高中數(shù)學-兩個變量的線性相關教學課件設計

2.3.2兩個變量的線性相關

上節(jié)課研究過兩個變量之間確定性的函數(shù)關系之外的一種關系---兩個變量之間的不確定的相關關系。比如：糧食產(chǎn)量與施肥量之間人體脂肪含量與年齡之間再例如生活中相關成語：“名師出高徒”，“瑞雪兆豐年”“強將手下無弱兵”等等。并且我們也學會了畫散點圖。請同學們思考一下？怎么能夠通過散點圖快速直觀的判斷出兩個變量具備相關性呢？

先看下面兩張散點圖，試著判斷哪一張散點圖中的兩個變量具備相關關系呢？依據(jù)是什么？請同學回答有相關性從而：

依據(jù)散點圖判斷兩個變量是否有相關關系的標準是：散點圖：是目前我們用來判斷兩個變量是否具有相關關系最直觀的手段.我們知道：如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線上,就用該函數(shù)來描述變量之間的關系，即變量之間具有函數(shù)關系．

如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線附近,變量之間就有相關關系。同學們請看一道高考真題，看看高考怎么考察這一章的知識這將是我們這節(jié)課研究的重點內(nèi)容------2.3.2兩個變量的線性相關做一件事，想要成功，就必須要有明確的目標。所以要學好本節(jié)課，也必須有目標---【學習目標】1.通過散點圖，能準確判斷兩個變量是否具有相關關系，并能夠畫出一條直線來近似地表示這種線性相關關系。2.通過對情境后問題的探究，初步感知根據(jù)不同的標準，可以畫出不同的直線來近似表示這種線性相關關系。同時思考“制定什么樣的標準來畫出的直線才最合理”。3.通過探究活動，感知用“最小二乘法”的思想探究回歸方程系數(shù)公式過程，準確說出公式中各個量的含義，并能根據(jù)給出的公式建立回歸直線方程，初步體會回歸直線方程對事件的預測，能說出回歸直線方程中b的含義。4.通過合作探究，能總結出求回歸直線方程的步驟，體會并能說出對同一事件，不同數(shù)據(jù)可以建立不同的回歸直線方程的原因。

在一次對人體脂肪含量和年齡關系的研究中,研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù):年齡23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2年齡53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.6【設問激疑創(chuàng)設情境】（目標1）課前留了兩道作業(yè)題情境1情境2有一個同學家開了一個小賣部，他為了研究氣溫對熱飲銷售的影響，經(jīng)過統(tǒng)計，得到一個6天賣出的熱飲杯數(shù)與當天氣溫的對比表：氣溫/℃261813104-1杯數(shù)202434385064情境1情境2請同學們觀察散點圖,試指出散點圖中點的分布有什么特征?近似成什么關系？【定義1】：線性相關關系:如果所有的樣本點都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關關系

觀察上述兩個情境回答下面的問題【問題1】這兩組數(shù)據(jù)的散點圖，分別體現(xiàn)了兩個變量是否具有相關關系？如果有相關關系，是正相關還是負相關？【問題2】如果近似成線性關系的話，你能畫出一條直線來近似地表示這種線性關系嗎？請同學們先思考一下，然后在你的散點圖中畫出直線，并且使你畫出的直線最大限度的貼近已知的數(shù)據(jù)?！締栴}3】請同學們小組交流一下剛才你是如何畫出直線的？你的標準是什么？各小組找出你們組最好的方案。（學生回答）【探究活動1】好根據(jù)同學們的交流結論，下面請同學們觀察你畫的情境2中的散點圖，請大家從下面提供的三個方案中任選一個，求出直線方程?！痉桨?】以散點圖最左側和最右側的兩點得到直線?！痉桨?】以前三組和后三組數(shù)據(jù)分別求（，

），以這兩點得到直線?！痉桨?】如果多取幾對點，確定多條直線，再求出這些直線的斜率和截距的平均值作為回歸直線的斜率和截距，得到直線?！咎骄坎孪虢沂颈举|(zhì)】（目標2）溫度杯數(shù)

那么哪條直線更貼近實際數(shù)據(jù)呢?我們尋找這樣的直線到底為什么？我們可以畫出如下的幾條直線

顯然，這樣的直線還可以畫出很多條，但是我們希能望找出其中的一條，它能最好地反映x（溫度t）與Y（杯數(shù)）之間的關系。換言之，我們要找出一條直線，使這條直線“最貼近”已知的數(shù)據(jù)點，以便對未來將要發(fā)生的事情有一個更精確的預測。同學們考慮一下，這樣做（找最貼近的直線）有沒有必要呢？譬如：每天要關注的天氣預報、九大行星特別是海王星、冥王星的發(fā)現(xiàn)。好！我們記所畫的直線方程是：

這里在y的上方加記號“^”，是為了區(qū)分Y的實際值y.表示當x取xi(i=1，2，…)時，Y相應的觀察值為yi，而直線上對應于xi的縱坐標是yi=bxi+a.^【定義2】上式叫做Y對于x的回歸直線方程

b叫做回歸系數(shù)。（只要確定a、b即可）【探究活動2】這三種方案求出的直線方程，哪條最貼近已知數(shù)據(jù)呢？如何確定回歸直線方程呢？【問題1】溫度是-5攝氏度時，由方程求出的估計值是多少？假如溫度為-5℃時，實際賣了

68杯。那么為什么會出現(xiàn)這樣差呢？哪條直線最適合做預測呢？

【探究猜想揭示本質(zhì)】（目標3）大家先來思考(x1，y1)(x2，y2)(xi，yi)(xn，yn)思考：對一組具有線性相關關系的樣本數(shù)據(jù)：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，可以用哪些數(shù)量關系來刻畫各樣本點與回歸直線的接近程度？這叫什么？將稱為離差.叫總離差

我們當然希望這n個總離差越小越好，才能使我們所找的直線最貼近已知點?！締栴}2】如何判斷哪條直線整體差的最小呢？你有哪些方案？請各小組交流一下。我們把剛才交流的三種方案展示出來,請大家思考哪種方案最好?使最小.使最小使最小一二三含有絕對值，運算不方便可正、可負，會正負相消避開了上面的兩個問題.我們通常采用方案三:即離差的平方和達到最小.【定義3】所以回歸直線就是所有直線中離差的平方和取最小值的那一條.這種方法就叫做：最小二乘法用最小二乘法求回歸直線中的a、b有下面的公式：【公式】a,b的計算公式本節(jié)重點【結論1】：直線過定點:

其中a,b的上方加“^”，表示是由觀察值按最小二乘法求得的估計值，也叫回歸系數(shù)，。求出后，回歸直線方程就建立起來了。下面同學們看課本75-76頁，再次學習最小二乘法和回歸方程為什么，利用最小二乘法求出的回歸直線是最貼近實際數(shù)據(jù)的呢？看圖片

德國著名數(shù)學家，是近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”之稱。高斯和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學家。高斯使用的最小二乘法的方法發(fā)表于1809年他的著作《天體運動論》中，1829年，高斯又提供了最小二乘法的優(yōu)化效果強于其他方法的證明，因此被稱為高斯-馬爾可夫定理。希望同學們在今后的學習之中，通過自身堅持不懈的努力，今后也能達到或超過高斯的成就！情景二：下表是某小賣部6天賣出熱茶的杯數(shù)與當天氣溫的對比表：氣溫/℃261813104－1杯數(shù)202434385064【問題1】求出回歸直線方程，如果天氣預報預測明天的氣溫是-5℃,那該同學家當天進多少杯才合適呢？【問題2】在求出的方程中，x的系數(shù)b的含義是什么？【強化公式深化內(nèi)涵】（目標3）首先：畫散點圖確定線性關系溫度杯數(shù)用公式解決問題:氣溫/℃261813104－1杯數(shù)202434385064序號xYx2xy126206765202182432443231334169442410381003805450162006-1641-647023012861910數(shù)據(jù)列成表:這兩個數(shù)不用化為小數(shù),以減小誤差.回歸直線方程為:它的意義是什么？當氣溫是-5度時,賣出的熱茶數(shù)約為:【結論2】：回歸系數(shù)的意義。那就是x每增加一個單位(即溫度每升高一度),會少賣1.648杯熱茶.x每增加一個單位，y增加（b＞0）或減少（b＜0）|b|個單位小結：求樣本數(shù)據(jù)的線性回歸方程，可按下列步驟進行：第一步，畫散點圖確定是否具有相關關系，然后列表；

第二步，求，和；

第三步，計算

第四步，寫出回歸方程

∧∧

同學們總結一下用公式求回歸直線方程的步驟是什么？假設關于某種設備的使用年限x和支出的維修費用y(萬元）有以下的統(tǒng)計資料x1234y2536(2)估計使用年限為10年時，維修費用是多少？(1)求y與x之間的回歸直線方程?！井斕脵z測】（目標4）

在一次對人體年齡關系的研究中,研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù):年齡23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2年齡53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.6（1）根據(jù)數(shù)據(jù)求出回歸直線方程；（2）若分別選取上下表中的數(shù)據(jù)來求回歸直線方程，又是什么？【合作探究】（目標4）【問題1】選擇不同的數(shù)據(jù)求出的回歸直線方程一樣不一樣？【問題2】為什么對同一事件，會出現(xiàn)這種情況呢？

大家交流一下，看一看能否對此給一個解釋？通過對案例的分析，說明事件、樣本數(shù)據(jù)、回歸直線方程三者關系：1．數(shù)據(jù)采樣本身就具有隨機性，同樣23歲的人，脂肪含量可能9.5%，也有可能30%，這種誤差我們稱之為隨機誤差，隨機誤差是不可避免的．2．回歸分析是尋找相關關系中非確定關系中的某種確定性，雖然一個數(shù)據(jù)具有隨機誤差，但總體還是具有某種確定的關系．3．在數(shù)據(jù)采樣都符合統(tǒng)計要求的情