3-二重積分的計(jì)算(極坐標(biāo))

*三、二重積分的換元法第二節(jié)二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二重積分的計(jì)算2021/5/91為什么引用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分21D0y

xD1D2D3D4D:.怎么計(jì)算？需使用極坐標(biāo)系！此題用直角系算麻煩必須把D分塊兒!二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/92又如計(jì)算其中的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無法用直角坐標(biāo)計(jì)算.由于機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束本題解法見后面例題8還可舉例2021/5/93極坐標(biāo)系下的面積元素將變換到極坐標(biāo)系0Diriri+1...

...利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分iii+iI=rir..機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束用坐標(biāo)線:

=常數(shù)；r=常數(shù)

分割區(qū)域D2021/5/94怎樣利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分(1)1.極點(diǎn)不在區(qū)域D的內(nèi)部0ABFEDD:

rr2021/5/950ABFEDD:.1.極點(diǎn)不在區(qū)域D的內(nèi)部r2021/5/960ABFEDD:.步驟：1從D的圖形找出r,上、下限；2

化被積函數(shù)為極坐標(biāo)形式；3面積元素dxdy化為rdrd.1.極點(diǎn)不在區(qū)域D的內(nèi)部r2021/5/972.極點(diǎn)位于區(qū)域D的內(nèi)部0DrD:怎樣利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分(2)r機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/98D:D0.2.極點(diǎn)位于區(qū)域D的內(nèi)部r機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/99D:.D0步驟：1從D的圖形找出r,上、下限；2

化被積函數(shù)為極坐標(biāo)形式；3面積元素dxdy化為rdrd.2.極點(diǎn)位于區(qū)域D的內(nèi)部r機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/9100y

x2a..解例1..機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束（第一象限部分）(極點(diǎn)不在區(qū)域D的內(nèi)部)2021/5/911此題用直角系算麻煩，需使用極坐標(biāo)系！21D0y

xD:變換到極坐標(biāo)系..例2.計(jì)算D:=1和

=2

圍成機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/9122R區(qū)域邊界：x=0.0y

x即

r=2Rsinr=2Rsin例3..機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/9130y

x12

y=xD..例4.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/9140y

x4r=4cosr=8cos8D12例5.計(jì)算y=2xx=y機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/9150y

xr=8cosD48.r=4cos21例5..計(jì)算I=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/916例6計(jì)算其中D

為由圓所圍成的及直線解：平面閉區(qū)域.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/917例7.

將積分化為極坐標(biāo)形式y(tǒng)=RxD1D2..R0y

xD...arctanR.I=I=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束r=R2021/5/918若f≡1

則可求得D的面積思考:下列各圖中域D

分別與x,y軸相切于原點(diǎn),試答:

問的變化范圍是什么?(1)(2)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(極點(diǎn)位于區(qū)域D的內(nèi)部)

2021/5/919例8.計(jì)算其中解:在極坐標(biāo)系下原式的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無法用直角坐標(biāo)計(jì)算.由于故機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/920注:利用例8可得到一個(gè)在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及工程上非常有用的反常積分公式事實(shí)上,當(dāng)D為R2時(shí),利用例8的結(jié)果,得①故①式成立.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/921例9.求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積.解:設(shè)由對(duì)稱性可知機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/922常用D到D’的轉(zhuǎn)換機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束極坐標(biāo)下的二次積分注釋2021/5/923作業(yè)P138-1392;3;4(2),(4);

5(2),(4);6第三節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/924定積分換元法三*、二重積分換元法

滿足一階導(dǎo)數(shù)連續(xù);雅可比行列式(3)變換則定理:變換:是一一對(duì)應(yīng)的,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/925證:根據(jù)定理?xiàng)l件可知變換T可逆.

用平行于坐標(biāo)軸的直線分割區(qū)域任取其中一個(gè)小矩形,其頂點(diǎn)為通過變換T,在xoy

面上得到一個(gè)四邊形,其對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/926同理得當(dāng)h,k

充分小時(shí),曲邊四邊形M1M2M3M4近似于平行四邊形,故其面積近似為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/927因此面積元素的關(guān)系為從而得二重積分的換元公式:例如,直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)時(shí),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/928例21.計(jì)算其中D是x

軸y

軸和直線所圍成的閉域.解:令則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/929例22.計(jì)算由所圍成的閉區(qū)域D

的面積S.解:令則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/930例23.試計(jì)算橢球體解:由對(duì)稱性令則D的原象為的體積V.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/931內(nèi)容小結(jié)(1)二重積分化為累次積分的方法直角坐標(biāo)系情形:

若積分區(qū)域?yàn)閯t

若積分區(qū)域?yàn)閯t機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/932則(2)一般換元公式且則極坐標(biāo)系情形:若積分區(qū)域?yàn)樵谧儞Q下機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/933(3)計(jì)算步驟及注意事項(xiàng)?畫出積分域?

選擇坐標(biāo)系?

確定積分序?

寫出積分限?計(jì)算要簡(jiǎn)便域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)線被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量易分離積分域分塊要少累次積好算為妙圖示法不等式(先積一條線,后掃積分域)充分利用對(duì)稱性應(yīng)用換元公式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/934思考與