一定時(shí)使總的精度和各層估計(jì)精度最高？⑵數(shù)據(jù)處理問題。即如何分配才能使調(diào)查數(shù)據(jù)的處理工作更加簡潔，也使估計(jì)量及其方差的確定形式更為簡單明了？⑶各層的容量大小問題。總樣本量在各層間分配時(shí)可采用如下方法：（一）比例分配在分層抽樣中，若各層的抽樣比都相同，即，則稱總樣本量為按比例分配。此時(shí):所以，因此。(應(yīng)取整)比例分配時(shí)，總體中任一單元的入樣概率都相等，都為。由此所得到的樣本稱為是自加權(quán)的或等加權(quán)的。在這種情況下：

即或?yàn)樗袠颖咀罨締卧^測值總和的一個(gè)常數(shù)倍。這樣的估計(jì)量也稱為自加權(quán)的。對(duì)于比例分配的分層隨機(jī)抽樣，其均值估計(jì)量的方差可以有以下比較簡單的形式：（為常數(shù))若令為各層內(nèi)方差的平均，則：當(dāng)估計(jì)比例P時(shí)，同樣有：

其中:

為各層內(nèi)成數(shù)方差的平均。（二）最優(yōu)分配１、一般情形在分層隨機(jī)抽樣中，在給定的費(fèi)用條件下，使估計(jì)量的方差達(dá)到最小，或在精度要求（常用方差表示）一定條件下，使總費(fèi)用最小的各層樣本量的分配稱為最優(yōu)分配。在分層隨機(jī)抽樣中，費(fèi)用函數(shù)可能是簡單線性的，也可能是其它復(fù)雜形式，這里主要考慮簡單線性的費(fèi)用函數(shù)：其中是固定費(fèi)用，如組織宣傳費(fèi)、分層及編制抽樣框的費(fèi)用等,是在第h層抽取一個(gè)單元的平均費(fèi)用，包括調(diào)查員報(bào)酬、旅差費(fèi)、調(diào)查測試費(fèi)等。根據(jù)前面的論述，在估計(jì)總體均值時(shí)，對(duì)給定的各層樣本量nh，估計(jì)量的方差為：可見，第二項(xiàng)與樣本量無關(guān)?？紤]到

=

則在給定總費(fèi)用下使估計(jì)量的方差最小，與在給定下使最小均等價(jià)于使

=柯西—許瓦茲(Cauchy-Schwarz)不等式對(duì)于任意的，有：當(dāng)且僅當(dāng)（為常數(shù)）時(shí)，等號(hào)成立。根據(jù)柯西—許瓦茲(Cauchy-Schwarz)不等式，有其中等號(hào)只有在以下情形時(shí)才成立(達(dá)到極小值)：

(為常數(shù)),這意味著：則因此所以使達(dá)到極小的最優(yōu)分配即為即

可見，最優(yōu)分配的結(jié)果既考慮了總體各層的差異，也同時(shí)考慮了總體各層內(nèi)變異程度上的差異和各層內(nèi)平均調(diào)查費(fèi)用的差異。當(dāng)層的容量愈大、層內(nèi)變異程度愈大，層內(nèi)每調(diào)查一個(gè)單元的費(fèi)用愈小，則在該層中抽取的單元應(yīng)愈多。（應(yīng)取整)２、特殊情形——內(nèi)曼分配如果各層內(nèi)每個(gè)單元的平均抽樣費(fèi)用相等，也即時(shí)，最優(yōu)分配簡化為：即（應(yīng)取整)在內(nèi)曼分配時(shí)，估計(jì)量所能達(dá)到的最小方差為：３、某些層需要超過100%抽樣時(shí)的修正若抽樣比較大，而個(gè)別層的也很大，則按最優(yōu)分配，一些層的有可能超過(即＞1)。這時(shí)，可以對(duì)這些極端層進(jìn)行100%抽樣。然后將剩下的其余的層可用的樣本量再按最優(yōu)分配法在其它各層間重新進(jìn)行分配。以內(nèi)曼分配為例，其具體步驟如下：假定：,則令。對(duì)部分作內(nèi)曼分配：

此時(shí)，若所有的（h≥2)則分配合理。否則，若有：，則對(duì)部分再作內(nèi)曼分配：若所有

(h≥3)，則分配合理。否則再重復(fù)上述過程，直到所有的為止。此時(shí)，最優(yōu)分配所達(dá)到的估計(jì)量的最小方差公式也應(yīng)修正為：

４、估計(jì)p時(shí)的最優(yōu)分配１）一般情形２）特殊情形——內(nèi)曼分配５、最優(yōu)分配與比例分配的精度比較比例分配時(shí)估計(jì)量的方差為：而內(nèi)曼分配時(shí)估計(jì)量的最小方差為：因此：若諸很接近，則比例分配與內(nèi)曼分配的精度相差無己。只有當(dāng)各層的相差較大時(shí)，最優(yōu)分配比比例分配在精度上才有較大的得益。因此，在設(shè)計(jì)抽樣方案時(shí)，可依已有的信息對(duì)各層的的離散程度加以分析，以決定是采用比例分配還最優(yōu)分配。（三）多指標(biāo)時(shí)的分配一次抽樣調(diào)查中調(diào)查項(xiàng)目（指標(biāo)）可能不止一個(gè)。因此，往往總樣本量對(duì)某個(gè)指標(biāo)的最優(yōu)分配不一定也是對(duì)其它指標(biāo)的最優(yōu)分配。這時(shí)，最簡單的方法是利用比例分配，因?yàn)椴粌H它簡單方便，而且對(duì)各指標(biāo)大多能獲得較為滿意的結(jié)果。如果此時(shí)仍希望采用最優(yōu)分配，則可按下述有關(guān)方法進(jìn)行處理。實(shí)質(zhì)上下列方法都是對(duì)不同指標(biāo)最優(yōu)分配的某種程度的折衷。１、平均法其基本思路是先在眾多的指標(biāo)中，選擇最重要的Ｋ個(gè)，分別按最優(yōu)分配原則計(jì)算出各層應(yīng)分配的樣本量，然后求其平均值：

２、查特吉（Chatterjee）折衷方法（1967）假設(shè)經(jīng)過挑選后，有Ｋ個(gè)主要指標(biāo)，為j個(gè)指標(biāo)在第h層按最優(yōu)分配的樣本量，n為第h層應(yīng)分配的樣本量，查特吉提出折衷的辦法是：３、耶茨（Yates）方法這種方法應(yīng)用于有一個(gè)特定目的的調(diào)查，這種調(diào)查中由于估計(jì)量給定的誤差所引起的損失是可以用錢或效用來衡量的。把總的預(yù)期損失L看作估計(jì)量的方差的線性函數(shù),則可進(jìn)一步經(jīng)過變換，推導(dǎo)出結(jié)論：

討論：由于比例分配的樣本是自加權(quán)的，因此，其估計(jì)量及其方差的確定形式都較最優(yōu)分配時(shí)更為簡便。但如果各層的因子之間差異很大時(shí)，最優(yōu)分配將會(huì)比比例分配更為有效。然而，由于方差對(duì)于分配中發(fā)生的小的甚至是中等的變動(dòng)并不敏感，因此，基什(L·Kish)認(rèn)為在實(shí)際中①除非各層的因子之間有實(shí)質(zhì)性的差異，一般不要采用最優(yōu)分配。否則最優(yōu)分配多出的效益可能會(huì)被加權(quán)和特別細(xì)致工作的額外花費(fèi)所抵銷。一般來說，要好幾倍的差異才值得作最優(yōu)分配。若的幾個(gè)值大致相等，就要用比例分配。②最優(yōu)分配往往不是估計(jì)比例值的經(jīng)濟(jì)方法，因?yàn)楸壤臉?biāo)準(zhǔn)差等于，它們對(duì)于0.1到0.9之間變動(dòng)的值是不敏感的。③應(yīng)用最優(yōu)分配時(shí)，在實(shí)踐上要避免使抽樣比成為復(fù)雜的分?jǐn)?shù)。④很多潛在的效益常常只需使用一些不同的抽樣比就可以得到。有時(shí)，只用兩個(gè)抽樣比就可以取得大部分效益：對(duì)絕大多數(shù)元素采用一個(gè)低抽樣比，而對(duì)一個(gè)只包含大元素的特殊層則采用一個(gè)高抽樣比。有時(shí)，甚至可使這些特殊層能被當(dāng)然地選入樣本(即使其抽樣比為1)，以完全排除它對(duì)抽樣誤差的影響。二、總樣本量的確定１、估計(jì)總體均值的情形設(shè)允許估計(jì)量的最大方差為Ｖ，對(duì)某種已確定的樣本量分配原則，有：代入總體均值估計(jì)量的方差的計(jì)算公式，則有：于是對(duì)給定的Ｖ：當(dāng)（比例分配）時(shí)當(dāng)(內(nèi)曼分配)時(shí)當(dāng)各層抽樣費(fèi)用不同，而總費(fèi)用給定時(shí)２、估計(jì)總體總和的情形同樣的道理，可得出對(duì)給定的分配形式（）有：當(dāng)比例分配時(shí)當(dāng)內(nèi)曼分配時(shí)３、估計(jì)總體比例的情形若較大，則,此時(shí)可進(jìn)一步求出估計(jì)P時(shí)對(duì)給定的分配形式()有：比例分配時(shí)：內(nèi)曼分配時(shí)：

第四節(jié)分層與提高精度一、分層隨機(jī)抽樣與簡單隨機(jī)抽樣的精度比較分層樣本與一個(gè)可比的簡單隨機(jī)樣本相比，給出的均值估計(jì)或總值估計(jì)，幾乎總是有較小的方差，然而，說任何一個(gè)分層樣本都比一個(gè)簡單隨機(jī)樣本給出較小的方差，這是不對(duì)的，當(dāng)?shù)闹颠h(yuǎn)離最優(yōu)值時(shí)，分層抽樣可能有較大的方差。事實(shí)上，當(dāng)總的樣本量為固定時(shí)，分層抽樣也可能給出較大的方差。設(shè)為簡單隨機(jī)抽樣的方差；為按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方差；為最優(yōu)分配的分層隨機(jī)抽樣的方差。因?yàn)?/p>

又兩邊同除N-1，由于均較大，可忽略，則所以所以又因?yàn)槠渲校菏堑募訖?quán)平均值,所以因此,當(dāng)?shù)捻?xiàng)被忽略不計(jì)時(shí)，由可以看出，從簡單隨機(jī)抽樣變成最優(yōu)分配的分層抽樣時(shí)，方差中有兩個(gè)部分消失了。第一部分為是消除了層間均值的差異的影響的結(jié)果；第二部分為是消除了層間標(biāo)準(zhǔn)差的差異的影響的結(jié)果，反映了最優(yōu)分配在方差上的差異。若含的項(xiàng)不忽略時(shí)，則式中當(dāng)時(shí)，也即層間方差小于層內(nèi)方差時(shí)按比例分層還會(huì)比簡單隨機(jī)抽樣有更大方差。二、設(shè)計(jì)效應(yīng)抽樣方案不同，估計(jì)量的精度也會(huì)不同?；灿?965年提出了一個(gè)衡量抽樣方案效果的量，稱為設(shè)計(jì)效應(yīng)，記作Deff。

Deff

=

設(shè)計(jì)效應(yīng)的主要作用有兩個(gè)：評(píng)估比較復(fù)雜的抽樣方案的效率和確定樣本量。設(shè)計(jì)效應(yīng)Deff中涉及的是簡單隨機(jī)抽樣和復(fù)雜抽樣的估計(jì)量的方差。事實(shí)上，抽樣調(diào)查后獲得的只是一個(gè)樣本，因此，如何利用樣本估計(jì)Deff就成為一個(gè)值得討論的問題。對(duì)于一個(gè)復(fù)雜的抽樣設(shè)計(jì)，問題的關(guān)鍵在于如何確定與復(fù)雜抽樣樣本量相同的簡單隨機(jī)抽樣估計(jì)量的方差。

在分層隨機(jī)抽樣中，由于所得的樣本是分層隨機(jī)樣本，用樣本方差估計(jì)總體方差未必?zé)o偏，所以不能用公式作為的無偏估計(jì)。此時(shí)的無偏估計(jì)量為：如果樣本量按比例分配，則三、層權(quán)誤差的影響用分層樣本估計(jì)時(shí)，估計(jì)量是以層權(quán)為權(quán)的加權(quán)平均。因此必須正確地掌握層權(quán)。若未知而又不能精確地估計(jì)，將對(duì)估計(jì)量的精度帶來嚴(yán)重的影響。設(shè)真正的層權(quán)為，實(shí)際使用的為，則估計(jì)量于是所以，是有偏的，且偏倚不會(huì)隨樣本量n的增大而減小。此時(shí)估計(jì)量的方差：

四、分層標(biāo)志的選擇（1）如果具備調(diào)查標(biāo)志的全面的過去資料（如上一次的普查資料），而且自那時(shí)以來的變化不太大時(shí)，可用調(diào)查標(biāo)志本身的過去資料來分層；（2）盡量利用自然標(biāo)志分層；（3）充分利用那些能決定調(diào)查標(biāo)志數(shù)量差異的品質(zhì)標(biāo)志；（4）在多個(gè)可供選擇的數(shù)量標(biāo)志中，應(yīng)選取那個(gè)與調(diào)查標(biāo)志相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值最大者；（5）同時(shí)使用幾個(gè)標(biāo)志進(jìn)行重疊分層；（6）當(dāng)同時(shí)掌握一個(gè)品質(zhì)標(biāo)志和一個(gè)數(shù)量標(biāo)志的資料時(shí)，應(yīng)優(yōu)先選擇按數(shù)量標(biāo)志分層。以上只是就單項(xiàng)目分層抽樣而言，而在實(shí)際應(yīng)用中多項(xiàng)目分層抽樣是比較常見的。多項(xiàng)目分層抽樣的主要問題之一是如何兼顧各個(gè)項(xiàng)目抽樣推斷的需要，合理進(jìn)行分層。第一種思路，是從多項(xiàng)需要推斷的指標(biāo)中，選取被認(rèn)為是最重要的一項(xiàng)，然后根據(jù)該項(xiàng)指標(biāo)調(diào)查推斷的需要，選擇合適的標(biāo)志對(duì)總體進(jìn)行分層。第二種思路，是當(dāng)各項(xiàng)之間存在顯著相關(guān)關(guān)系時(shí)，可選擇其中任何項(xiàng)目的過去資料進(jìn)行分層。第三種思路，是利用現(xiàn)成的品質(zhì)標(biāo)志和自然標(biāo)志分層。第四種思路，是當(dāng)各項(xiàng)目之間相關(guān)關(guān)系不明顯時(shí)，最好采用多標(biāo)志層疊分層(也叫做復(fù)分層)的方法，即先按某一主要項(xiàng)目的過去資料或相關(guān)標(biāo)志分層，然后各層再按另一次要項(xiàng)目的過去資料或相關(guān)標(biāo)志分小層……，直到按所有的（或若干重要的）項(xiàng)目分層。這種方法適合于大總體大樣本的分層抽樣。五、層數(shù)的確