中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)培優(yōu)專題10全等三角線中的輔助線做法及常見題型之中位線 (含答案)

試卷第=page22頁，總=sectionpages33頁專題10：第三章全等三角形中的輔助線的做法及常見題型之中位線一、選擇題1．如圖，在菱形ABCD中，邊長(zhǎng)AB=4，∠A=60°，E、F為邊BC、CD的中點(diǎn)，作菱形CEGF，則圖中陰影部分的面積為（）A．16 B．12 C．8SKIPIF1<0 D．6SKIPIF1<02．平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)SKIPIF1<0關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空題3．如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是AC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AD＝24，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，BE＝10，連接DE，M、N分別是AB、DE的中點(diǎn)，則MN＝____．4．梯形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是BD，AC，DC的中點(diǎn)，已知：兩底差是3，兩腰的和是6，則△EFG的周長(zhǎng)是______________．5．如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，BC=5，CD=3，EF=2，∠AFE=45°，則∠ADC的度數(shù)為________．6．如圖，將SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°到SKIPIF1<0的位置，已知斜邊SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,設(shè)SKIPIF1<0的中點(diǎn)是SKIPIF1<0,連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_____SKIPIF1<0．7．如圖，在□ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AB=OB，E為AC上一點(diǎn)，BE平分∠ABO，EF⊥BC于點(diǎn)F，∠CAD=45°，EF交BD于點(diǎn)P，BP=SKIPIF1<0，則BC的長(zhǎng)為_______．8．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)E，點(diǎn)F分別是邊BC，邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，且BE＝CF，AE與BF相交于點(diǎn)P．若點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N為邊CD上任意一點(diǎn)，則MN+PN的最小值等于_____．三、解答題9．如圖，在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是邊SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0的延長(zhǎng)線分別SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0．10．如圖所示，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，求證：SKIPIF1<0.11．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E是線段AB延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)CE．（1）如圖1，過點(diǎn)C作CF⊥CE交線段DA于點(diǎn)F．①求證：CF=CE；②若BE=m（0＜m＜4），用含m的代數(shù)式表示線段EF的長(zhǎng)；（2）在（1）的條件下，設(shè)線段EF的中點(diǎn)為M，探索線段BM與AF的數(shù)量關(guān)系，并用等式表示．（3）如圖2，在線段CE上取點(diǎn)P使CP=2，連結(jié)AP，取線段AP的中點(diǎn)Q，連結(jié)BQ，求線段BQ的最小值．12．如圖，在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為邊SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點(diǎn)，連接SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0．參考答案1．D【解析】【分析】構(gòu)造輔助線，求得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的長(zhǎng)，利用三角形中位線定理證得SKIPIF1<0,求得SKIPIF1<0，從而求得陰影部分的面積．【詳解】設(shè)菱形ABCD的對(duì)角線相交于G，∵AB=4，∠A=60°，∴AB=BC=CD=DA=4，∠A=∠C=60°，∴SKIPIF1<0為邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，∴∠DCG=∠BCG=30SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵E、F為邊BC、CD的中點(diǎn)，∴EF∥BD，EF=SKIPIF1<0BD=2，∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，菱形的面積，三角形中位的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，作輔助線構(gòu)造出等邊三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的突破點(diǎn)．2．D【解析】【分析】根據(jù)“平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)P（x，y），關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是（-x，-y），即關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，橫縱坐標(biāo)都變成相反數(shù)”解答．【詳解】解：根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)，∴點(diǎn)A（-2，3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，-3）,故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的特征，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的特征.3．13【解析】【分析】連接BD，取BD的中點(diǎn)F，連接MF、NF，由中位線定理可得NF、MF的長(zhǎng)度，再根據(jù)勾股定理求出MN的長(zhǎng)度即可．【詳解】連接BD，取BD的中點(diǎn)F，連接MF、NF，如圖所示∵M(jìn)、N、F分別是AB、DE、BD的中點(diǎn)∴NF、MF分別是△BDE、△ABD的中位線∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，由勾股定理得SKIPIF1<0故答案為：13．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中位線的問題，掌握中位線定理、勾股定理是解題的關(guān)鍵．4．SKIPIF1<0【解析】【分析】連接AE，并延長(zhǎng)交CD于K，利用“AAS”證得△AEB≌△KED，得到DK=AB，可知EF，EG、FG分別為△AKC、△BDC和△ACD的中位線，由三角形中位線定理結(jié)合條件可求得EF+FG+EG，可求得答案．【詳解】連接AE，并延長(zhǎng)交CD于K，

∵AB∥CD，

∴∠BAE=∠DKE，∠ABD=∠EDK，

∵點(diǎn)E、F、G分別是BD、AC、DC的中點(diǎn)．

∴BE=DE，

在△AEB和△KED中，SKIPIF1<0，

∴△AEB≌△KED（AAS），

∴DK=AB，AE=EK，EF為△ACK的中位線，

∴EF=SKIPIF1<0CK=SKIPIF1<0(DC-DK)=SKIPIF1<0(DC-AB)，∵EG為△BCD的中位線，∴EG=SKIPIF1<0BC，

又FG為△ACD的中位線，∴FG=SKIPIF1<0AD，

∴EG+GF=SKIPIF1<0(AD+BC)，

∵兩腰和是6，即AD+BC=6，兩底差是3，即DC-AB=3，

∴EG+GF=3，F(xiàn)E=SKIPIF1<0，

∴△EFG的周長(zhǎng)是3+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．

故答案為：SKIPIF1<0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，作出常用輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．5．135°【解析】【分析】連接BD，根據(jù)三角形中位線定理得到EF∥BD，BD＝2EF＝4，根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠BDC＝90°，計(jì)算即可．【詳解】解：連接BD，∵E、F分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，EF＝2，∴EF∥BD，BD＝2EF＝4，∴∠ADB＝∠AFE＝45°，又∵BC＝5，CD＝3，∴BD2+CD2＝25，BC2＝25，∴BD2+CD2＝BC2，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝135°，故答案為：135°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理、勾股定理的逆定理，三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半，熟練掌握中位線定理并作出正確的輔助線是解決本題的關(guān)鍵．6．SKIPIF1<0【解析】【分析】作MH⊥AC于H，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得HM的大小，又因?yàn)锽′H=3，HM=4；計(jì)算可得AH的值，根據(jù)勾股定理可得AM的大小．【詳解】作MH⊥AC于H，因?yàn)镸為A′B′的中點(diǎn)，故HM=SKIPIF1<0A′C，又因?yàn)锳′C=AC=SKIPIF1<0=8，則HM=SKIPIF1<0A′C=SKIPIF1<0×8=4，B′H=3，又因?yàn)锳B′=8-6=2，所以AH=3+2=5，AM=SKIPIF1<0cm．故答案為：SKIPIF1<0．【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)圖形的翻折不變性，結(jié)合勾股定理和中位線定理解答．7．4【解析】【分析】過點(diǎn)E作EM∥AD，由△ABO是等腰三角形，根據(jù)三線合一可知點(diǎn)E是AO的中點(diǎn)，可證得EM=SKIPIF1<0AD=SKIPIF1<0BC，根據(jù)已知可求得∠CEF=∠ECF=45°，從而得∠BEF=45°，△BEF為等腰直角三角形，可得BF=EF=FC=SKIPIF1<0BC，因此可證明△BFP≌△MEP（AAS），則EP=FP=SKIPIF1<0FC，在Rt△BFP中，利用勾股定理可求得x，即得答案．【詳解】過點(diǎn)E作EM∥AD，交BD于M，設(shè)EM=x，∵AB=OB，BE平分∠ABO，∴△ABO是等腰三角形，點(diǎn)E是AO的中點(diǎn)，BE⊥AO，∠BEO=90°，∴EM是△AOD的中位線，又∵ABCD是平行四邊形，∴BC=AD=2EM=2x，∵EF⊥BC，∠CAD=45°，AD∥BC，∴∠BCA=∠CAD=45°，∠EFC=90°，∴△EFC為等腰直角三角形，∴EF=FC，∠FEC=45°，∴∠BEF=90°-∠FEC=45°，則△BEF為等腰直角三角形，∴BF=EF=FC=SKIPIF1<0BC=x，∵EM∥BF，∴∠EMP=∠FBP，∠PEM=∠PFB=90°，EM=BF，則△BFP≌△MEP（ASA），∴EP=FP=SKIPIF1<0EF=SKIPIF1<0FC=SKIPIF1<0x，∴在Rt△BFP中，SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴BC=2SKIPIF1<0=4，故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三線合一的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，利用勾股定理求三角形邊長(zhǎng)，熟記圖形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．8．SKIPIF1<0【解析】【分析】作M關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)Q，取AB的中點(diǎn)H，連接PQ與CD交于點(diǎn)N'，連接PH，HQ，當(dāng)H、P、N'、Q四點(diǎn)共線時(shí)，MN+NP＝PQ的值最小，根據(jù)勾股定理HQ，再證明△ABE≌△BCF，進(jìn)而得△APB為直角三角形，由直角三角形的性質(zhì)，求得PH，進(jìn)而求得PQ．【詳解】解：作M關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)Q，取AB的中點(diǎn)H，連接PQ與CD交于點(diǎn)N'，連接PH，HQ，則MN'＝QN'，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，AB∥CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，在△ABE和△BCF中，SKIPIF1<0，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠AEB＝∠BFC，∵AB∥CD，∴∠ABP＝∠BFC＝∠AEB，∵∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE+∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°，∴PH＝SKIPIF1<0，∵M(jìn)點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，∴BM＝MC＝CQ＝SKIPIF1<0，∵PH+PQ≥HQ，∴當(dāng)H、P、Q三點(diǎn)共線時(shí)，PH+PQ＝HQ＝SKIPIF1<0的值最小，∴PQ的最小值為SKIPIF1<0，此時(shí)，若N與N'重合時(shí)，MN+PN＝MN'+PN'＝QN'+PN'＝PQ＝SKIPIF1<0的值最小，故答案為SKIPIF1<0．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，關(guān)鍵是確定BM+MN取最小值時(shí)P與N的位置．9．證明見解析【解析】【分析】連接BD，取BD的中點(diǎn)，連接EP，F(xiàn)P，根據(jù)三角形中位線定理即可得到PF=SKIPIF1<0AD，PF∥AD，EP=SKIPIF1<0BC，EP∥BC，進(jìn)而得出∠AHF=∠BGF．【詳解】解：如圖所示，連接BD，取BD的中點(diǎn)，連接EP，F(xiàn)P，∵E、F分別是DC、AB邊的中點(diǎn)，∴EP是△BCD的中位線，PF是△ABD的中位線，

∴PF=SKIPIF1<0AD，PF∥AD，EP=SKIPIF1<0BC，EP∥BC，∴∠H=∠PFE，∠BGF=∠FEP，又∵AD=BC，∴PE=PF，∴∠PEF=∠PFE，∴∠AHF=∠BGF．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形中位線定理的運(yùn)用，三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．10．見解析【解析】【分析】取AC中點(diǎn)F，連接EF、DF，則EF為△ABC的中位線，結(jié)合條件可得到∠FEA=2∠A，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)可得到∠FDE=∠EFD，得到DE=EF，可得出結(jié)論．【詳解】證明：取AC的中點(diǎn)F，連EF，DF，則EF為中位線，∴EF‖BC，BC=2EF，∴∠FEA=∠B=2∠A，在直角三角形ACD中，F(xiàn)是斜邊BC的中點(diǎn)，∴DF=CF=AF，∴∠FDA=∠A，即有2∠FDA=∠FEA，∵∠FEA=∠FDA+∠DFE，∴∠DFE=∠FDA，∴DE=EF，∴BC=2DE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中位線的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識(shí)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵.11．（1）①詳見解析；②2m2+32；（2）BM=【解析】【分析】（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)以及余角的性質(zhì)即可證明△DCF≌△BCE，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得出結(jié)論；②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得DF=BE=m．在Rt△ECF中，由勾股定理即可得出結(jié)論；（2）在直線AB上取一點(diǎn)G，使BG=BE，由三角形中位線定理可得FG=2BM，可以證明AF=AG．在Rt△AFG中由勾股定理即可得出結(jié)論．（3）在AB的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)R，使BR=AB=4，連結(jié)PR和CR，由三角形中位線定理可得BQ=12PR．在Rt△CBR中，由勾股定理即可得出CR【詳解】（1）解：①證明：∵正方形ABCD，∴BC=CD，∠DCB=∠CBE=90°．∵CF⊥CE，∠FCE=90°，∴∠DCF=∠BCE，∴△DCF≌△BCE（ASA），∴CE=CF．②∵△DCF≌△BCE，∴DF=BE=m，∴AF=4-m，AE=4+m，由四邊形ABCD是正方形得∠A=90°，∴EF=(4-m（2）解：在直線AB上取一點(diǎn)G，使BG=BE．∵M(jìn)為EF的中點(diǎn)，∴FG=2BM，由（1）知，DF=BE，又AD=AB，∴AF=AG．∵∠A=90°，∴FG=2AF，∴2BM=2